【课件】2.2直线及其方程 2.2.4点到直线的距离 数学-RJB-选择性必修第一册-第二章 平面解析几何(共28张PPT)

(共28张PPT)
数学-RJ·B-选择性必修第一册
2.2　直线及其方程
2.2.4　点到直线的距离　
第二章 平面解析几何
重点：点到直线的距离公式
难点：点到直线的距离公式的推导
1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题.
2.会求两条平行直线间的距离.
学习目标
知识梳理
1.点到直线的距离
点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C＝0的距离d＝
2.两条平行直线之间的距离
直线l1：Ax+By+C1＝0，l2：Ax+By+C2＝0之间的距离为
常考题型
题组一 求点到直线的距离
例1 求点P0（-1，2）到下列直线的距离.
（1）2x+y-10＝0；（2）x+y＝2；（3）y-1＝0.
解：（1）由点到直线的距离公式，得d＝ ＝ .
（2）直线方程可化为x+y-2＝0，所以d＝ ＝ .
（3）因为直线y-1＝0平行于x轴，所以d＝|2-1|＝1.
【变式训练】
若点P在直线3x+y-5＝0上，且点P到直线x-y-1＝0的距离为，
则点P的坐标为　 　.
（1，2）或（2，-1）
题组二　利用点到直线的距离公式求参数
例2 已知点（-2，1）到直线ax+（a-2）y+5＝0的距离为，则a的值为（　）
A.3 B.1 C.- D.1或-
解析：依题意得 ＝，即3a2-2a-1＝0.
解得a＝1或a＝-.
答案：D
【规律方法】
点到直线的距离公式的用法
如果已知点P0的坐标为（x0，y0），求点P0到已知直线l：Ax+By+C＝0的距离，
那么可直接应用公式d＝ 求解；若已知点到直线的距离，求其他未知数，则可逆用公式列出方程，从而解决问题.
若点（4，a）到直线4x-3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围为（　　）
A.［0，10］ B.（0，10）
C. D.（-∞， 0］∪［10，+∞）
【变式训练】
A
题组三　利用点到直线的距离公式求直线方程
例3 如图，在△ABC中，已知点A（3，3），B（2，-2），
C（-7，1），求∠BAC的平分线AD所在的直线方程.
解：设点M（x，y）为∠BAC的平分线上的任意一点，由两点式易得AC所在的直线方程为x-5y+12＝0，AB所在的直线方程为5x-y-12＝0.由角平分线的性质可知，其上任意一点到直线AC，AB的距离相等，即 ＝ ，
∴ x-5y+12＝5x-y-12或x-5y+12＝y-5x+12，
整理，得y＝-x+6或y＝x.
结合图形，可知kAC综上，∠BAC的平分线AD所在的直线方程为y＝x.
【规律方法】
待定系数法求直线的方程
一般情况下，若直线过定点可设直线的点斜式方程，但要注意直线的点斜式方程必须满足直线斜率存在，所以应验证斜率不存在的直线是否满足已知条件，注意不要漏解.设好直线方程后，根据题目条件及点到直线的距离公式，列方程求解即可.此类问题可能有两解，也可能有一解或无解.
1.［2020·浙江高二期末］若直线l经过点（-1，-2），且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为（　　）
A.3x-4y-5＝0 B.x＝-1
C.3x-4y-5＝0或y＝-1 D.3x-4y-5＝0或x＝-1
2. ［2020·河南新乡高一联考］若直线l平行于直线3x+y-2＝0，且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是 （　　）
A.3x+y±10＝0 B.3x+y± ＝0
C.x-3y±10＝0 D.x-3y± ＝0
【变式训练】
D
A
题组四　与三角形面积有关的问题
例4 ［2020·哈尔滨高二阶段检测］已知直线y＝-x+1和x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为边作等边△ABC，且点C在第一象限内，若在第一象限内有一点，使得△ABP和△ABC的面积相等，则m的值为 （　　）
A. B. C. D.
解析：由题意，得AB＝2，所以点C到AB的距离d＝.直线AB的方程可化为x+3y-3＝0.
