【课件】2.2直线及其方程 2.2.3两条直线的位置关系 数学-RJB-选择性必修第一册-第二章 平面解析几何(共44张PPT)

(共44张PPT)
数学-RJ·B-选择性必修第一册
2.2　直线及其方程
2.2.3　两条直线的位置关系　
第二章 平面解析几何
重点：两直线平行，垂直的条件
难点：用代数方法推导平行和垂直条件的思路
1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标.
2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和斜率判定直线平行与垂直的差别.
学习目标
知识梳理
1.两条直线的相交、平行与重合
如果两条直线斜率都存在，且直线l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2，则：
l1与l2相交?k1≠k2；
l1与l2平行?k1＝k2且b1≠b2；
l1与l2重合?k1＝k2且b1＝b2.
设直线l1：A1x+B1y+C1＝0，l2：A2x+B2y+C2＝0.
v1＝（A1，B1）是直线l1的一个法向量，v2＝（A2，B2）是直线l2的一个法向量，如图（1）（2）所示，不难看出：
（1）l1与l2相交（即只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1；
（2）l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即 .
（1） （2）
2.两条直线的垂直
一般地，若已知平面直角坐标系中的两直线斜率存在，且l1：y＝k1x+b1，
l2：y＝k2x+b2，则l1⊥l2k1k2＝-1.
设直线l1：A1x+B1y+C1＝0，l2：A2x+B2y+C2＝0.因为v1＝（A1，B1）是直线l1的一个法向量，v2＝（A2，B2）是直线l2的一个法向量，如图所示，不难看出，l1与l2垂直的充要条件是v1与v2垂直，即v1·v2＝0，因此A1A2+B1B2＝0.
即l1⊥l2 A1A2+B1B2＝0.
常考题型
题组一 两条直线平行关系的判定
例1 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行：
（1）直线l1经过点A（2，1），B（-3，5），直线l2经过点C（3，-2），D（8，-7）；
（2）直线l1平行于y轴，直线l2经过点P（0，-2），Q（0，5）；
（3）直线l1经过点E（0，1），F（-2，-1），直线l2经过点G（3，4），H（2，3）.
解：（1）直线l1的斜率k1＝＝- ，直线l2的斜率k2＝ ＝-1，显然k1≠k2，直线l1与l2不平行.
（2）直线l2与y轴重合，所以直线l1与l2平行.
（3）直线l1的斜率k1＝ ＝1，直线l2的斜率k2＝ ＝1，所以k1＝k2.
又kGE＝＝1，所以E，F，G，H四点共线，直线l1与l2重合.
故直线l1与l2不平行.
【规律方法】
判定两条直线平行的常用方法
在判断两直线是否平行时，先看两直线的斜率是否存在，再进行判断，同时注意不要漏掉两直线重合的情况.
设两条斜率存在且不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如下：
前提 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2?斜截式：k1＝k2； 一般式：A1B2-A2B1＝0 l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
【变式训练】
判断下列各组直线的位置关系.
（1）l1：2x+y+1＝0，l2：x-y-5＝0；
（2）l1：x-y-2＝0，l2：2x-2y+3＝0；
（3）l1：3x-4y-1＝0，l2：6x-8y-2＝0.
解：（1）易知A1＝2，B1＝1，C1＝1，A2＝1，B2＝-1，C2＝-5.
因为＝2， ＝-1，所以≠ ，所以两直线相交.
（2）易知A1＝1，B1＝-1，C1＝-2，A2＝2，B2＝-2，C2＝3.
因为＝ ＝≠ ＝ ，所以两直线平行.
（3）易知A1＝3，B1＝-4，C1＝-1，A2＝6，B2＝-8，C2＝-2.
因为＝ ＝ ＝，所以两直线重合.
