沪科版八年级数学下册18.2勾股定理的逆定理 教案
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| 名称 | 沪科版八年级数学下册18.2勾股定理的逆定理 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-17 10:32:49 | ||
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文档简介
第18章 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
教学目标 1.观察三边满足的三角形，猜想勾股定理逆定理的成立. 2.能运用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形. 3.能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题. 教学重难点 重点：用勾股定理逆定理判定直角. 难点：勾股定理及其逆定理在推理格式的区别与联系. 教学过程 导入新课 1.在一个直角三角形中，三条边满足什么样的关系呢？ 答：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长： ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5. 3.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否为直角三角形呢？ 探究新知 合作探究 思考: 1.据说,几千年前的古埃及人就已经知道,在一根绳子上连续打上等距离的13个结,然后,用钉子将第1个与第13个结钉在一起,拉紧绳子,再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子,如图这样围成的三角形中,最长边所对的角就是直角. 2.用圆规、直尺作△ABC,使AB=5,AC=4, BC=3,如图,量一量∠C,它是90°吗 为什么用上面三条线段围成的三角形,就一定是直角三角形呢 【教师活动】引导学生观察三角形的各边长，同时观察探讨两个三角形的共同之处，猜测勾股定理的逆定理？ 【学生活动】动手测量，交流测量的结果，猜测勾股定理的逆定理成立. 结论： 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 3.活动讨论以下三组数，分别是一个三角形的三边长a，b，c；①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.回答下面的问题： 1.这三组数都满足吗？ 2.分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数. 【教师活动】提出问题，巡视学生做题情况，引导学生思考发现问题. 【学生活动】计算，测量，交流，发现结论. 结果展示：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足，可以构成直角三角形；②7，24，25满足，可以构成直角三角形；③8，15，17满足，可以构成直角三角形. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数. 思考:除上述勾股数之外，你还能不能再找出几组勾股数？可以怎么找？ 【小组交流总结】 1.如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.满足的三个正整数，称为勾股数. 3.几何语言： ∵ 如图，在△ABC中，a2+b2 = c2， ∴ △ABC是直角三角形，且∠C = 90°. 注意事项：为了让学生确认该结论，需要进行说理，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识. 跟踪训练 1.下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是________. ①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22. 答案：①② 2.一个三角形的三边长分别是15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形的面积是（ ） A.250 cm 2 B.150 cm 2 C.200 cm 2 D.不能确定 答案：B 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD = 9，AD = 12，AC = 20，则△ABC是（ ） A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 答案：C 4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 答案：A 【学生活动】自主完成，小组交流答案. 例题讲解 【例1】 根据下列三角形的三边a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，请指出哪条边所对的角是直角. （1）a=7,b=24,c=25; （2）a=7,b=8,c=11. 【教师活动】巡视学生做题，对出现的格式错误及时纠正. 【学生活动】书写证明过程，小组交流证题格式，总结勾股定理逆定理的应用思路与勾股定理思路的区别及联系. 【解】（1）∵ 最大的边是c=25，=625，, ∴ . ∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角. （2）∵ 最大的边是c=11，=121，, ∴ . ∴ △ABC不是直角三角形. 【小组互动交流总结】 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤： （1）找：确定三角形的最长边； （2）算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； （3）比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； （4）判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形. 【例2】判断满足下列条件的三角形是否为直角三角形. （1）在△ABC 中，∠A ＝ 20°，∠B ＝ 70°； （2）在△ABC 中，AC＝12，AB＝16，BC＝21； （3）一个三角形的三边长a，b，c 满足（a+b)(a-b）＝c2. 【解】（1）在△ABC中，∵ ∠A+∠B=20°+70°=90°， ∴ △ABC是直角三角形； （2）∵ ,, ∴ .∴ △ABC不是直角三角形； (3)∵（a+b）（a-b）=, ∴ ，即. ∴ 根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形. 【学生活动】写出求解过程，总结交流证明一个三角形是直角三角形的方法.即判定三角形为直角三角形的方法. （1）用角判断： ①两个锐角互余的三角形是直角三角形； ②有一个角是90°的三角形是直角三角形； （2）用边判断：如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断. 