【课件】1.1空间向量及其运算 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 数学-RJB-选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 (共43张PPT)

(共43张PPT)
数学-RJ·B-选择性必修第一册
1.1　空间向量及其运算
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第一章 空间向量与立体几何
重点：向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件
难点：向量坐标的确定，公式的应用
1.了解空间向量坐标的定义.
2.掌握空间向量运算的坐标表示.
3.能够利用坐标运算来求向量的长度与夹角.
学习目标
知识梳理
1.空间中向量的坐标与空间直角坐标系
一般地，如果空间向量的基底{1，2，3}中，1，2，3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果＝1+2+3，则称有序实数组（，，）为向量的坐标，记作＝（，，），其中，，都称为的坐标分量.
空间中两个向量，满足＝（1，1，1），＝（2，2，2），，是两个实数，
当＝时，有11+12+13＝21+22+23，即1＝2，1＝2，1＝2；
+＝（1+2，1+2，1+2）；+＝（1+2，1+2，1+z2）；
＝12+12+12；
2.空间向量的运算与坐标的关系
空间中两个向量，满足＝（1，1，1），＝（2，2，2），
3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴.这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.
在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面.z轴的正方向一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合.
在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，
一般把x轴、y轴画成水平放置，
x轴正方向与y轴正方向夹角为135°（或45°），
z轴与y轴（或x轴）垂直，如图（1）（2）所示.
4.空间直角坐标系
（1） （2）
空间中建立了空间直角坐标系之后，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，如图所示.习惯上，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限.事实上，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{（x，y，z）|x>0，y>0，z>0}，
其他卦限的点集可用类似的方法表示.
空间直角坐标系中两点：（1，1，1），（2，2，2），
5.空间向量坐标的应用
常考题型
一　空间中向量的坐标——求空间向量在指定基底下的坐标
例1
【变式训练】
（1，1，1）
（， ，1）
例2
二　空间向量的运算与坐标的关系
<1>已知两空间向量坐标，进行向量的坐标运算
已知＝（-3，2，5），＝（1，5，-1）.
求：（1）+；（2）-；（3）6.
【解】　（1）+＝（-3+1，2+5，5-1）＝（-2，7，4）.
（2）-＝（-3-1，2-5，5+1）＝（-4，-3，6）.
（3）6＝（6×（-3），6×2，6×5）＝（-18，12，30）.
【变式训练】
若向量＝（2，2，3），＝（-1，2，1），＝（0，1，1），则·（+）＝（　　）
A.5 B.8 C.10 D.12
例3
<2>已知空间向量的坐标与运算关系，求参数
已知＝（2，3，-4），＝（-4，-3，-2），＝-2，则＝（　　）
A.（0，3，-6） B.（0，6，-20）
C.（0，6，-6） D.（6，6，-6）
【解析】　由＝-2，得＝4+2.
因为＝（2，3，-4），＝（-4，-3，-2），
所以＝4+2＝4（2，3，-4）+2（-4，-3，-2）＝（0，6，-20）.
【答案】　B
【变式训练】
1.若向量＝（1，1，），＝（1，2，1），＝（1，1，1）满足条件（-）·2＝-2，则＝　　　　.
2
2.［2020·辽宁东北育才学校高二检测］已知＝（2，-1，3），＝（-1，4，-2），＝（7，5，），若，，三向量共面，则实数等于　　　　.
<3>已知两空间向量的坐标，求其夹角
例4
【解析】　+＝（cos α+sin α，2，sin α+cos α），
-＝（cos α-sin α，0，sin α-cos α），
所以（+）·（-）＝cos2α-sin2α+sin2α-cos2α＝0，
所以cos〈+，-〉＝0，
所以+与-的夹角为90°.
【答案】　A
【变式训练】
［2020·山东潍坊一中高二检测］已知向量＝（2，4，1），＝（-2，-4，-1），＝（3，-2，2），求+与+所成角的余弦值.
