浙江省杭州二中2012-2013学年高二上学期期末数学理试题

杭州二中2012学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）
1．“”是直线“与直线平行”的
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．如图, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E，F，G，H分别是AA1，A1D1，A1B1，BB1的中点，则异面直线EF与GH所成的角的大小为
A．30° B．45° C．60° D．120°
3． 若实数满足,则的最大值是
A． 0 B． C． 2 D． 3
4．已知椭圆的长轴长为10，离心率，则椭圆的方程是
A．或 B．或
C．或 D．或
5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
A．若，，则 B． 若，，则
C．若，，则 D． 若，，则
6． 点http://21世纪教育网/ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )是抛物线上一动点，则点http://21世纪教育网/ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )到点http://21世纪教育网/ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的距离与到直线http://21世纪教育网/ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的距离之和的最小值是
A． B． C． D．2
7． 已知直线和椭圆有两个公共点，则的取值范围
A．或 B． C．或 D．
8．已知点分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
9． 如图，四面体的三条棱两两垂直，为四面体外一点．给出下列命题：
①不存在点,使四面体有三个面是直角三角形；
②不存在点,使四面体是正三棱锥；
③存在点,使与垂直并且相等；
④存在无数个点,使点在四面体的外接球面上．
其中真命题的序号是　
A． ①②　　 B． ②③　　
C． ③④　　 D． ③
10．到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A． 直线 B． 椭圆 C． 抛物线 D． 双曲线
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷中相应横线上）
11．已知向量，则使“”和“”的之和为 ．
12．已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：㎝），可得这个几何体的表面积是___________．
13． 设直线的参数方程是(为参数)，曲线的极坐标方程是，则与曲线相交的弦长是 ．
14． 如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为 ．
15．在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“出租车距离”，则圆上一点与直线上一点的“出租车距离”的最小值为 ．
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杭州二中2012学年第一学期高二年级期末考试数学答卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷中相应横线上）
11． 12. 13.
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三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
16． （本小题满分8分） 已知命题：“对任意实数都有恒成立”,命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”．
（Ⅰ）若命题是真命题,求实数的取值范围；
（Ⅱ）若命题,中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．
17． （本小题满分9分） 已知圆过点,且与圆:关于直线
对称．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行 请说明理由．
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18．（本小题满分11分） 在四棱锥中，平面，底面为矩形，．
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，椭圆C上的点到
左焦点F距离的最小值与最大值之积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l过椭圆C内一点，与椭圆C交于P、Q两点．对给定的m值，若存在直
线l及直线上的点N，使得的垂心恰为点F，求m的取值范围．
杭州二中2012学年第一学期高二年级期终数学答卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A B C A B C D
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．； 12． ； 13．； 14．； 15．．
三、解答题（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
16．解：（Ⅰ）命题是真命题，对任意实数都有恒成立；
（Ⅱ）命题为真，则，命题,中有且只有一个真命题，求实数的取值范围为或．
17．解：（Ⅰ）设圆心,则,解得
则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为
（Ⅱ）由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,
,由,得 ,
因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得,
同理,,所以=
所以,直线和一定平行．21世纪教育网
18．解：（Ⅰ）当时，底面为正方形，,
又因为,又．
（Ⅱ）因为两两垂直，分别以它们所在直线为轴建立坐标系，如图所示，设，则B(t,0,0)，D(0,t,0)，C(t,1,0)，P(0,0,t)，设，则Q(t，m,0)，要使，只要，
当且仅当，即时，BC边上有且只有一个点，
使得，由此得,，即.
设平面POQ的法向量为
,所以，平面PAD的法向量
则的大小与二面角的大小相等所以，
因此二面角的余弦值为．
19．解：（Ⅰ）由条件得，解得，，．∴ 椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由条件知，，．
设，，，则由得，，
由知，恒成立，且，．　
由得，　，即，（1）
由得，　，即，（2）
由（1）（2）式化简得，，（3）
将，代入（3）式得，
，
化简得，（显然），
由得，，或，解得．
∴ m的取值范围．
D1
C1
B1
A1
HD
GD
FD
ED
D
C
B
A