【课件】2.3圆及其方程 2.3.3直线与圆的位置关系 数学-RJB-选择性必修第一册-第二章 平面解析几何(共57张PPT)

(共57张PPT)
数学-RJ·B-选择性必修第一册
2.3　圆及其方程
2.3.3　直线与圆的位置关系
第二章 平面解析几何
重点：直线与圆位置关系的判断和应用
难点：培养学生熟练地解二元二次方程组
1.理解直线与圆的三种位置关系.
2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系.
3.能解决直线与圆位置关系的综合问题.
学习目标
知识梳理
直线与圆的位置关系
如果⊙C的半径为r，圆心C到直线l的距离为d，则
直线l与⊙C相交 ；
直线l与⊙C相切 ；
直线l与⊙C相离 .
dd＝r
d>r
直线l的方程为y＝kx+b，⊙C的方程为x2+y2＝r2.
当且仅当d当且仅当d＝r，即 d＝ 时，直线与圆相切；
当且仅当d>r，即 d> 时，直线与圆相离.
常考题型
题组一　直线与圆的位置关系
<1>判断直线与圆的位置关系
例1 已知集合M＝{（x，y）|x，y为实数，且x2+y2＝2}，N＝{（x，y）|x，y为实数，且x+y＝2}，则M∩N中的元素的个数是 （　　）
A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3
【解题提示】　集合M表示圆上的点构成的集合，集合N表示直线上的点构成的集合，所以可以把两个方程联立判断直线与圆交点的个数；也可以直接求圆心到直线的距离，利用几何法来判断直线与圆的位置关系.
【解析】　（方法1）联立方程组，得消去y，整理得x2-2x+1＝0.因为判别式Δ＝0 ，所以直线与圆相切，只有一个交点，故M∩N 中的元素只有一个.
（方法2）圆x2+y2＝2的圆心为（0，0），半径r＝，圆心到直线x+y＝2的距离d＝＝＝r，故直线与圆相切，只有一个交点，故M∩N 中的元素只有一个.
【答案】　B
【变式训练】
［2020·山东青岛高二检测］已知直线l：y＝kx+2（k∈R），圆M：（x-1）2+y2＝6，圆N：x2+（y+1）2＝9，则 （　　）
A.直线l必与圆M相切，直线l不可能与圆N相交
B.直线l必与圆M相交，直线l不可能与圆N相切
C.直线l必与圆M相切，直线l不可能与圆N相切
D.直线l必与圆M相交，直线l不可能与圆N相离
解析：∵ 直线l：y＝kx+2（k∈R）过定点（0，2），
点（0，2）在圆M：（x-1）2+y2＝6内， ∴ 直线l必与圆M相交.
又∵ 点（0，2）在圆N：x2+（y+1）2＝9上， ∴ 直线l不可能与圆N相离.
【方法技巧】
判断直线与圆的位置关系的常用方法
1.几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系进行判断，
（1）d（2）d＝r?直线与圆相切；
（3）d>r?直线与圆相离.
2.代数法：联立直线与圆的方程，消元之后利用判别式Δ的符号进行判断，
（1）Δ>0?直线与圆相交；
（2）Δ＝0?直线与圆相切；
（3）Δ<0?直线与圆相离.
<2>已知直线与圆的含参方程，位置关系限制条件下，求参数
例2 ［2020·山西省运城中学高二段考］若曲线C1：x2+y2-2x＝0与曲线
C2：y（y-mx-m）＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）
A. ∪ 　　 B.
C. ∪ 　　 D.
【解析】　由题意可知曲线C1：x2+y2-2x＝0表示一个圆，
化为标准方程为（x-1）2+y2＝1，∴ 圆心坐标为（1，0），半径r＝1.
曲线C2：y（y-mx-m）＝0表示两条直线y＝0和y-mx-m＝0，
直线y-mx-m＝0过定点（-1，0）.直线y＝0与圆C1交于点（0，0）和（2，0），
因此直线y-mx-m＝0与圆C1相交即可满足条件.
