【课件】2.2直线及其方程 2.2.2直线的方程 数学-RJB-选择性必修第一册-第二章 平面解析几何(共50张PPT)

(共50张PPT)
数学-RJ·B-选择性必修第一册
2.2　直线及其方程
2.2.2　直线的方程　
第二章 平面解析几何
重点：直线点斜式方程的推导（点斜式是直线方程的重中之重）
难点：直线与二元一次方程的对应关系
1.会求直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式方程.
2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系.
学习目标
知识梳理
1.直线的点斜式方程与斜截式方程
一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F（x，y）＝0的解，而且以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F（x，y）＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F（x，y）＝0的直线.此时，为了简单起见，“直线l”也可说成“直线F（x，y）＝0”，并且记作l：F（x，y）＝0.
在平面直角坐标系中，如果已知P0（x0，y0）是直线l上一点，而且知道l的斜率信息，就可以写出直线l的方程：
（1）如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0.
（2）如果直线l的斜率存在且为k，设P（x，y）为直线l上不同于P0的点，则
＝k，即 ＝k，化简可得y-y0＝k（x-x0）.这个方程由直线上一点和直线的斜率确定，所以通常称为直线的点斜式方程.
如果已知P0（x0，y0）是直线l上一点，而且l的斜率为k，则直线的一个方向向量为a＝（1，k）；另一方面，设P（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的充要条件是与a共线，又因为 ＝（x-x0，y-y0），所以y-y0＝ （x-x0）.
一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为（a，0），则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为（0，b），则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距.
方程y＝kx+b由直线的斜率和截距确定，通常称为直线的斜截式方程.
2.直线的两点式方程
当x2-x1≠0且y2-y1≠0时，这种形式的直线方程由直线上的两点确定，称为直线的两点式方程.
这种形式的方程通常称为直线的截距式方程.
需要特别注意的是，这只有直线在x轴与在y轴上的截距都存在且不为 时才成立.
3.直线的一般式方程
Ax+By+C＝0形式的方程称为直线的一般式方程.其中A，B，C都是实常数，而且A与B不同时为零（即A2+B2≠0）.
· 直线方程Ax+By+C＝0（A2+B2≠0）的系数A，B，C满足下列关系时直线的性质：
（1）当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴相交；
（2）当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
（3）当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
（4）当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
（5）当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合.
常考题型
题组一 直线的方程和方程的直线
例1 判断下列各点是否在直线y＝-2x-6上：
A（0，-5），B（-3，0），C（1，-7），D（2，-10）.
【解】　点A（0，-5）不在直线y＝-2x-6上，因为-5≠-2×0-6，即-5≠-6；
点B（-3，0）在直线y＝-2x-6上，因为0＝-2×（-3）-6，即0＝0；
点C（1，-7）不在直线y＝-2x-6上，因为-7≠-2×1-6，即-7≠-8；
点D（2，-10）在直线y＝-2x-6上，因为-10＝-2×2-6，即-10＝-10.
【变式训练】
若点（1 010，b）在直线l：上，则b的值为　　　　.
解析：由点（1 010，b）在直线l上，则有 ，解得b＝2 021.
答案：2021
题组二　已知直线上一点坐标，其斜率不存在条件下，求其方程
例2 求过点P（3，-1），且与y轴平行的直线方程.
【解题提示】　利用特殊位置的直线表示形式解答.
【解】　直线与y轴平行，说明斜率不存在.又因为直线过点P（3，-1），所以直线的方程为x＝3.
过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程为　　　　.
【变式训练】
解析：过点A（2，0）且与x轴垂直的直线斜率不存在，直线方程是x＝2.
答案：x=2
题组三　直线的点斜式方程
例3 ［2020·河南周口高一检测］求满足下列条件的直线的方程：
（1）过点P（-4，3），斜率k＝-2；（2）过点P（2，-5），且与x轴平行.
【解题提示】　经过一定点且已知斜率的直线可用直线的点斜式方程表示.
【解】　（1）直线过点P（-4，3），斜率k＝-2，由点斜式得y-3＝-2（x+4），
整理得所求方程为2x+y+5＝0.
（2）直线过点P（2，-5），且与x轴平行，则斜率k＝0.
故所求直线方程为y+5＝0（x-2），即y＝-5.