【例3】已知:在△ABC中,三条边长分别为a=-1，b=2n，c=+1(n>1).求证:△ABC为直角三角形. 【证明】∵ +=+ =-2+1+4 =+2+1 = =. ∴ △ABC为直角三角形.(勾股定理的逆定理) 【例4】一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A,∠DBC都应是直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？ 图1 图2 【教师活动】分析题目的条件是零件各边的长度，题目的结论是∠A，∠DBC都应是直角，故可以根据勾股定理的逆定理检验三角形的三边是否满足a2+b2 =c2. 【学生活动】根据老师的提示，独立思考本题需要证什么？自主完成. 【解】∵ 32+42 = 52， ∴ . 又52+122 = 132， ∴. ∴ 这个零件符合要求. 跟踪训练 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD = 3 cm，AB = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四边形ABCD的面积. 解：如图，连接BD，在Rt△ABD中， 由勾股定理得BD = 5 cm. 又∵ 在△BDC中，三边分别是5，12，13，满足勾股定理， ∴ △BDC是直角三角形. = 6+30 = 36（cm 2）. 因此四边形ABCD的面积为36 cm 2. 课堂练习 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 2.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，则木板的面积为( ) A.60 B.30 C.24 D.12 3.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AC＝ . 4.若，则以x，y，z为三边长的三角形是_________. 5.如图，哪些是直角三角形？哪些不是？ 6.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足a+b＝4，ab＝1，c＝，求证△ABC为直角三角形. 参考答案 1.A 2.C 解析：如图，连接AC， ∵ 在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴ AC＝5. ∵ 在△ACD中，AC＝5，DC＝12，AD＝13， ∴ DC2+AC2＝122+52＝169＝AD2， ∴ ， ∴ △ACD为直角三角形，AD为斜边， ∴ 木板的面积为S△ACD-S△ABC＝×5×12-×3×4＝24. 3.2 解析：∵ BC＝2，DB＝1，CD＝， ∴ DB2+CD2＝1+3＝4＝BC2， ∴ △CDB是直角三角形，∠CDB＝90°， ∴ ∠CDA＝90°. ∵ AB＝4，BD＝1，∴ AD＝3， ∴ AC＝＝＝2. 4.直角三角形 解析：∵ ∴x=6,y=8,z=10, ∴ x2+y2＝z2， ∴ x，y，z为三边长的三角形是直角三角形. 5.解：④⑤是直角三角形，因为三边满足勾股定理的逆定理.①②③⑥不是直角三角形. 6.证明：∵ a+b＝4，∴（a+b）2＝42，∴ a2+2ab+b2＝16. ∵ ab＝1，∴ a2+b2＝14. ∵ c＝，∴ c2＝14，∴ a2+b2＝c2， ∴ △ABC为直角三角形. 课堂小结 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股数 满足a2+b2 = c2的三个正整数，称为勾股数. 布置作业 教材第60页习题18.2第3,4,5,6题 板书设计 18.2 勾股定理的逆定理 1.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形. 2.满足a2+b2= c2的三个正整数，称为勾股数. 3.几何语言： 如图，∵ 在△ABC中，a2+b2= c2， ∴ △ABC是直角三角形，且∠C = 90°.
18.2 勾股定理的逆定理
教学目标 1.观察三边满足的三角形，猜想勾股定理逆定理的成立. 2.能运用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形. 3.能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题. 教学重难点 重点：用勾股定理逆定理判定直角. 难点：勾股定理及其逆定理在推理格式的区别与联系. 教学过程 导入新课 1.在一个直角三角形中，三条边满足什么样的关系呢？ 答：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长： ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5. 3.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否为直角三角形呢？ 探究新知 合作探究 思考: 1.据说,几千年前的古埃及人就已经知道,在一根绳子上连续打上等距离的13个结,然后,用钉子将第1个与第13个结钉在一起,拉紧绳子,再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子,如图这样围成的三角形中,最长边所对的角就是直角. 2.用圆规、直尺作△ABC,使AB=5,AC=4, BC=3,如图,量一量∠C,它是90°吗 为什么用上面三条线段围成的三角形,就一定是直角三角形呢 【教师活动】引导学生观察三角形的各边长，同时观察探讨两个三角形的共同之处，猜测勾股定理的逆定理？ 【学生活动】动手测量，交流测量的结果，猜测勾股定理的逆定理成立. 结论： 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 3.活动讨论以下三组数，分别是一个三角形的三边长a，b，c；①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.回答下面的问题： 1.这三组数都满足吗？ 2.分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数. 【教师活动】提出问题，巡视学生做题情况，引导学生思考发现问题. 【学生活动】计算，测量，交流，发现结论. 结果展示：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足，可以构成直角三角形；②7，24，25满足，可以构成直角三角形；③8，15，17满足，可以构成直角三角形. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数. 思考:除上述勾股数之外，你还能不能再找出几组勾股数？可以怎么找？ 【小组交流总结】 1.如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.满足的三个正整数，称为勾股数. 3.几何语言： ∵ 如图，在△ABC中，a2+b2 = c2， ∴ △ABC是直角三角形，且∠C = 90°. 注意事项：为了让学生确认该结论，需要进行说理，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识. 跟踪训练 1.