沪科版八年级数学下册18.1勾股定理（第1课时）教案
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册18.1勾股定理（第1课时）教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-17 10:13:55 | ||
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文档简介
第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
教学目标 1.经历观察、分析等思维活动，体验勾股定理的探索过程. 2.会运用勾股定理解决一些简单问题. 教学重难点 重点：体验勾股定理的探索过程及简单应用. 难点：勾股定理的面积证法. 教学过程 导入新课 如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 如图，在直角三角形中，任意两条边确定了，另一条边也随之确定，三边之间存在一种特定的数量关系.事实上，古人已经发现了直角三角形的三条边长的平方存在一种特殊的关系，那么这种关系是什么？ 【教师活动】教师抛出两个问题，引发学生思考. 【学生活动】学生对两个问题很感兴趣，从而能够激发学生的探索欲望. 设计意图：从这两个问题入手，引入本节课的课题，这样更能激发学生学习的积极性，为学好本节课奠定基础. 预习新知 让学生自主预习课本第52，53页，然后让学生拿出方格纸（课前准备好），在纸上画出若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，猜测三边长的平方之间有怎样的关系. 教师给学生足够的时间，让学生在小组内合作交流，教师适当引导，猜测直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 设计意图：让学生动手并通过计算直角三角形的三边长的平方，引导学生从中发现存在的规律，渗透特殊到一般的思想方法. 合作探究 问题1 请分别计算下面图中直角三角形三边长的平方是多少，它们满足上边所猜想的数量关系吗？ 问题2 用a，b，c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形搭成的直角三角形三边的平方关系是否和上面的猜测相同？ 【教师活动】提出上述两个问题，巡视学生计算情况. 【学生活动】学生先自己借助网格计算，小组合作交流结论. 【师生互动总结】三角形的三边长a，b，c的平方满足. 问题3 对于课本中的图18-1(1)(2)中的直角三角形，是否也满足这样的关系？ 图（1） 图（2） 【教师活动】观察学生活动并指导，让学生充分发表自己的见解，展示他们的思维过程，教师及时点拨，同时借助多媒体动态展示. 【学生活动】在方格纸上把直角三角形的,,分别计算出了，验证a2+b2=c2是否成立. 设计意图：此环节让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，发展学生的推理能力. 问题4 以上直角三角形的边长都是整数的情况，对于边长是小数的情况是否也成立？（例如两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度） 【学生活动】学生动手在网格纸上画直角三角形，然后测量斜边的长度，进行计算. 【教师活动】进一步借助几何画板演示直角边为任意长的直角三角形的三边关系，得出一般直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方，从而发现了勾股定理. （学生总结，教师点评） 定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理. 如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为. 巩固练习 下列说法中正确的是( ) A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2 = c2 B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C = 90°，则a2+b2 = c2 D.在Rt△ABC中，∠B = 90°，则a2+b2 = c2 答案：C 典型例题 【例1】 如图，已知在Rt△ABC中，两直角边AC＝5，BC＝12，求斜边上的高CD的长. 【教师活动】分析题目所给的条件，引导学生分析做题的思路，即根据CD是△ABC边上的高，要求CD的长，已知AB，BC的长，如果能求出三角形ABC的面积就把问题解决了. 【学生活动】根据老师的分析，先自己写出证明过程，再小组合作交流，总结做题的方法. 【解】∵ 在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，BC = 12， ∴ 由勾股定理，得AB2 = AC2+BC2 = 52+122 = 169 = 132， ∴ AC=13. 又∵ S△ABC = AB·CD =AC·BC， ∴ CD == = . 即斜边上的高CD的长是. 【总结】由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积，这是已知直角三角形的两边，求斜边上高的常用方法，即“等积法”. 【例2】在△ABC中，AB = 20，AC = 15，AD为BC边上的高，且AD = 12，求△ABC的周长. 【教师活动】考虑到题目中的已知条件，引导学生考虑高AD在△ABC内和△ABC外两种情形；巡视学生做题，及时纠正学生做题过程中出现的错误. 【学生活动】先小组交流、讨论，根据题意画出图形，写出证明过程. 【解】当高AD在△ABC内部时，如图1. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2-AD＝ 202-122＝162， ∴ BD＝16. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 CD2＝AC2-AD2＝152-122＝92， ∴ CD＝9. ∴ BC＝BD+CD＝25. ∴ △ABC的周长为25+20+15＝60. 当高AD在△ABC外部时，如图2. 同理可得BD＝16，CD＝9， ∴ BC＝BD-CD＝7. ∴ △ABC的周长为7+20+15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 图1 图2 【交流总结】题中未给出图形时，作高构造直角三角形易漏掉钝角三角形的情况.如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形，导致漏解. 