题组二　两条直线垂直关系的判定
例2 判断下列各题中的直线l1，l2是否垂直：
（1）l1经过点A（-1，-2），B（1，2），l2经过点P（-2，-1），Q（2，1）；
（2）l1经过点A（3，4），B（3，6），l2经过点P（-5，20），Q（5，20）；
（3）l1经过点A（1，3），B（-1，-1），l2经过点P（2，1），Q（4，0）.
解题提示：（1）（3）求出两直线的斜率，判断是否垂直；
（2）易知直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，可判断两直线垂直.
解：（1）直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝ ＝.
因为k1k2＝1≠-1，所以直线l1与l2不垂直.
（2）直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝ ＝0，所以l1⊥l2.
（3）直线l1的斜率k1＝ ＝2，直线l2的斜率k2＝ ＝- .
因为k1k2＝-1，所以l1⊥l2.
【规律方法】
两直线垂直与斜率的关系
对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，且l1⊥l2?斜截式：k1·k2＝-1；一般式：A1A2+B1B2＝0 l1与l2中的一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，则l1⊥l2
图示
满足下列条件中的l1和l2，其中l1⊥l2的是 （　　）
（1）l1的方程为2x+3y+1＝0，l2经过点A（1，1），；
（2）l1的倾斜角为45°，l2经过点P（-2，-1），Q（3，-5）；
（3）l1经过点M（1，0），N（4，-5），l2经过点R（-6，0），S（-1，3）.
A.（1）（2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3）
【变式训练】
B
题组三　根据两直线的位置关系求解参数问题
例3 已知直线l1：3x-6y+1＝0，l2：x-my+2＝0，l3：nx+y+3＝0，若l1∥l2，且l1⊥l3，则m-n的值为 （　　）
A.4 B.-4 C.2 D.0
解题提示：由l1∥l2可得k1＝k2，从而可求出m；由l1⊥l3可得k1k3＝-1，可求出n，从而可得出结果.
解析：因为l1∥l2，所以k1＝k2，即＝，所以m＝2.
由l1⊥l3可得k1k3＝-1，即×（-n）＝-1，解得n＝2，所以m-n＝0.故选D.
答案：D
（1）当m为何值时，直线l1：2x+（m+1）y+4＝0与直线l2：mx+3y-2
＝0平行？
（2）当a为何值时，直线l1：（a+2）x+（1-a）y-1＝0与直线l2：（a-1）x
+（2a+3）y+2＝0垂直？
【变式训练】
解：（1）l1：2x+（m+1）y+4＝0，l2：mx+3y-2＝0，
当m＝0时，显然l1与l2不平行.当m≠0时，若l1∥l2，则需＝≠ .①
由①式得m2+m-6＝0，解得m＝2或m＝-3，显然m＝2或m＝-3满足①式.
∴ 当m＝-3或m＝2时，l1∥l2.
（2）当1-a＝0，即a＝1时，直线l1：3x-1＝0与直线l2：5y+2＝0显然垂直.
当2a+3＝0，即a＝时，直线l1：x+5y-2＝0与直线l2：5x-4＝0不垂直.
当1-a≠0，且2a+3≠0时，直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝，k2＝.
当k1·k2＝-1时，l1⊥l2，即() ·() ＝-1，解得a＝-1.
综上可知，当a＝1或a＝-1时，直线l1⊥l2.
题组四　直线系方程的应用
<1> 过两条相交直线交点的直线系方程的应用
例4 （1）斜率为-2且过两条直线3x-y+4＝0和x+y-4＝0的交点的直线的方程为　　　　.
（2）过直线2x-y+4＝0与直线x+y+5＝0的交点，且与直线x-2y＝0垂直的直线的方程是　　　　.
解析：（1）解方程组得
即这两条直线的交点的坐标为（0，4）.
又所求直线的斜率为-2，由直线的点斜式方程得y-4＝-2（x-0），即2x+y-4＝0.