［2020·广东湛江高二检测］直线y＝x+1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程.
【变式训练】
解：∵ 直线y＝x+1的斜率k＝1，∴ 倾斜角为45°.
由题意知，直线l的倾斜角为135°，∴ 直线l的斜率k′＝tan 135°＝-1.
又点P（3，4）在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y-4＝-（x-3）.
题组四　直线的截距
例4 下列三个说法中正确的有　　　　（填序号）.
①任何一条直线在y轴上都有截距；
②直线在y轴上的截距一定是正数；
③直线的斜截式方程可以表示任何不垂直于x轴的直线.
【解析】　因为当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在，所以①错误.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误.不垂直于x轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线的斜截式方程表示，所以③正确.
【答案】　③
［2020·江苏昆山中学高二月考］直线方程为y+2＝2x-2，则直线在y轴上的截距为　　　　.
【变式训练】
解析：由y+2＝2x-2，令x＝0，得y+2＝-2，∴ 直线在y轴上的截距为-4.
答案：-4
题组五　直线的斜截式方程
<1>辨析直线的斜截式方程
例5 集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A，B间的关系是　　　　.
【解析】　一次函数y＝kx+b中k≠0，直线的斜截式方程y＝kx+b中k可以是0，所以BA.
【答案】　B A
［2020·浙江省海宁中学高二检测］（1）已知直线l的方程为2x+y-1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标；
（2）求过点A（6，-4），斜率为-的直线的斜截式方程.
【变式训练】
解：（1）直线方程2x+y-1＝0可化为y＝-2x+1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝-2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为（0，1）.
（2）由于直线的斜率k＝- ，且过点A（6，-4），根据直线的点斜式方程得直线方程为y+4＝- （x-6），化成斜截式为y＝- x+4.
<2>已（易）知直线的截距、斜率，可代入斜截式，求其方程
例6 写出下列直线的斜截式方程：
（1）直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
（2）直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2.
【解题提示】　（1）倾斜角的正切值即为直线的斜率；
（2）已知两点，先利用斜率公式求出斜率，再写出斜截式方程.
【解】　（1）∵ k＝tan 60°＝，∴ y＝ x+5.
（2）∵ 直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2，
∴ 直线过点（4，0）和（0，-2），∴ k＝＝，∴ y＝x-2.
［2020·江苏扬州高二检测］直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为-3.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
【变式训练】
解：（1）由斜截式得直线l的方程为y＝3x-3.
（2）在y＝3x-3中，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1，则直线l与两坐标轴所围成的三角形面积为S＝×|1|×|-3|＝.
<3>已知直线的斜率存在，可设点斜式、斜截式，求其方程
例7 已知直线l在y轴上的截距为-3，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程.
【解】　由题意可知，直线l的斜率必存在，设l的方程为y＝kx-3，则l与两坐标轴的交点坐标分别为和（0，-3）.由l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，可知××3＝6，解得k＝±.
故直线l的方程为y＝±x-3.
［2020·杭州学军中学高二检测］已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点（6，-2），求直线l的方程.
【变式训练】
解：（方法1）设直线l的点斜式方程为y+2＝k（x-6）（k≠0），
令x＝0，得y＝-6k-2，∴ 直线l在y轴上的截距为-6k-2.
令y＝0，得x＝+6，∴ 直线l在x轴上的截距为 +6.
∵ 直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，∴-（-6k-2）＝1，解得k＝-或k＝-.
∴ 直线l的方程为y+2＝-（x-6）或y+2＝-（x-6），即2x+3y-6＝0或x+2y-2＝0.
（方法2）设直线的斜截式方程为y＝kx+b，
令y＝0得x＝-，由题意知解得 或
∴ 直线l的方程为y＝-x+1或y＝-x+2，
即x+2y-2＝0或2x+3y-6＝0.
【规律方法】
待定系数法求直线方程的步骤
1.根据判断，设出所求直线方程的一种形式；
2.由条件建立所求参数的方程（组）；
3.解方程（组）求出参数；
4.把参数值代入所设直线方程，最后将直线方程写为一般式.
<4>根据直线斜截式方程系数的几何意义，判断其在平面直角坐标系中的图象
例8 直线y＝kx+b（k+b＝0，k≠0）的图象可能是图中的　　　　（填
序号）.