当直线y-mx-m＝0与圆C1相切时，圆心到直线的距离d＝＝r＝1，化简得m2＝，解得m＝± .当m＝0时，直线y-mx-m＝0与y＝0重合，不符合题意.
如图，可知m的取值范围是 ∪ ，故选A.
【答案】　A
【变式训练】
1. ［2020·浙江海宁高二检测］若圆（x-3）2+（y-5）2＝r2（r>0）上有且只有四个点到直线5x+12y＝10的距离等于1，则r的取值范围是 （　　）
A.（4，6）　 　B.（6，+∞） C.（0，4） D.［4，6］
解析：圆（x-3）2+（y-5）2＝r2（r>0）的圆心为（3，5），
圆心到直线5x+12y＝10的距离为=5.
由题意知r-5>1，解得r>6，故选B.
【变式训练】
2.若直线y＝k（x-2）+4与曲线y＝1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 　.
(]
解析：由题意可得，直线y＝k（x-2）+4恒过点A（2，4），又曲线y＝1+ 是以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，故可画出图形，如图所示.当直线与半圆相切，C为切点时，圆心到直线的距离d＝r，即＝2，解得k＝.当直线过点B（-2，1）时，直线的斜率为＝，则直线与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
题型二 圆的切线方程
<1>已知切点，求圆的切线方程
例3 已知圆C：x2+y2-4x＝0与直线l切于点P（1，，则直线l的方程为（ ）
A.x- y+2＝0　　 B.x- y+4＝0　
C.x+ y-4＝0　　 D.x+ y-2＝0
【解析】　圆C：x2+y2-4x＝0的方程可化为（x-2）2+y2＝4 ，显然过点P（1，）的直线x＝1不与圆C相切.点P与圆心连线的斜率为＝-，则所求直线的斜率为 ，代入直线的点斜式方程可得y- ＝ （x-1） ，整理得x-y+2＝0.
【答案】　A
1.若直线ax+by+7＝0与圆x2+y2+4x-1＝0切于点P（-3，2），则ab的值为　 　.
【变式训练】
解析：把圆的方程化为标准方程为（x+2）2+y2＝5，则圆心坐标为（-2，0），则过圆心与点P的直线的斜率k＝＝-2，故直线ax+by+7＝0的斜率存在且为，故＝，所以b＝-2a①.
把P点坐标代入ax+by+7＝0，得-3a+2b+7＝0②.
把①代入②，解得a＝1，把a＝1代入①，解得b＝-2，则ab＝-2.
-2
【变式训练】
解析：圆x2+y2＝4在点（- ，1）处的切线l的斜率为-＝，所以切线l的方程为y-1＝（x+），即y＝x+4（此处也可以直接由结论写出切线方程）.圆x2-4x+y2＝0，即（x-2）2+y2＝4的圆心为M（2，0），半径r＝2，圆心M到直线l的距离为d＝＝ +2，所以点P到直线l的距离的最小值为d-r＝.
2.直线l是圆x2+y2＝4在点（-，1）处的切线，点P是圆x2-4x+y2＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于（　　）
A.1　　 B. 　　 C. 　　 D.2
C
【方法技巧】
已知切点（x0，y0），求圆的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k（k≠0），由垂直关系知切线斜率为- ，由直线的点斜式方程可求得切线方程；若切线斜率为0或不存在，则结合图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.
<2>已知圆外一点，求过该点的圆的切线方程
例5 已知方程x2+y2+6mx-4my+12＝0（m∈R）.
（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若此方程表示圆C，且点A（-2，2）在圆C上，求过点P（1，1）的圆C的切线方程.
【解题提示】　（1）若此方程表示圆，则根据D2+E2-4F>0，即可得解；
（2）将点A（-2，2）的坐标代入圆C的方程可求得m的值，从而得圆C的方程及圆心和半径，先判断点P与圆C的位置关系，然后根据具体的类型进行求解.