（2）（方法一）直线2x-y+4＝0与直线x+y+5＝0的交点的坐标为（-3，-2），所求直线的斜率为k＝-2，所以所求的直线方程为y+2＝-2（x+3），即2x+y+8＝0.
（方法二）设所求的直线方程为2x-y+4+λ（x+y+5）＝0，整理得（2+λ）x+（λ-1）y+4+5λ＝0，因为所求直线与直线x-2y＝0垂直，所以满足2+λ-2（λ-1）＝0，所以λ＝4，故所求直线的方程为2x+y+8＝0.
（方法三）因为所求直线与直线x-2y＝0垂直，故设所求直线方程为-2x-y+c＝0，又直线2x-y+4＝0与直线x+y+5＝0的交点的坐标为（-3，-2），将其代入直线方程-2x-y+c＝0可得c＝-8，故所求直线方程为2x+y+8＝0.
答案：（1）2x+y-4＝0　（2）2x+y+8＝0
［2020·河南南阳高一联考］求经过直线l1：x+3y-3＝0和l2：x-y+1＝0的交点，且平行于直线2x+y-3＝0的直线l的方程.
【变式训练】
解：设所求直线方程为（x+3y-3）+λ（x-y+1）＝0，
即（1+λ）x+（3-λ）y-3+λ＝0，∴ k＝＝ .
又所求直线与直线2x+y-3＝0平行，∴ k＝-2，∴ ＝-2，
∴ λ＝，∴ 直线l的方程为x+y-＝0，即2x+y-1＝0.
<2>平行直线系和垂直直线系方程的应用
例5 求满足下列条件的直线的方程.
（1）与直线3x+4y+8＝0平行且过点（3，-2）的直线l的方程为　　　　；
（2）经过点A（2，1），且与直线2x+y-10＝0垂直的直线l的方程为　　　　.
解题提示：可根据直线平行或垂直的斜率关系，写出直线的点斜式（或斜截式）方程或利用系数关系，设出所求方程，利用待定系数法求解.
解析：（1）（方法一）因为直线3x+4y+8＝0的斜率k＝，所以直线l的斜率也为.又直线l过点（3，-2），所以由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y+2＝ （x-3），即3x+4y-1＝0.
（方法二）与直线3x+4y+8＝0平行的直线l的方程可设为3x+4y+m＝0（m≠8）.
因为直线l过点（3，-2），则3×3+4×（-2）+m＝0，所以m＝-1.
故所求直线l的方程为3x+4y-1＝0.
（2）（方法一）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设直线l的斜率为k.
因为直线l与直线2x+y-10＝0垂直，所以k×（-2）＝-1，所以k＝.
又直线l经过点A（2，1），故所求直线l的方程为y-1＝（x-2），即x-2y＝0.
（方法二）设与直线2x+y-10＝0垂直的直线l的方程为x-2y+m＝0.
因为直线l经过点A（2，1），所以 2-2×1+m＝0，所以m＝0.
故所求直线l的方程为x-2y＝0.
答案：（1）3x+4y-1＝0　（2）x-2y＝0
【规律方法】
根据直线的位置关系求直线方程的方法
（1）根据两直线平行或垂直，可先确定出待求直线的斜率，再根据待求直线上点的坐标或其他条件求解直线方程.
（2）根据平行直线系方程或垂直直线系方程，设出待求直线的方程，利用待定系数法求解.
若a+b+c＝0，且a，b不同时为0，求证：直线ax+by+c＝0必过一个定点.
【变式训练】
证明：因为a+b+c＝0，且a，b不同时为0，不妨设b≠0，则a＝-（b+c），代入直线方程ax+by+c＝0，得-（b+c）x+by+c＝0，即（x-y）+（x-1）＝0，此方程可视为过直线x-y＝0与x-1＝0的交点的直线系方程.
解方程组得即两条直线的交点坐标为（1，1）.
故直线ax+by+c＝0必过定点（1，1）.