三　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
<1>空间向量平行的坐标表示
【变式训练】
［2020·江苏常州高二检测］（1）已知向量＝（-1，，3），＝（2，-4，y），且∥，那么+等于　　　　.
（2）若空间三点（1，5，-2），（2，4，1），（，3，+2）共线，则＝　　　　，＝　　　　.
-4
3
2
<2>空间向量垂直的坐标表示
1.［2020·黑龙江佳木斯市第二中学高二检测］已知＝（1，，4），＝（3，-2，5），且（+）⊥，则＝　　　　.
【变式训练】
2.已知＝（2，3，1），＝（-4，2，），且⊥，则||＝　　　　.
解题方法：
用坐标法解空间向量平行与垂直问题的两种题型
1.平行与垂直的判断.此类问题直接根据向量坐标的运算结果进行判断.
2.利用平行与垂直关系求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.此类问题需要根据向量的坐标运算建立关于参数的方程（组）进行求解.题目中没有参数的往往需要引入适当的参数.
例7
四　空间直角坐标系
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标.
【解】　如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
由题意知长方体的棱长AD＝BC＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，
显然D（0，0，0）.A在x轴上，∴ A（3，0，0）.C在y轴上，∴ C（0，5，0）.
D1在z轴上，∴ D1（0，0，4）.B在xDy平面内，∴ B（3，5，0）.
A1在xDz平面内，∴ A1（3，0，4）.C1在yDz平面内，∴ C1（0，5，4）.
∵ B1在xDy平面内的射影为B（3，5，0），
∴ B1的横坐标为3，纵坐标为5.
∵ B1在z轴上的射影为D1（0，0，4），
∴ B1的竖坐标为4，∴ B1（3，5，4）.
［2020·河北衡水中学高二检测］在空间直角坐标系Oxyz中，点P（-2，1，4）.
（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；
（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标.
【变式训练】
解：（1）因为点P关于x轴对称后，在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1（-2，-1，-4）.
（2）因为点P关于xOy平面对称后，在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2（-2，1，-4）.
解题方法：
空间直角坐标系中求某点M的坐标的方法
在空间直角坐标系Oxyz中，作MM′垂直于平面xOy，垂足为M′，求M′的横坐标x、纵坐标y，即点M的横坐标x、纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标（x，y，z）.
【方法技巧】
求对称点的坐标可按“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反”的规律写出，比如，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数.特别地，若关于原点对称，则三个坐标均变为原来的相反数.
例8
五　空间向量在空间直角坐标系中的坐标
<1>空间直角坐标系中，运用空间点与向量坐标的关系，求向量的坐标
例9
<2>建立恰当的坐标系，求空间向量的坐标
【变式训练】
解题方法：
求空间向量坐标的两种方法
1.将待求向量用基向量表示出来，对应项系数形成的有序数组即为所求的向量坐标.此时要注意向量表示中基向量的先后顺序要与基底中基向量的顺序保持一致.这种方法对于有无坐标系的情形都适用.一般步骤如下：
2.对于建立了空间直角坐标系的情形，可以先写出相关点的坐标，向量的坐标为其终点的坐标减去始点相应的坐标.
例9
六　空间直角坐标系中两点间距离公式
（1）在空间直角坐标系中，已知A（1，-2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为（　　）
A.（3，0，0） B.（0，3，0） C.（0，0，3） D.（0，0，-3）
（2）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点.若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为　　　　.
【变式训练】
A
例10
七　空间直角坐标系中的中点坐标公式
小结
1.空间向量的运算与坐标的关系
空间中两个向量，满足＝（1，1，1），＝（2，2，2），，是两个实数，
当＝时，有11+12+13＝21+22+23，即1＝2，1＝2，1＝2；
+＝（1+2，1+2，1+2）；+＝（1+2，1+2，1+z2）；
＝12+12+12；
空间中两个向量，满足＝（1，1，1），＝（2，2，2），
2.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
空间直角坐标系中两点：（1，1，1），（2，2，2），
3.空间向量坐标的应用
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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