【解】　（1）若此方程表示圆，则36m2+16m2-4×12>0，解得m<-或m> .故实数m的取值范围为∪(,+).
（2）由点A（-2，2）在圆C上，代入圆的方程得m＝1，由（1）知m＝1符合题意，故圆C的方程为x2+y2+6x-4y+12＝0，即（x+3）2+（y-2）2＝1，圆心C（-3，2），半径r＝1.
可知点P在圆C外，直线x＝1与圆C不相切，故所求圆的切线斜率存在，设为k，
则切线方程为 y-1＝k（x-1），即y-kx+k-1＝0，则有＝1，解得k＝0或k＝-，故切线方程为y-1＝0·（x-1）或y-1＝-（x-1），
即y＝1或8x+15y-23＝0.
已知圆C经过点（0，1），且圆心为C（1，2）.
（1）写出圆C的标准方程；（2）过点P（2，-1）作圆C的切线，求该切线的方程.
【变式训练】
解：（1）由已知得圆C的半径r＝＝，
所以圆C的标准方程为（x-1）2+（y-2）2＝2.
（2）由题意知切线斜率存在，设过点P（2，-1）的切线方程为y+1＝k（x-2），即kx-y-2k-1＝0，则＝，整理得k2-6k-7＝0，解得k＝7或k＝-1.
故所求切线方程为7x-y-15＝0或x+y-1＝0.
【方法技巧】
过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法
1.几何法：当切线斜率存在时，设为k，则切线方程为y-y0＝k（x-x0），即kx-y-kx0+y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径求出k，即可得切线方程；当切线斜率不存在时，结合图形可得切线方程为x＝x0.
2.代数法：当切线斜率存在时，设为k，则切线方程为y-y0＝k（x-x0），即y＝kx-kx0+y0.代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由判别式Δ＝0求得k，即可求得切线方程； 当切线斜率不存在时，结合图形可得切线方程为x＝x0.
<3>圆的切线长问题
例6 由直线y＝x+2上的一点向圆（x-3）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.-3
【解析】　由题意可知，直线y＝x+2上的点到圆心（3，0）的距离最小时，切线长最小.直线y＝x+2上的点到圆心（3，0）的最小距离即为圆心（3，0）到直线y＝x+2的距离d＝，∴ 切线长的最小值为＝＝.
【答案】　A
已知圆M过两点A（1，-1），B（-1，1），且圆心M在直线x+y-2＝0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PC，PD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形PCMD面积的最小值.
【变式训练】
解： （1）设圆M的方程为（x-a）2+（y-b）2＝r2（r>0），
根据题意得解得
故圆M的方程为（x-1）2+（y-1）2＝4.
（2）由题意知，四边形PCMD的面积为S＝S△PCM+S△PDM＝|CM|·|PC|+|DM|·|PD|.
又|CM|＝|DM|＝2，|PC|＝|PD|，所以S＝2|PC|.
而|PC|＝＝.即S＝2 ，
因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可.
易知|PM|的最小值为圆心M到直线3x+4y+8＝0的距离，
即|PM|min＝＝3，
所以四边形PCMD面积的最小值为Smin＝＝＝2.
【方法技巧】
圆的切线长的求法
圆的切线长的求解要抓住圆心到切线的距离等于半径这一几何性质.记切线长为l，点到圆心的距离为d，半径为r，根据勾股定理可得l＝.
题组三　圆的弦长问题
<1>求圆的弦长
例6 ［2020·河北石家庄高二检测］已知圆C过点A（1，0）和B（3，0），且圆心在直线y＝x上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）求直线l：3x-4y+1＝0被圆C截得的弦长.
【解题提示】　（1）设出圆心坐标和圆的标准方程，将点A，B的坐标代入求出结果即可；（2）利用圆心到直线的距离和圆的半径解直角三角形求得弦长.