题组五　对称问题
<1>直线关于点对称
例6 直线y＝2x+1关于点（1，1）对称的直线l的方程是　　　　.
解析：（方法一）在直线l上任取一点P′（x，y），其关于点（1，1）的对称点
P（2-x，2-y）必在直线y＝2x+1，∴ 2-y＝2（2-x）+1，即2x-y-3＝0.因此，直线l的方程为y＝2x-3.
（方法二）在直线y＝2x+1上任取两个点A（0，1），B（1，3），点A关于点（1，1）对称的点为M（2，1），点B关于点（1，1）对称的点为N（1，-1），则点M，N在直线l上.由两点式得直线l的方程为＝ ，即y＝2x-3.
答案：y＝2x-3
［2020·河北五校联考］直线ax+y+3a-1＝0恒过定点M，则直线2x+3y-6＝0关于M点对称的直线方程为 （　　）
A.2x+3y-12＝0 B.2x-3y-12＝0
C.2x-3y+12＝0 D.2x+3y+12＝0
【变式训练】
D
<2>点关于直线对称
例7 已知不同的两点P（a，b）与Q（b+1，a-1）关于直线l对称，则直线l的方程为 （　　）
A.y＝x-2 B.y＝x+2 C.y＝x-1 D.y＝x+3
解析：由题意知，a≠b+1，直线PQ的斜率kPQ＝＝-1，故直线l的斜率为1.
因为线段PQ的中点在直线l上，故中点坐标满足直线l的方程，将中点坐标代入各选项中验证，只有选项C满足.
答案：C
［2020·河北高二期中］已知线段AB的中垂线方程为x-y-1＝0且A（-1，1），则B点坐标为 （　　）
A.（2，-2） B.（-2，2） C.（-2，-2） D.（2，2）
【变式训练】
解析：设B点的坐标为（a，b），由题意可知解得a＝2，b＝-2，所以B点的坐标为（2，-2）.
A
<3>直线关于直线对称
例8 求直线l1：x-y-2＝0关于直线l：3x-y+3＝0对称的直线l2的方程.
【解】由得∴ l1与l相交，且交点坐标为，则此点也在直线l2上.在l1上取一点P（0，-2），设它关于直线l的对称点为Q（x0，y0），则解得∴ 点Q（-3，-1）.
又点Q在l2上，∴ 直线l2的方程为，即7x+y+22＝0.
【规律方法】
直线l1与l2关于直线l对称，它们满足的几何性质如下：
（1）若l1与l2相交，则直线l是l1，l2夹角的平分线所在的直线；（2）若l1与l2平行，则直线l在l1，l2之间且到l1，l2的距离相等；（3）若点A在l1上，则点A关于直线l的对称点B一定在l2上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）.
设入射光线沿直线y＝2x+1射向直线y＝x，则被y＝x反射后，反射光线所在的直线方程是 （　　）
A.x+2y+3＝0 B.x-2y+1＝0 C.3x+2y-1＝0 D.x-2y-1＝0
【变式训练】
解析：由可得反射点A（-1，-1），在入射光线y＝2x+1上任取一点B（0，1），则点B（0，1）关于y＝x的对称点C（1，0）在反射光线所在的直线上.根据点A（-1，-1）和点C（1，0）的坐标，利用两点式求得反射光线所在的直线方程是＝ ，化简可得x-2y-1＝0.故选D.
D
<4>对称问题的应用
例9 在直线l：x-y-1＝0上求两点P，Q，使得：
（1）点P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差最大.
（2）点Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小.
解：（1）设点B关于l的对称点B′的坐标为（a，b），则kBB′·kl＝-1，
即×1＝-1，∴ a+b-4＝0①.
∵ BB′的中点在直线l上，∴ --1＝0，即a-b-6＝0②.
由①②得a＝5，b＝-1，∴ B′（5，-1）.
于是直线AB′的方程为＝ ，即2x+y-9＝0.