课堂练习 1.某直角三角形的三边长分别为3，5，x，则符合条件的x的值有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边 长为（ ） A. B.C. 或 D.4或 3.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，AC = 6，BC = 8，则CD = ______. 4.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ . 5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9. （1）求BC的长； （2）求△ABC的面积. 参考答案 1.B 2.C 解析：分两种情况： （1）顶角是钝角时，如图1所示： 在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2＝AC2-OC2＝52-32＝16， ∴AO＝4，OB＝AB+AO＝5+4＝9. 在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2＝OB2+OC2＝92+32＝90， ∴BC＝ ＝. （2）顶角是锐角时，如图2所示： 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2-DC2＝52-32＝16， ∴AD＝4，DB＝AB-AD＝5-4＝1. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2＝DB2+DC2＝12+32＝10， ∴BC＝. 综上可知，这个等腰三角形的底的长度为3或. 图1 图2 3.3 4.20 解析：∵ AC⊥BD， ∴ ∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理，得AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， ∴ AB2+CD2＝AD2+BC2. ∵ AD＝2，BC＝4， ∴ AB2+CD2＝22+42＝20. 5.分析：（1）由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接求出BC的长； （2）由勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长，最后求出△ABC的面积. 解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， 在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2， 解得BC＝15. （2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2， ∴ AD2+122＝202，解得AD＝16， ∴ AB＝AD+BD＝16+9＝25， ∴ S△ABC＝AB CD＝×25×12＝150. 19:34:05；用户：钟爱芬；邮箱： 课堂小结 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 字母表示：如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 布置作业 教材第57页习题18.1第1，2题 板书设计 第1课时 勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为.
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
教学目标 1.经历观察、分析等思维活动，体验勾股定理的探索过程. 2.会运用勾股定理解决一些简单问题. 教学重难点 重点：体验勾股定理的探索过程及简单应用. 难点：勾股定理的面积证法. 教学过程 导入新课 如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 如图，在直角三角形中，任意两条边确定了，另一条边也随之确定，三边之间存在一种特定的数量关系.事实上，古人已经发现了直角三角形的三条边长的平方存在一种特殊的关系，那么这种关系是什么？ 【教师活动】教师抛出两个问题，引发学生思考. 【学生活动】学生对两个问题很感兴趣，从而能够激发学生的探索欲望. 设计意图：从这两个问题入手，引入本节课的课题，这样更能激发学生学习的积极性，为学好本节课奠定基础. 预习新知 让学生自主预习课本第52，53页，然后让学生拿出方格纸（课前准备好），在纸上画出若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，猜测三边长的平方之间有怎样的关系. 教师给学生足够的时间，让学生在小组内合作交流，教师适当引导，猜测直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 设计意图：让学生动手并通过计算直角三角形的三边长的平方，引导学生从中发现存在的规律，渗透特殊到一般的思想方法. 合作探究 问题1 请分别计算下面图中直角三角形三边长的平方是多少，它们满足上边所猜想的数量关系吗？ 问题2 用a，b，c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形搭成的直角三角形三边的平方关系是否和上面的猜测相同？ 【教师活动】提出上述两个问题，巡视学生计算情况. 【学生活动】学生先自己借助网格计算，小组合作交流结论. 【师生互动总结】三角形的三边长a，b，c的平方满足. 问题3 对于课本中的图18-1(1)(2)中的直角三角形，是否也满足这样的关系？ 图（1） 图（2） 【教师活动】观察学生活动并指导，让学生充分发表自己的见解，展示他们的思维过程，教师及时点拨，同时借助多媒体动态展示. 【学生活动】在方格纸上把直角三角形的,,分别计算出了，验证a2+b2=c2是否成立. 设计意图：此环节让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，发展学生的推理能力. 问题4 以上直角三角形的边长都是整数的情况，对于边长是小数的情况是否也成立？（例如两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度） 【学生活动】学生动手在网格纸上画直角三角形，然后测量斜边的长度，进行计算. 【教师活动】进一步借助几何画板演示直角边为任意长的直角三角形的三边关系，得出一般直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方，从而发现了勾股定理. （学生总结，教师点评） 定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理. 