【解】　（1）由题意可设圆C的圆心坐标为C（a，a），半径为r，
则圆C的标准方程为（x-a）2+（y-a）2＝r2.
又圆C过点A（1，0）和B（3，0），
∴ 解得
故圆C的标准方程为（x-2）2+（y-2）2＝5.
（2）由（1）知，圆C的圆心为（2，2），半径r＝，圆心到直线l：3x-4y+1＝0的距离d＝，∴ 弦长为＝＝.
故直线l被圆C截得的弦长为.
［2020·辽宁大连高二期末］已知圆O以原点为圆心，且圆O与直线y＝-x+ 相切.
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l：y＝x+2与圆O交于A，B两点，分别过点A，B作直线l的垂线，交x轴于C，D两点，求线段CD的长.
【变式训练】
解：（1）把直线y＝-x+化为一般式，得x+y- ＝0.
圆心O（0，0）到直线x+y- ＝0的距离d＝ ＝2.
∵ 圆O与直线y＝-x+ 相切，∴ 圆O的半径r＝2，∴ 圆O的方程为x2+y2＝4.
（2）依题意画出示意图，如图.点O到直线l：y＝x+2的距离d＝.
∵ 圆O的半径为2，∴ |AB|＝＝2.过点C作CE⊥BD于E，则|CE|＝|AB|＝2.
又∵ 直线y＝ x+2的倾斜角为30°，∴ ∠ECD＝30°，
∴ |CD|＝＝|CE|＝ ×2＝ ，∴ 线段CD的长为 .
<2>中点弦问题
例7 ［2020·河南濮阳高三检测］若P（2，-2）为圆（x-1）2+y2＝100的弦AB的中点，则直线AB的方程为 （　　）
A.2x-y-6＝0 B.x+2y+2＝0
C.2x+y-2＝0　　 D.x-2y-6＝0
解析：由（x-1）2+y2＝100知，圆心为（1，0） ，∴ 弦AB中垂线的斜率k＝＝-2，
∴ 直线AB的斜率kAB＝.又直线AB过点P（2，-2），
∴ 直线AB的方程为y+2＝（x-2），即x-2y-6＝0.
答案：D
<3>已知圆的弦长，求参数
例8 ［2020·河北唐山高二检测］已知圆C与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，且圆心C在直线3x+2y＝0上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点（6，-1）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝6，求直线l的方程.
【解题提示】　（1）根据题意列方程求出圆心坐标，求得圆的半径r，写出圆的方程；
（2）分过点（6，-1）的直线l斜率不存在和斜率存在两种情况，求出对应直线的方程.
【解】　（1）∵ 圆C与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，
∴ 圆心C在线段AB的中垂线x＝2上.由得圆心C（2，-3），
∴ 圆C的半径＝=5，
∴ 圆C的标准方程为（x-2）2+（y+3）2＝25.
（2）∵ 圆C的半径为5，|MN|＝6，∴ 圆心C到直线l的距离d＝4.
当直线l的斜率不存在时，圆心C（2，-3）到直线x＝6的距离为4，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l：y+1＝k（x-6），
∴ 圆心C到直线l的距离d＝＝4，解得k＝-，
∴ 直线l的方程为3x+4y-14＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝6或3x+4y-14＝0.
［2020·河北衡水中学高三检测］直线y＝kx+3与圆（x-2）2+（y-3）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥，则k的取值范围是 （　　）
A. B. C. 　　 D.
【变式训练】
解析：当|MN|＝时，圆心（2，3） 到直线y＝kx+3 的距离d＝＝＝＝1，故当|MN|≥ 时，d＝ ≤1，解得-≤k≤ .
D
【方法技巧】
以圆内一点（x0，y0）为中点的弦所在直线的方程的求法
根据圆的几何性质：过弦的中点与圆心的直线与弦所在直线垂直.利用直线垂直的条件，即可求出弦所在直线的斜率（斜率存在且不为0），再利用点斜式方程写出弦所在直线的方程即可.