当点P是直线l与直线AB′的交点时，点P到点A与点B的距离之差最大.
联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝，
即l与AB′的交点的坐标为，故点P的坐标为.
（2）设C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为（1，2）.
∴ AC′所在直线的方程为x+3y-7＝0.
当点P是直线l与直线AC′的交点时，点P到点A与点C的距离之和最小.
AC′与l的交点的坐标为，故点Q的坐标为.
【规律方法】
求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法
当两点A，B在直线l的两侧时，可以在直线l上找到一点P，使得||PA|-|PB||最大.
如图，作点B关于直线l的对称点B′，
连接AB′并延长，交l于点P，连接PB，则点P就是所求点.
若在直线l上取不同于点P的点P′，
连接P′A，P′B，P′B′，则|P′B|＝|P′B′|.
在△AP′B′中，||P′A|-|P′B′||<|AB′|（三角形两边之差小于第三边），
即||P′A|-|P′B||<|AB′|，当P′与P重合时，||PA|-|PB||最大，且||PA|-|PB||max＝|AB′|.
求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方法
当两点A，C在直线l的同侧时，可以在直线l上找到一点Q，使得|QA|+|QC|最小.如图，作点C关于直线l的对称点C′，
连接AC′交l于点Q，则点Q就是所求点.
若在直线l上取不同于点Q的点Q′，
连接Q′A，Q′C，Q′C′，QC，AC，
则|Q′C|＝|Q′C′|，|QC|＝|QC′|.
在△Q′AC′中，|AC′|<|Q′C′|+|Q′A|（三角形两边之和大于第三边），当A，Q′，C′三点共线，即Q′与Q重合时，|QA|+|QC|最小，且（|QA|+|QC|）min＝|AC′|.
在直线l：3x-y-1＝0上求点P，Q，使得：
（1）点P到点A（4，1），B（0，4）的距离之差的绝对值最大；
（2）点Q到点A（4，1），C（3，4）的距离之和最小.
【变式训练】
解：（1）如图，设点B（0，4）关于直线l的对称点为B′（a，b），则|PB|＝|PB′|.
由题意知 解得 即B′（3，3）.
于是直线AB′的方程为y-1＝（x-4），即2x+y-9＝0.
直线l与AB′的交点即为P，可求得点P的坐标为（2，5）.
假设点P′是直线l上不同于点P的任一点，则有||P′A|-|P′B′||<|AB′|＝||PA|-|PB′||＝||PA|-|PB||，∴ 点P（2，5）即为所求.
（2）如图，设点C关于直线l的对称点为C′（m，n），则|QC′|＝|QC|.
由题意知 解得
即C′，∴ 直线AC′的方程为19x+17y-93＝0.
由 得 即 .
假设点Q′是直线l上不同于点Q的任一点，则有|Q′A|+|Q′C|＝|Q′A|+|Q′C′|>|AC′|＝|QA|+|QC′|＝|QA|+|QC|，∴ 点即为所求.
小结
1.两条直线相交、平行和重合
设直线l1：A1x+B1y+C1＝0，l2：A2x+B2y+C2＝0.则：
（1）l1与l2相交（即只有一个交点）的充要条件是A1B2≠A2B1；
（2）l1与l2平行或重合的充要条件是.
如果两条直线斜率都存在，且直线l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2，则：
l1与l2相交?k1≠k2；
l1与l2平行?k1＝k2且b1≠b2；
l1与l2重合?k1＝k2且b1＝b2.
2.两条直线垂直
设直线l1：A1x+B1y+C1＝0，l2：A2x+B2y+C2＝0.则 l1与l2垂直的充要条件是A1A2+B1B2＝0.即l1⊥l2 A1A2+B1B2＝0.
若已知平面直角坐标系中的两直线斜率存在，且l1：y＝k1x+b1，
l2：y＝k2x+b2，则l1⊥l2k1k2＝-1.
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