下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是________. ①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22. 答案：①② 2.一个三角形的三边长分别是15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形的面积是（ ） A.250 cm 2 B.150 cm 2 C.200 cm 2 D.不能确定 答案：B 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD = 9，AD = 12，AC = 20，则△ABC是（ ） A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 答案：C 4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 答案：A 【学生活动】自主完成，小组交流答案. 例题讲解 【例1】 根据下列三角形的三边a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，请指出哪条边所对的角是直角. （1）a=7,b=24,c=25; （2）a=7,b=8,c=11. 【教师活动】巡视学生做题，对出现的格式错误及时纠正. 【学生活动】书写证明过程，小组交流证题格式，总结勾股定理逆定理的应用思路与勾股定理思路的区别及联系. 【解】（1）∵ 最大的边是c=25，=625，, ∴ . ∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角. （2）∵ 最大的边是c=11，=121，, ∴ . ∴ △ABC不是直角三角形. 【小组互动交流总结】 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤： （1）找：确定三角形的最长边； （2）算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； （3）比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； （4）判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形. 【例2】判断满足下列条件的三角形是否为直角三角形. （1）在△ABC 中，∠A ＝ 20°，∠B ＝ 70°； （2）在△ABC 中，AC＝12，AB＝16，BC＝21； （3）一个三角形的三边长a，b，c 满足（a+b)(a-b）＝c2. 【解】（1）在△ABC中，∵ ∠A+∠B=20°+70°=90°， ∴ △ABC是直角三角形； （2）∵ ,, ∴ .∴ △ABC不是直角三角形； (3)∵（a+b）（a-b）=, ∴ ，即. ∴ 根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形. 【学生活动】写出求解过程，总结交流证明一个三角形是直角三角形的方法.即判定三角形为直角三角形的方法. （1）用角判断： ①两个锐角互余的三角形是直角三角形； ②有一个角是90°的三角形是直角三角形； （2）用边判断：如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断. 【例3】已知:在△ABC中,三条边长分别为a=-1，b=2n，c=+1(n>1).求证:△ABC为直角三角形. 【证明】∵ +=+ =-2+1+4 =+2+1 = =. ∴ △ABC为直角三角形.(勾股定理的逆定理) 【例4】一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A,∠DBC都应是直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？ 图1 图2 【教师活动】分析题目的条件是零件各边的长度，题目的结论是∠A，∠DBC都应是直角，故可以根据勾股定理的逆定理检验三角形的三边是否满足a2+b2 =c2. 【学生活动】根据老师的提示，独立思考本题需要证什么？自主完成. 【解】∵ 32+42 = 52， ∴ . 又52+122 = 132， ∴. ∴ 这个零件符合要求. 跟踪训练 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD = 3 cm，AB = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四边形ABCD的面积. 解：如图，连接BD，在Rt△ABD中， 由勾股定理得BD = 5 cm. 又∵ 在△BDC中，三边分别是5，12，13，满足勾股定理， ∴ △BDC是直角三角形. = 6+30 = 36（cm 2）. 因此四边形ABCD的面积为36 cm 2. 课堂练习 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 2.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，则木板的面积为( ) A.60 B.30 C.24 D.12 3.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AC＝ . 4.若，则以x，y，z为三边长的三角形是_________. 5.如图，哪些是直角三角形？哪些不是？ 6.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足a+b＝4，ab＝1，c＝，求证△ABC为直角三角形. 参考答案 1.A 2.C 解析：如图，连接AC， ∵ 在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴ AC＝5. ∵ 在△ACD中，AC＝5，DC＝12，AD＝13， ∴ DC2+AC2＝122+52＝169＝AD2， ∴ ， ∴ △ACD为直角三角形，AD为斜边， ∴ 木板的面积为S△ACD-S△ABC＝×5×12-×3×4＝24. 3.2 解析：∵ BC＝2，DB＝1，CD＝， ∴ DB2+CD2＝1+3＝4＝BC2， ∴ △CDB是直角三角形，∠CDB＝90°， ∴ ∠CDA＝90°. ∵ AB＝4，BD＝1，∴ AD＝3， ∴ AC＝＝＝2. 4.直角三角形 解析：∵ ∴x=6,y=8,z=10, ∴ x2+y2＝z2， ∴ x，y，z为三边长的三角形是直角三角形. 5.解：④⑤是直角三角形，因为三边满足勾股定理的逆定理.①②③⑥不是直角三角形. 6.证明：∵ a+b＝4，∴（a+b）2＝42，∴ a2+2ab+b2＝16. ∵ ab＝1，∴ a2+b2＝14. ∵ c＝，∴ c2＝14，∴ a2+b2＝c2， ∴ △ABC为直角三角形. 课堂小结 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股数 满足a2+b2 = c2的三个正整数，称为勾股数. 布置作业 教材第60页习题18.2第3,4,5,6题 板书设计 18.2 勾股定理的逆定理 1.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形. 2.满足a2+b2= c2的三个正整数，称为勾股数. 3.几何语言： 如图，∵ 在△ABC中，a2+b2= c2， ∴ △ABC是直角三角形，且∠C = 90°.