① ② ③ ④
【解题提示】　k+b＝0→k与b互为相反数→将直线方程化为点斜式→求出直线过的定点→得到结论.
【解析】　已知k+b＝0，所以k＝-b，代入直线方程，可得y＝-bx+b，即y＝-b（x-1）.又k≠0，所以b≠0，所以直线过定点（1，0），只有②中图象符合.
【答案】　②
［2020·山东潍坊高二检测］下列在同一平面直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是 （　　）
【变式训练】
A B C D
C　
题组六　直线的两点式方程
例9 已知直线l经过两点（-1，2），（-3，-2），则直线l的方程是　　　　.
【解析】　根据直线的两点式方程得＝ ，整理得2x-y+4＝0.
【答案】　2x-y+4＝0
例10 已知两点A（-1，2），B（m，3），求直线AB的方程.
【解题提示】　在求解本题时，容易忽略对m的讨论，直接应用两点式求解，或求出斜率后，应用点斜式求解.事实上，当m＝-1时，我们是不能应用两点式和点斜式的.
【解】　（方法1）当m＝-1时，由A（-1，2），B（-1，3），得直线AB的方程为x＝-1；当m≠-1时，由A（-1，2），B（m，3），得直线AB的斜率k＝ ，利用点斜式，得直线AB的方程为y-2＝ （x+1），即x-（m+1）y+2m+3＝0.
（方法2）当m＝-1时，由A（-1，2），B（-1，3），得直线AB的方程为x＝-1；当m≠-1时，由A（-1，2），B（m，3），利用两点式，得直线AB的方程为 ＝ ，即x-（m+1）y+2m+3＝0.
一条光线从点A（3，2）出发，经x轴反射后，通过点B（-1，6），求入射光线和反射光线所在直线的方程.
【变式训练】
解：因为点A（3，2）关于x轴的对称点为A′（3，-2），
所以直线A′B的方程为＝，即2x+y-4＝0.
同理，点B（-1，6）关于x轴的对称点为B′（-1，-6），
由两点式可得直线AB′的方程为＝，即2x-y-4＝0.
所以入射光线所在直线的方程为2x-y-4＝0，反射光线所在直线的方程为2x+y-4＝0.
题组七　直线的截距式方程
<1>已（易）知直线在x轴、y轴上的截距，可代入截距式，求其方程
例10 在x轴和y轴上的截距分别为-2，3的直线的截距式方程是　　　　.
【解析】　由直线的截距式方程，可得直线方程是 +＝1.
【答案】 +＝1
<2>已知直线的截距关系，谨慎设截距式，求其方程
例11 过点（5，2）且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是　　　　.
【解析】　当y轴上的截距b＝0时，设直线方程为y＝kx，把点（5，2）的坐标代入方程得y＝x，即2x-5y＝0；当b≠0时，设直线方程为+＝1，把点（5，2）的坐标代入方程得b＝，即直线方程为+＝1，即x+2y-9＝0.
【答案】　x+2y-9＝0
1. ［2020·吉林白山高一期末］过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有 （　　）
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
【变式训练】
2. ［2020·长沙市长郡中学高二检测］直线l过点P（8，6），且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为　　 　　.
C　
x-y-2＝0或x+y-14＝0
3. ［2019·辽宁大连高一检测］直线l过定点A（-2，3），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.
解：（方法1）由题意，直线l在两坐标轴上的截距均不为0，故可设所求直线方程为+＝1.
∵ 点A（-2，3）在直线l上，∴+＝1.（1）
又∵ 直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，∴|a||b|＝4.（2）　
由（1）（2）可得或解得或或无解.
故所求直线方程为+＝1或+＝1.
【解题技法】
当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“截距的绝对值相等”“在一坐标轴上的截距是在另一坐标轴上截距的m倍”“与两坐标轴所围三角形的周长（或面积）”等这样的条件时，若采用截距式求直线方程，一定要注意应该从截距为零和不为零两方面考虑，不要习惯性地设直线的截距式方程，而丢掉直线过原点的情况.
题组八　直线的一般式方程
<1>辨析直线的一般式方程
例12 直线x-y+c＝0的倾斜角的大小为　　　　.
【解析】　由直线方程x- y+c＝0可得直线的斜率k＝ .设直线的倾斜角为α，即tan α＝ .∵ 0°≤α<180°，∴ α＝30°.