由等积法可知点P到AB的距离等于点C到AB的距离，得＝ ，
解得m＝- 或m＝ .因为点P在第一象限，所以m＝ .
答案：C
【规律方法】
应用点到直线的距离公式求解三角形面积相关问题的关键
（1）确定底和高；
（2）点到直线的距离一般起到的作用是确定高，故具体问题中要根据具体条件，合理确定作为底的直线方程和作为“点”的顶点，并求出直线方程和顶点坐标；
（3）涉及求解最值的问题时要能够灵活根据条件应用函数思想求解问题，要注意变量取值范围的限制.
［2020·河南郑州高一联考］在平面直角坐标系xOy上，已知△ABC的三个顶点分别为A（-3，2），B（4，3），C（-1，-2）.
（1）求△ABC中BC边上的高所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积.
【变式训练】
解：（1）∵ 直线BC的斜率kBC＝＝1，
∴ BC边上的高所在直线的斜率k＝-1，
∴ BC边上的高所在直线的方程为y-2＝-（x+3），即x+y+1＝0.
（2）∵ B（4，3），C（-1，-2），∴ |BC|＝＝，
直线BC的方程为x-y-1＝0，∴ 点A到直线BC的距离d＝＝，
∴ S△ABC＝××＝15.
题型5　求平行直线间的距离
例5 ［2020·福建厦门高一月考］求平行直线3x+4y-6＝0与ax+8y-4＝0之间的距离.
解题提示：先由两直线平行求a，再根据两平行线间的距离公式求得两平行线间的距离.
解：由，得a＝6，
所以第二条直线的方程为6x+8y-4＝0，即3x+4y-2＝0，
所以两平行线间的距离为.
【规律方法】
使用两条平行直线间的距离公式时要注意：
①把直线方程化为一般式；②两条直线的方程中，x，y的系数必须对应相等.
1.若两平行直线3x-2y-1＝0和6x+ay+c＝0之间的距离是，则的值
为　　　.
【变式训练】
2.已知两条平行直线l1，l2分别过点P1（1，0），P2（0，5），且l1，l2的距离为5，
则直线l1的斜率是　　　　.
题组六　综合利用点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式解题例6 已知点P（m，n）是直线3x+4y-12＝0上的一点，求（m-1）2+（n-2）2的最小值.
思路分析：（思路一）利用点在直线上列方程，得到m，n的等量关系，然后消元，利用二次函数的性质求最值；（思路二）考虑所求式子的几何意义，注意到“（m-1）2+（n-2）2”表示点P（m，n）与点（1，2）之间距离的平方.
解：（方法一）因为P（m，n）是直线3x+4y-12＝0上的一点，所以3m+4n-12＝0，
即n＝，所以（m-1）2+（n-2）2＝（m-1）2+＝m2-m+2，
所以当m＝＝时，（m-1）2+（n-2）2取得最小值.
（方法二）因为点（1，2）到直线3x+4y-12＝0的距离d＝＝，
所以（m-1）2+（n-2）2的最小值为＝.
两条互相平行的直线分别过点A（6，2），B（-3，-1），并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
（1）求d的取值范围；
（2）当d取最大值时，求两条直线的方程.
【变式训练】
解：（1）当两直线的斜率不存在时，两直线方程分别为x＝6，x＝-3，则d＝9.
当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为y-2＝k（x-6），y+1＝k（x+3），即kx-y+2-6k＝0，kx-y+3k-1＝0，∴ d＝＝，
∴ （81-d2）k2-54k+9-d2＝0.
当81-d2＝0，即d＝9时，k＝-，∴ d＝9满足要求.
当d≠9时，由k∈R，可得Δ＝（-54）2-4（81-d2）（9-d2）≥0，
即d4-90d2≤0，∴ 0（2）由（1）知d的最大值为，此时k＝-3，
故两直线方程分别为3x+y-20＝0和3x+y+10＝0.
小结
1.点到直线的距离
点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C＝0的距离d＝
2.两条平行直线之间的距离
直线l1：Ax+By+C1＝0，l2：Ax+By+C2＝0之间的距离为
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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