若弦所在直线的斜率不存在或斜率为0，则可直接写出其方程为x＝x0或y＝y0.
题组四　由直线与圆的位置关系求圆的方程
例9 ［2020·甘肃镇原二中高二检测］求圆心在直线3x-y＝0上，与x轴相切，且被直线x-y＝0截得的弦长为 的圆的方程.
【解题提示】　设出圆的标准方程，求出圆心到直线x-y=0的距离，根据圆心在直线3x-y＝0上，圆与x轴相切以及勾股定理建立方程组，即可得到所求圆的方程.
【解】　设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2＝r2.圆心到直线x-y＝0的距离d＝.
依题意，有解得或
所以，所求圆的方程为（x-1）2+（y-3）2＝9或（x+1）2+（y+3）2＝9.
已知以点M为圆心的圆经过点A（-1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆M于点C和D，且|CD|＝.
（1）求直线CD的方程；（2）求圆M的方程.
【变式训练】
解：（1）∵ 直线AB的斜率为1，线段AB的中点坐标为（1，2），
∴ 直线CD的斜率为-1，且过点（1，2），
故直线CD的方程为y-2＝-（x-1），即x+y-3＝0.
（2）设圆心M（a，b），则由点M在CD上，得a+b-3＝0.①
又∵ 直径|CD|＝，∴ |MA|＝ ，∴ （a+1）2+b2＝10.②
由①②解得或 ∴ 圆心M的坐标为（0，3）或（2，1） ，
∴ 圆M的方程为x2+（y-3）2＝10或（x-2）2+（y-1）2＝10.
【方法技巧】
由直线与圆的位置关系，求圆的方程的两种方法
1.直接法（几何法）：根据圆的几何性质，直接求得圆心坐标和半径.常用到的几何性质有：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；（2）圆心在任意弦的中垂线上，且弦长的一半、弦心距d、半径r满足r2＝d2+；（3）两圆相切时，切点与两圆心三点共线.
2.待定系数法（代数法）：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出方程组，求出相关量.一般地，与圆心和半径有关时，选择圆的标准方程，否则，选择圆的一般方程.
题组五　与圆的方程有关的最值问题
例10 已知实数x，y满足方程（x-2）2+y2＝3.
（1）求的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求x2+y2的最大值和最小值.
【解】　将实数x，y看作点P（x，y）的坐标，满足（x-2）2+y2＝3的点P（x，y）组成的图形是以M（2，0）为圆心，为半径的圆，如图.
（1）设 ＝＝k，即是圆上的点P与原点O连线的斜率.
由图知直线y＝kx和圆M在第一象限相切时，k取最大值，此时有OP⊥PM，|PM|＝，|OM|＝2，∴ ∠POM＝60°.
此时k＝tan 60°＝，∴ 的最大值是 .
同理知直线y＝kx和圆M在第四象限相切时，k取最小值， 的最小值为 .
（2）设y-x＝b，则y＝x+b，b是直线y＝x+b在y轴上的截距.
由图知当直线y＝x+b和圆M在第四象限相切时，b（b<0）取最小值，此时有＝，解得b＝ .
∴ y-x的最小值是 .同理，y-x的最大值是 .
（3）x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方，
由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故（x2+y2）max＝（2+ ）2＝7+ 4 ，（x2+y2）min＝（2- ）2＝7- 4 .
已知P（a，b）为圆C：x2+y2-2x-4y+4＝0上任意一点，则 的最大值为（　　）
A.2　　 B.- 　　 C. 　　 D.0
【变式训练】
解析：圆的方程可化为（x-1）2+（y-2）2＝1，则圆心坐标为（1，2），半径为1.
设k＝，其表示圆上的点（a，b）与定点（-1，1）连线的斜率，由题意知斜率必存在，则连线方程为y-1＝k（x+1），即kx-y+k+1＝0，当此直线与圆相切时，k分别取得最大值和最小值.