【答案】　30°
［2020·郑州市第一中学高二检测］若直线Ax+By+C＝0经过第一、二、四象限，则AB　　　　0，BC　　　　0.（填“>”“<”或“＝”）
【变式训练】
>　
<　
<2>已知直线的含参一般式方程，求参数
例13 直线l的方程为2x+（k-3）y-2k+6＝0（k≠3），分别根据下列条件确定k的值.
（1）直线l的斜率为2；
（2）直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
【解】　（1）因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝-x+2，由题意得- ＝2，解得k＝2.
（2）由题易知直线l不过原点，所以直线l的方程可化为+＝1，由题意得k-3+2＝0，解得k＝1.
［2020·浙江嘉兴一中高二检测］已知直线l的方程为（2m2+m-3）x+（m2-m）y＝4m-1（m≠0且m≠1）.
（1）当m＝　　　　时，直线l的倾斜角为45°；
（2）当m＝　　　　时，直线l在x轴上的截距为1；
（3）当m＝　　　　时，直线l在y轴上的截距为-.
【变式训练】
-1　
2或　
-2或　
题组九　已知直线的含参方程，求其所过定点
例14 当a∈R时，求证直线ax+y+a+2＝0必过定点，并求定点的坐标.
【证明】　（方法1）由ax+y+a+2＝0，知a（x+1）+y+2＝0.①
①是关于a的恒等式，必有∴将其代入①检验，满足直线方程，∴ 直线ax+y+a+2＝0必过定点（-1，-2）.
（方法2）将直线方程改写为y＝-a（x+1）-2，将-a看成直线的斜率，直线方程是点斜式方程，∴ 直线一定过定点（-1，-2）.
（方法3）令a＝0，则y+2＝0；①
令a＝1，则x+y+3＝0.②
联立①②，解得x＝-1，y＝-2.③
将③代入直线方程，经检验满足直线方程，∴ 直线恒过定点（-1，-2）.
［2020·河北衡水中学高二检测］已知直线l：y＝kx+2k+1.
（1）求证：直线l过一个定点；
（2）当-3【变式训练】
（1）证明：由y＝kx+2k+1，得y-1＝k（x+2）.由直线的点斜式方程可知，直线过定点（-2，1）.
（2）解：设函数f（x）＝kx+2k+1，显然其图象是一条直线（如图所示）.
当-3解得-≤k≤1.所以实数k的取值范围是.
【解题技法】
已知直线的含参方程，求其所过定点的3种方法
1.对于某些含参数的直线方程，可以通过转化为点斜式方程确定定点的坐标.即若直线斜率存在，则可以把直线方程化为点斜式y-y1＝k（x-x1）的形式，无论直线的斜率k取何值，直线都过定点（x1，y1）.
2.分离参数转化为关于参数的恒等式，利用恒等式成立的条件建立方程组求定点的坐标.
3.对参数分别取两个具体的值，将所得的两个方程联立得方程组，则该方程组的解是定点的坐标.
题组十　直线的法向量
例15 求过点P（1，2），且一个法向量n＝（3，4）的直线l的方程.
【解】　设A（x，y）为平面直角坐标系的任意一点，则A在直线l上的充要条件是与n＝（3，4）垂直.
又因为＝（x-1，y-2），所以3（x-1）+4（y-2）＝0，
即所求直线方程为3x+4y-11＝0.
［2020·长沙市雅礼中学高二检测］已知直线l经过A（3，2），而且v＝（3，-4）是直线l的一个法向量，求直线l的方程.
【变式训练】
解：（方法1）设P（x，y）为平面直角坐标系的任意一点，则P在直线l上的充要条件是与v＝（3，-4）垂直.又因为＝（x-3，y-2），所以3（x-3）+（-4）（y-2）＝0，即3x-4y-1＝0.
（方法2）因为v＝（3，-4）是直线l的一个法向量，所以可设直线方程为3x-4y+C＝0，代入点A（3，2）的坐标可求得C＝-1，因此求得直线方程为3x-4y-1＝0.
小结
1.直线方程的形式
点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
2.直线方程的一般式性质
直线方程Ax+By+C＝0（A2+B2≠0）的系数A，B，C满足下列关系时直线的性质：
（1）当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴相交；
（2）当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
（3）当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
（4）当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
（5）当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合.
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