沪科版八年级数学下册18.1勾股定理（第2课时）教案
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册18.1勾股定理（第2课时）教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-17 10:32:48 | ||
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文档简介
第18章 勾股定理
18.1勾股定理
第2课时 勾股定理的证明及应用
教学目标 1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯. 2.通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理. 教学重难点 重点：会验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 难点：经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. 教学过程 导入新课 教师提出问题： 1.勾股定理的内容是什么？（学生回答） 2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？ 教师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理. 设计意图：回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度，介绍世界上一些验证方法，激发学生的学习兴趣. 探究新知 预习新知 让学生自主预习课本第53页. 提出问题：如下图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？ 先让学生独立作图、验证，并让学生发表自己的见解，再小组讨论勾股定理是否正确. 设计意图：通过让学生自己动手作图、验证，不仅能锻炼学生的动手能力，还能加深对勾股定理的理解. 合作探究 探究一 验证勾股定理 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. 求证：. 证明:取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图1所示的正方形. 图1 图2 问题1 四边形是正方形吗？ 学生：四边形是正方形. ∵ =c, ∠H=∠E，∴∠E+∠H=90°，∴ ∠=90°. 同理∠=∠=∠=90°, ∴ 四边形是正方形. 问题2 你可以利用两种方法来表示图1中的大正方形的面积吗？ 学生先独立思考，再小组交流得到答案和2ab+ 问题3 你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 学生： = 2ab+，化简后得到. 从而利用图1验证了勾股定理，此方法称为毕达哥拉斯法. 教师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理. 你还能利用图2验证勾股定理吗？ 问题4 图2中小正方形的边长是多少？ 问题5 你可以利用两种方法来表示图2中的大正方形的面积吗？ 问题6 你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 提出几个问题让学生根据问题独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解利用图2验证勾股定理. 图2中小正方形边长是b－a.和都可以表示图2中小正方形的面积，根据同一图形面积相等得到，化简后得到. 从而利用图2也验证了勾股定理，图2我们又称为赵爽弦图. 设计意图：教师层层设问引导学生来完成勾股定理的验证，通过两个图形让学生体会数形结合的思想并体会成功的快乐，学生先拼图从形上感知，再利用面积验证，比较容易掌握本节课的重点内容. 探究二 非直角三角形的三边是否满足 前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？ 观察下图，利用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足. 【教师活动】引导学生数出图形中每个正方形所占的格子数，验证是否满足. 【学生活动】根据网格特点数出每个正方形的面积，小组交流，得出结论. 【结论】如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a，b，c不满足，通过这个结论，学生将对直角三角形的三边关系有进一步认识. 跟踪训练 根据下图，利用面积法证明勾股定理. 【教师活动】提示学生从不同的角度计算图形的面积. 【学生活动】先小组交流图形面积的计算，再写出证明过程. 证明：∵ S梯形ABCD = S△ABE +S△BCE +S△EDA， 又∵ S梯形ABCD = (a+b)2，S△BCE = S△EDA = ab，S△ABE = c2， ∴ (a+b)2 = 2×ab+c2，∴ a2+b2 = c2，即勾股定理得证. 典型例题 【例1】 作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，再作三个边长分别为a，b，c的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形. 证明：a2+b2 = c2. 【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a+b，∴ 它们的面积相等. 左边大正方形面积可表示为a2+b2+ab×4， 右边大正方形面积可表示为c2+ab×4. ∵ a2+b2+ab×4 = c2+ab×4，∴ a2+b2 = c2. 【教师活动】（引导学生分析）从整体上看，这两个大正方形的边长都是a+b，因此它们的面积相等.我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理. 【学生活动】用不同的方法表示图形的面积，小组内交流，利用“等积法”列式整理. 【师生总结】根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理. 【例2】 如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？ 【解】在Rt△OMN中，根据勾股定理得MN 2+ON 2 = OM 2， ∴ 302+402 = OM 2， ∴ OM = 50 km. 同理OQ = 130 km， ∴ 造价为（50+130）5 000 = 900 000（万元）. 答：造价预计是900 000万元. 【教师活动】分析总造价计算公式是：总造价=每千米造价千米数；巡视学生做题，及时纠正做题中出现的错误. 【学生活动】先理清楚思路，知道先求什么 再如何求总造价，独立完成计算，小组内交流答案. 【师生总结】解答本题的关键是先利用勾股定理求出高速公路的长度，再求总造价. 【例3】 现有一楼房发生火灾,消防队员决定用消防车上的云梯救人,如图，已知云梯最多只能伸长到10 m,消防车高3 m.救人时云梯伸至最长,在完成从9 m高处救人后,还要从12 m高处救人,这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米 (精确到0.1 m) 图（1） 图（2） 分析:如图(2),设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯,B是第一次救人的地点,D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O.