由圆心到直线的距离d＝＝1， 解得k＝0或，则 的最大值为 .
C
【方法技巧】
与圆有关的最值问题的类型及求解方法
涉及与圆有关的最值问题，利用表达式的几何意义，借助于平面几何知识，利用数形结合求解，常见的表达式：
（1）形如k＝的最值问题，可转化为圆上的点（x，y）与点（a，b）连线的斜率的最值问题.
（2）形如t＝ax+by形式的最值问题，可转化为与圆有公共点的动直线y＝-x+的截距的最值问题.
（3）形如m＝（x-a）2+（y-b）2的最值问题，可转化为圆上的点（x，y）到点（a，b）的距离的平方的最值问题.
题组六　实际应用问题
例11 如图，直线l是森林的边界线，图中阴影部分是与l垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草原上点A和点B处，其中AB＝BC＝1 km，现兔子随机的沿直线AD，以速度2v准备越过森林边界l逃入森林，同时，狼沿线段BM以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M处，狼就会吃掉兔子.某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系xCy，并假设点M的坐标为（x，y）.
（1）求兔子的所有不幸点M（即兔子被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S；
（2）若兔子随机沿与AC成锐角θ（θ＝∠CAD）的路线越过l向森林逃跑，求兔子能够逃脱的θ的取值范围.
【解题提示】　（1）由题意，可知狼要想吃掉兔子，就必须先到达M点或与兔子同时到达M点，即t狼≤t兔，由此可得x，y满足的不等式，再求面积.
（2）先寻找兔子能够逃脱的边界线AD0，然后结合图形，即可求出兔子能够逃脱的θ的取值范围.
【解】　（1）由题意知B（0，1），A（0，2），M（x，y）.
狼要想吃掉兔子，就必须先到达M点或与兔子同时到达M点，
即有t狼＝≤t兔＝.化简得2|BM|≤|AM|，即≤，
两边平方并整理得3x2+3y2-4y≤0，即x2+≤.
又x≥0，∴ 兔子的所有不幸点M构成的区域为半圆及其内部.∴ S＝π·＝π.
故兔子的所有不幸点M组成的区域的面积S为π.
（2）如图，过点A作半圆P：x2+＝的切线，切点为F，连接PF.
在Rt△APF中，
sin∠PAF＝＝＝，
所以∠PAF＝30°.
兔子要想不被狼吃掉，则不能沿∠CAF及其以内的方向逃跑，
故所求θ的取值范围为30°<θ<90°.
如图，已知一艘船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘轮船从位于船O正东40 km的A处出发，径直驶向位于船O正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.
问：这艘轮船能否被船O监测到？若能，求出持续时间.（要求用坐标法）
【变式训练】
解：如图，以O为原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，则A（40，0），
B（0，30），圆O方程为x2+y2＝252.
直线AB的方程为+＝1，即3x+4y-120＝0.
设O到直线AB的距离为d，则d＝＝24<25，故直线AB与圆O相交，所以轮船能被船O监测到.
直线AB被圆O截得的弦长为＝14，
设监测时间为t，则t＝＝（h）.
答：轮船能被船O监测到，持续时间是0.5 h.
【方法技巧】
与直线与圆有关的实际问题的解题方法
首先，把实际问题转化为数学问题，转化的前提是建立平面直角坐标系，写出相应的圆与直线的方程；其次注意实际问题在圆中所求的是什么，可能是已知横（纵）坐标的点的另一个坐标，可能是弦长，可能是判断直线与圆（或半圆、圆拱）是否相切等问题；然后利用所学数学知识，解决数学问题；最后， 再回到实际问题，根据实际意义作答.
小结
直线与圆的位置关系
直线l的方程为y＝kx+b，⊙C的方程为x2+y2＝r2.
当且仅当d当且仅当d＝r，即 d＝ 时，直线与圆相切；
当且仅当d>r，即 d> 时，直线与圆相离.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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