如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为. 巩固练习 下列说法中正确的是( ) A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2 = c2 B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C = 90°，则a2+b2 = c2 D.在Rt△ABC中，∠B = 90°，则a2+b2 = c2 答案：C 典型例题 【例1】 如图，已知在Rt△ABC中，两直角边AC＝5，BC＝12，求斜边上的高CD的长. 【教师活动】分析题目所给的条件，引导学生分析做题的思路，即根据CD是△ABC边上的高，要求CD的长，已知AB，BC的长，如果能求出三角形ABC的面积就把问题解决了. 【学生活动】根据老师的分析，先自己写出证明过程，再小组合作交流，总结做题的方法. 【解】∵ 在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，BC = 12， ∴ 由勾股定理，得AB2 = AC2+BC2 = 52+122 = 169 = 132， ∴ AC=13. 又∵ S△ABC = AB·CD =AC·BC， ∴ CD == = . 即斜边上的高CD的长是. 【总结】由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积，这是已知直角三角形的两边，求斜边上高的常用方法，即“等积法”. 【例2】在△ABC中，AB = 20，AC = 15，AD为BC边上的高，且AD = 12，求△ABC的周长. 【教师活动】考虑到题目中的已知条件，引导学生考虑高AD在△ABC内和△ABC外两种情形；巡视学生做题，及时纠正学生做题过程中出现的错误. 【学生活动】先小组交流、讨论，根据题意画出图形，写出证明过程. 【解】当高AD在△ABC内部时，如图1. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2-AD＝ 202-122＝162， ∴ BD＝16. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 CD2＝AC2-AD2＝152-122＝92， ∴ CD＝9. ∴ BC＝BD+CD＝25. ∴ △ABC的周长为25+20+15＝60. 当高AD在△ABC外部时，如图2. 同理可得BD＝16，CD＝9， ∴ BC＝BD-CD＝7. ∴ △ABC的周长为7+20+15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 图1 图2 【交流总结】题中未给出图形时，作高构造直角三角形易漏掉钝角三角形的情况.如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形，导致漏解. 课堂练习 1.某直角三角形的三边长分别为3，5，x，则符合条件的x的值有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边 长为（ ） A. B.C. 或 D.4或 3.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，AC = 6，BC = 8，则CD = ______. 4.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ . 5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9. （1）求BC的长； （2）求△ABC的面积. 参考答案 1.B 2.C 解析：分两种情况： （1）顶角是钝角时，如图1所示： 在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2＝AC2-OC2＝52-32＝16， ∴AO＝4，OB＝AB+AO＝5+4＝9. 在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2＝OB2+OC2＝92+32＝90， ∴BC＝ ＝. （2）顶角是锐角时，如图2所示： 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2-DC2＝52-32＝16， ∴AD＝4，DB＝AB-AD＝5-4＝1. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2＝DB2+DC2＝12+32＝10， ∴BC＝. 综上可知，这个等腰三角形的底的长度为3或. 图1 图2 3.3 4.20 解析：∵ AC⊥BD， ∴ ∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理，得AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， ∴ AB2+CD2＝AD2+BC2. ∵ AD＝2，BC＝4， ∴ AB2+CD2＝22+42＝20. 5.分析：（1）由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接求出BC的长； （2）由勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长，最后求出△ABC的面积. 解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， 在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2， 解得BC＝15. （2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2， ∴ AD2+122＝202，解得AD＝16， ∴ AB＝AD+BD＝16+9＝25， ∴ S△ABC＝AB CD＝×25×12＝150. 19:34:05；用户：钟爱芬；邮箱： 课堂小结 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 字母表示：如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 布置作业 教材第57页习题18.1第1，2题 板书设计 第1课时 勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为.