求出OB, OD的长度，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AO，设AC = x m，则OC = 8-x， 在Rt△COD中，根据勾股定理得出关于x的一元二次方程，解方程即可. 【解】如图所示，根据题意得：BE=9 m,OE=3 m, DE=12 m, ∴ OB=9-3=6(m),OD=12-3=9(m). 在Rt△AOB中，AB=10 m,∠AOB=90°，, ∴ ==64, ∴ AO=8（m）. 设AC=x m，则OC=8-x，在Rt△COD中，, 即， 解得x=8±. ∴ ≈12.4,≈3.6. ∵ AC＜AO＜AB，∴x=3.6. 答：消防车要从原处再向着火的楼房靠近3.6米. 【教师活动】引导学生分析问题的思路，巡视学生做题情况，纠正做题中出现的问题. 【学生活动】两名学生到黑板上书写证明过程，其余学生先自主完成证明过程，再小组内交流合作，互相纠正. 课堂练习 1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（ ） A.9 B.6 C.5 D.4 2.“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理.小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a，b，c的式子表示） ， . 3.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现在需要在相对的顶点间用一块木板加固，则这块木板的长为______. 4.小颖用四块完全一样的长方形方砖，恰好拼成如图1所示图案，如图2，连接长方形方砖的对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去证明勾股定理.设AE＝a，DE＝b，AD＝c，请你找到其中一种方案证明：a2+b2＝c2. 图1 图2 5.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1 = 2 km，BB1 = 4 km，A1B1 = 8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和. 参考答案 1.C 解析：由题意可知，中间小正方形的边长为a-b， ∵ 每一个直角三角形的面积为ab＝×8＝4， ∴ 大正方形的面积为4×ab+（a-b）2＝16+9＝25， ∴ 大正方形的边长为5. 2.c2+ab a2+b2+ab 解析：如图所示： S＝c2+ab×2＝c2+ab， S＝a2+b2+ab×2＝a2+b2+ab. 3.2.5 m 4.证明：∵ AE＝a，DE＝b，AD＝c， ∴ S正方形EFGH＝EH2＝（a+b）2， S正方形EFGH＝4S△AED+S正方形ABCD＝4×+c2， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴ a2+b2＝c2. 5.解：如图作点B关于MN的对称点B′， 连接AB′交A1B1于点P，连接BP. 则AP+BP = AP+PB′ = AB′， 易知点P即为到点A，B距离之和最短的点. 过点A作AE⊥BB′于点E， 则AE = A1B1 = 8 km，B′E = AA1+BB1 = 2+4 = 6( km). 由勾股定理，得B′A2 = AE 2+B′E 2 = 82+62， ∴ AB′ = 10 km，即AP+BP = AB′ = 10 km. 故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km. 课堂小结 (学生总结，老师点评) 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 验证方法：两种证法. 布置作业 教材第57页习题18.1第5,6题. 板书设计 第2课时 勾股定理的证明及应用 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.两种证明方法.
18.1勾股定理
第2课时 勾股定理的证明及应用
教学目标 1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯. 2.通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理. 教学重难点 重点：会验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 难点：经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. 教学过程 导入新课 教师提出问题： 1.勾股定理的内容是什么？（学生回答） 2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？ 教师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理. 设计意图：回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度，介绍世界上一些验证方法，激发学生的学习兴趣. 探究新知 预习新知 让学生自主预习课本第53页. 提出问题：如下图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？ 先让学生独立作图、验证，并让学生发表自己的见解，再小组讨论勾股定理是否正确. 设计意图：通过让学生自己动手作图、验证，不仅能锻炼学生的动手能力，还能加深对勾股定理的理解. 合作探究 探究一 验证勾股定理 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. 求证：. 证明:取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图1所示的正方形. 图1 图2 问题1 四边形是正方形吗？ 学生：四边形是正方形. ∵ =c, ∠H=∠E，∴∠E+∠H=90°，∴ ∠=90°. 同理∠=∠=∠=90°, ∴ 四边形是正方形. 问题2 你可以利用两种方法来表示图1中的大正方形的面积吗？ 学生先独立思考，再小组交流得到答案和2ab+ 问题3 你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 学生： = 2ab+，化简后得到. 从而利用图1验证了勾股定理，此方法称为毕达哥拉斯法. 教师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理. 你还能利用图2验证勾股定理吗？ 问题4 图2中小正方形的边长是多少？ 问题5 你可以利用两种方法来表示图2中的大正方形的面积吗？ 问题6 你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 提出几个问题让学生根据问题独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解利用图2验证勾股定理. 图2中小正方形边长是b－a.和都可以表示图2中小正方形的面积，根据同一图形面积相等得到，化简后得到. 从而利用图2也验证了勾股定理，图2我们又称为赵爽弦图. 设计意图：教师层层设问引导学生来完成勾股定理的验证，通过两个图形让学生体会数形结合的思想并体会成功的快乐，学生先拼图从形上感知，再利用面积验证，比较容易掌握本节课的重点内容. 探究二 非直角三角形的三边是否满足 前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？ 