【课件】1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 数学-RJB-选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何(共47张PPT)

(共47张PPT)
数学-RJ·B-选择性必修第一册
1.1　空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
第一章 空间向量与立体几何
重点：空间向量的运算和运算律
两个向量数量积的计算及应用
难点：应用向量解决立体几何中的问题
向量数量积的几何意义及应用
1.理解空间向量的概念，明确空间向量是平面向量的推广.
2.掌握空间向量的加法、减法及数乘向量运算.
3.掌握空间向量的运算律.
4.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
学习目标
知识梳理
1.空间向量的概念
空间中既有大小又有方向的量称为空间向量（简称为向量）.
大小相等、方向相同的向量称为相等的向量，方向相同或者相反的两个非零向量互相平行（此时，表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合）.
一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量 ；否则，称这些向量 .
共面
不共面
向量加法的三角形法则和平行四边形法则对空间向量仍然适用.
空间向量的加法也满足交换律和结合律，即对于任意的向量a，b，c，都有a+b＝ ，（a+b）+c＝ .
三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
2.空间向量的加法运算
在空间中任取一点O，作＝， ＝，作出向量，则向量就是向量与的差（也称为向量与的差向量），即.
当与不共线时，向量，，-正好能构成一个三角形，因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.
同平面中的情形一样，给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量的相反向量记作-.因此，的相反向量是，而且＝ .因为零向量的始点与终点相同，所以-0＝0.
不难看出，空间向量的减法也可以看成向量的加法，即-＝+ .
3.空间向量的线性运算
同平面中的情形一样，给定一个实数λ与任意一个空间向量，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λ，其中：
（1）当λ≠0且≠0时，λ的模为 ，而且λ的方向：
①当λ>0时，与的方向相同；
②当λ<0时，与的方向相反.
（2）当λ＝0或＝0时，λ＝ .
上述实数λ与空间向量相乘的运算简称为数乘向量.
空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算，空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数与，向量与，有
+＝ ，（+）＝ .
给定两个非零向量，，任意在空间中选定一点，作＝，＝，则大小在［0，π］内的∠称为与的夹角，记作〈，〉.
特别地，如果〈，〉＝，则称向量与垂直，记作⊥；为了方便起见，仍约定零向量与任意向量都垂直.
空间中，两个非零向量与的数量积（也称为内积）定义为·＝||||cos〈，〉.
4.空间向量的数量积
空间向量的数量积具有以下性质：
（1）⊥·＝0；
（2）·＝||2＝2；
（3）|·|≤||||；
（4）（）·＝（·）；
（5）·＝·（交换律）；
（6）（+）·＝·+·（分配律）.
常考题型
一 空间向量的概念
例1 下列命题，正确的是 （　　）
A.若≠，则||≠|| B.若||>||，则>
C.若＝，则||＝|| D.若||＝||，则＝
【解析】　对于A，不相等的向量，它们的模可以相等，如单位向量，故A错；对于B，向量不能比较大小，故B错；对于C，相等的向量，它们的模一定相等，故C正确；对于D，|a|＝|b|说明a与b长度相等，但方向不确定，故D错.
【答案】　C
【变式训练】
1.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（　　）
①若空间向量，，满足＝，＝，则＝；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若两个向量相等，则它们的起点与终点相同.
A.0 B.1 C.2 D.3
C
2.［2020·广东深圳高二检测］如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量平行的向量共有　　　　个.
【变式训练】
解题方法：
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
1.关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
2.注意点：注意一些特殊向量的特性.
（1）零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任意向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.
（2）单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
（3）两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.
例2 在如图所示的平行六面体中，找出，，，，，中的共面向量.
二 共面向量的定义
【解】 ， ，是共面向量；
， ， 是共面向量；
， ， 是共面向量.
例3
空间向量的线性运算
<1>空间向量的加法运算
【变式训练】
解题方法：
<2>空间向量的减法运算
例4
【变式训练】
D
A
解题方法：
空间向量加法、减法运算的两个技巧
1.巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量减法运算的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
2.巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
【说明】
（1）向量加法的三角形法则：首尾相接，指向终点；
（2）向量减法的三角形法则：起点重合，指向被减向量；
（3）平行四边形法则：起点重合；
（4）多边形法则：首尾相接，指向终点.
<3>空间向量的数乘运算
例5
【解题提示】　先观察运算涉及的向量在图形中的位置特点，再利用向量的运算法则即可化简.
【变式训练】
例6
四 两向量共线的充分条件
【变式训练】
1.已知向量1，2不共线，＝31+42，＝-31+82，判断与是否共线.
【变式训练】
例7
五 三点共线的充分条件
【变式训练】
共线
空间向量的数量积
<1>空间向量的夹角
例8
【解题提示】　两个向量的夹角是把两个向量平移到起点重合时所成的平面角，而平面角的大小就是这两个向量夹角的大小.
【变式训练】
解题方法：
求空间图形中两个向量的夹角时，要注意分析图形，可平移一个向量，使其起点与另一个向量的起点重合，将求两个向量夹角的大小转化为求平面角的大小.在解题过程中，一定要注意向量的方向.如〈 〉与〈 ， 〉是互补的.
<2>空间向量的数量积的计算
例9
已知向量与的夹角为135°，且||＝||＝4，则·（2-）＝　　　　.
【变式训练】
A
【变式训练】
解题方法：
空间向量数量积运算的两种方法
1.直接利用空间向量数量积的定义并结合运算律进行计算.
2.借助图形特点及空间向量数量积的运算律：计算两个向量的数量积，可先将两向量移到同一顶点的位置，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.步骤如下：
（1）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.
（3）求出向量的模并根据向量的方向正确求出向量的夹角.
（4）代入公式·＝||||cos〈，〉求解.
小结
1.给定一个实数λ与任意一个空间向量，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λ，其中：
（1）当λ≠0且≠0时，λ的模为，而且λ的方向：
①当λ>0时，与的方向相同；
②当λ<0时，与的方向相反.
（2）当λ＝0或＝0时，λ＝0.
上述实数λ与空间向量相乘的运算简称为数乘向量.
2.空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数与，向量与，有
+＝，（+）＝.
3.空间向量的数量积具有以下性质：
（1）⊥·＝0；
（2）·＝||2＝2；
（3）|·|≤||||；
（4）（）·＝（·）；
（5）·＝·（交换律）；
（6）（+）·＝·+·（分配律）.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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