观察下图，利用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足. 【教师活动】引导学生数出图形中每个正方形所占的格子数，验证是否满足. 【学生活动】根据网格特点数出每个正方形的面积，小组交流，得出结论. 【结论】如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a，b，c不满足，通过这个结论，学生将对直角三角形的三边关系有进一步认识. 跟踪训练 根据下图，利用面积法证明勾股定理. 【教师活动】提示学生从不同的角度计算图形的面积. 【学生活动】先小组交流图形面积的计算，再写出证明过程. 证明：∵ S梯形ABCD = S△ABE +S△BCE +S△EDA， 又∵ S梯形ABCD = (a+b)2，S△BCE = S△EDA = ab，S△ABE = c2， ∴ (a+b)2 = 2×ab+c2，∴ a2+b2 = c2，即勾股定理得证. 典型例题 【例1】 作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，再作三个边长分别为a，b，c的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形. 证明：a2+b2 = c2. 【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a+b，∴ 它们的面积相等. 左边大正方形面积可表示为a2+b2+ab×4， 右边大正方形面积可表示为c2+ab×4. ∵ a2+b2+ab×4 = c2+ab×4，∴ a2+b2 = c2. 【教师活动】（引导学生分析）从整体上看，这两个大正方形的边长都是a+b，因此它们的面积相等.我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理. 【学生活动】用不同的方法表示图形的面积，小组内交流，利用“等积法”列式整理. 【师生总结】根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理. 【例2】 如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？ 【解】在Rt△OMN中，根据勾股定理得MN 2+ON 2 = OM 2， ∴ 302+402 = OM 2， ∴ OM = 50 km. 同理OQ = 130 km， ∴ 造价为（50+130）5 000 = 900 000（万元）. 答：造价预计是900 000万元. 【教师活动】分析总造价计算公式是：总造价=每千米造价千米数；巡视学生做题，及时纠正做题中出现的错误. 【学生活动】先理清楚思路，知道先求什么 再如何求总造价，独立完成计算，小组内交流答案. 【师生总结】解答本题的关键是先利用勾股定理求出高速公路的长度，再求总造价. 【例3】 现有一楼房发生火灾,消防队员决定用消防车上的云梯救人,如图，已知云梯最多只能伸长到10 m,消防车高3 m.救人时云梯伸至最长,在完成从9 m高处救人后,还要从12 m高处救人,这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米 (精确到0.1 m) 图（1） 图（2） 分析:如图(2),设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯,B是第一次救人的地点,D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O.求出OB, OD的长度，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AO，设AC = x m，则OC = 8-x， 在Rt△COD中，根据勾股定理得出关于x的一元二次方程，解方程即可. 【解】如图所示，根据题意得：BE=9 m,OE=3 m, DE=12 m, ∴ OB=9-3=6(m),OD=12-3=9(m). 在Rt△AOB中，AB=10 m,∠AOB=90°，, ∴ ==64, ∴ AO=8（m）. 设AC=x m，则OC=8-x，在Rt△COD中，, 即， 解得x=8±. ∴ ≈12.4,≈3.6. ∵ AC＜AO＜AB，∴x=3.6. 答：消防车要从原处再向着火的楼房靠近3.6米. 【教师活动】引导学生分析问题的思路，巡视学生做题情况，纠正做题中出现的问题. 【学生活动】两名学生到黑板上书写证明过程，其余学生先自主完成证明过程，再小组内交流合作，互相纠正. 课堂练习 1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（ ） A.9 B.6 C.5 D.4 2.“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理.小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a，b，c的式子表示） ， . 3.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现在需要在相对的顶点间用一块木板加固，则这块木板的长为______. 4.小颖用四块完全一样的长方形方砖，恰好拼成如图1所示图案，如图2，连接长方形方砖的对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去证明勾股定理.设AE＝a，DE＝b，AD＝c，请你找到其中一种方案证明：a2+b2＝c2. 图1 图2 5.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1 = 2 km，BB1 = 4 km，A1B1 = 8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和. 参考答案 1.C 解析：由题意可知，中间小正方形的边长为a-b， ∵ 每一个直角三角形的面积为ab＝×8＝4， ∴ 大正方形的面积为4×ab+（a-b）2＝16+9＝25， ∴ 大正方形的边长为5. 2.c2+ab a2+b2+ab 解析：如图所示： S＝c2+ab×2＝c2+ab， S＝a2+b2+ab×2＝a2+b2+ab. 3.2.5 m 4.证明：∵ AE＝a，DE＝b，AD＝c， ∴ S正方形EFGH＝EH2＝（a+b）2， S正方形EFGH＝4S△AED+S正方形ABCD＝4×+c2， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴ a2+b2＝c2. 5.解：如图作点B关于MN的对称点B′， 连接AB′交A1B1于点P，连接BP. 则AP+BP = AP+PB′ = AB′， 易知点P即为到点A，B距离之和最短的点. 过点A作AE⊥BB′于点E， 则AE = A1B1 = 8 km，B′E = AA1+BB1 = 2+4 = 6( km). 由勾股定理，得B′A2 = AE 2+B′E 2 = 82+62， ∴ AB′ = 10 km，即AP+BP = AB′ = 10 km. 故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km. 课堂小结 (学生总结，老师点评) 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 验证方法：两种证法. 布置作业 教材第57页习题18.1第5,6题. 板书设计 第2课时 勾股定理的证明及应用 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.两种证明方法.