2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之
第一单元圆柱与圆锥提高篇（一）（原卷版）
编者的话：
《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第一单元圆柱与圆锥提高篇（一）。本部分内容主要选取圆柱与圆锥单元较有难度的题型，也是期末考试常见的考点考题，建议把该部分作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十一个考点，欢迎使用。
【考点一】圆柱表面积的三种增减变化：高的变化引起表面积的变化。
【方法点拨】
底面积不变，圆柱高的变化引起表面积的变化，由于底面积没有变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以求出底面周长，进而求出表面积。
底面周长C=变化的表面积÷变化的高度。
【典型例题】
一个圆柱被截去10厘米后（如下图），圆柱的表面积减少了628平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？（π取3.14）
【对应练习1】
一个圆柱体，高减少2厘米，表面积就减少了50.24平方厘米，圆柱的底面积是多少平方厘米？
【对应练习2】
一个圆柱的底面直径为4厘米，如果高增加1厘米，表面积增加多少平方厘米。
【对应练习3】
一个圆柱的底面周长和高相等，如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，求这个圆柱体原来的表面积？
【对应练习4】
一个圆柱被截去后，圆柱的表面积减少了（如下图），原来圆柱的表面积是多少平方厘米？
【考点二】圆柱表面积的三种增减变化：横切引起的表面积变化。
【方法点拨】
平行于底面切（横切）一刀：多出的两个面是底面，即两个圆。
【典型例题】
如图，一根长4米，横截面是半径为2分米的圆柱形木料被截成同样长的2段后。表面积比原来增加了多少平方分米？（π取3.14）
【对应练习1】
把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着平行于底面的方向截成两段，这时它的表面积增加了多少平方米？
【对应练习2】
把一个半径2分米、长1米的圆木平均截成3段，表面积共增加多少平方分米？
【对应练习3】
把一个底面半径是40cm，长是12分米的圆柱形木头锯成长短不同的4小段圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？
【考点三】圆柱表面积的三种增减变化：竖切引起的表面积变化。
【方法点拨】
垂直于底面切（竖切）：多出的两个面是长方形，即以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。
【典型例题】
工人把一根高是1米的圆柱形木料，沿底面直径平均分成两部分，这时两部分的表面积之和比原来增加了0.8平方米。求这根木料原来的表面积。
【对应练习1】
一个底面半径4cm，高5cm的圆柱，如果沿底面直径把它平均切成两半，它的表面积增加了多少平方厘米？
【对应练习2】
如图，把一个高10厘米的圆柱沿底面直径垂直切成两部分，这两部分的表面积之和比原来增加了200平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？（结果可用含有的式子表示）
【对应练习3】
一个底面周长是、高是的圆柱，沿底面直径垂直把它切割成完全相同的两部分后，切割面的面积一共是多少平方厘米？
【对应练习4】
把一个高为5厘米的圆柱从直径处沿高剖成两上半圆柱，这两个半圆柱的表面积比原来增加80平方厘米，求原来圆柱的表面积。
【考点四】圆柱表面积的三种增减变化方式在体积中的应用。
【方法点拨】
1.圆柱高的变化引起表面积的变化：
由于底面积没有变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以求出底面周长，进而求出表面积，即底面周长C=变化的表面积÷变化的高度。
2.横切引起的表面积变化。
平行于底面切（横切）一刀，多出的两个面是底面，即两个圆。
3.竖切引起的表面积变化。
垂直于底面切（竖切），多出的两个面是长方形，即以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。
【典型例题1】
一个圆柱，如果把它的高截短3m，它的表面积就会减少，那么这个圆柱的体积减少多少立方米？
【典型例题2】
把一根长4米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加15.7平方厘米。这根钢材的体积是多少立方厘米？
【对应练习1】
将一根底面直径是的圆柱形木料，沿高切成形状、大小完全相同的两块后，表面积增加了。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？
【对应练习2】
把一根长为1.2米的圆柱形钢材截成3段,表面积增加了6.28平方分米，原来这根钢材的体积是多少
【对应练习3】
一个圆柱高为15厘米，把它的高增加2厘米后表面积增加25.12平方厘米，求原来圆柱的体积。
【对应练习4】
底面直径是20厘米的圆钢，将其截成两段同样的圆钢，两段表面积的和为7536平方厘米，原来圆钢的体积是多少立方厘米？
【考点五】圆柱与长方体的拼切转化问题。
【方法点拨】
将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。
【典型例题】
把一个底面半径是的圆柱切拼成一个近似的长方体后（如图），表面积增加了，原来圆柱的体积是多少立方厘米？
【对应练习1】
把一个高为1米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体的体积是多少立方分米？
【对应练习2】
把高5厘米的圆柱底面分成若干等份，把圆柱切开拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱增加20平方厘米。求原来圆柱的体积。
【对应练习3】
如图所示，把底面直径为8厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米。
（1）同学们回忆圆柱体积计算公式的推导过程，用自己喜欢的方式将它记录下来。
（2）那么圆柱的高是多少厘米？长方体的体积是多少立方厘米？
【考点六】比在圆柱中的三种应用方式。
【方法点拨】
1.当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：
高之比就是体积之比。
2.当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：
底面积之比就是体积之比。
3.已知底面积之比和高之比，求体积之比：
分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。
【典型例题1】
已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是（ ）。
【典型例题2】
已知两个圆柱的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（ ）。
【典型例题3】
两个圆柱高的比是2∶3，半径比是1∶2，则体积比是多少
【对应练习1】
两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少
【对应练习2】
两个等高的圆柱底面半径的比是4∶3，它们的体积比是多少
【考点七】比在圆锥体积中的应用。
【方法点拨】
1.圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。
2.圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。
3.圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
（1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比（ ）。
（2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（ ）。
（3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少
【对应练习1】
有一块体积为60的圆柱形橡皮泥，如果把这块橡皮泥重新捏成底面积和高均和圆柱相等的圆锥，问剩余的橡皮泥体积是多少
【对应练习2】
一块圆柱形橡皮泥，高是2。把这块橡皮泥重新捍成一个圆锥（没有剩余），已知圆锥的底面积和圆柱相等，求圆锥的高。
【对应练习3】
已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？
【对应练习4】
如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？
【对应练习5】
一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是6平方厘米，则圆锥的底面积是（ ）平方厘米。
【对应练习6】
一个圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆柱和圆锥底面积的比是5∶4。圆柱和圆锥体积的比是多少？
【考点八】圆锥的旋转构成法。
【方法点拨】
直角三角形与圆锥之间的联系
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题1】
以下图直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，可以得到一个什么图形 所得的图形的底面直径和高各是多少厘米
【典型例题2】
下图是一个直角三角形，如果以边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是多少立方厘米？
【对应练习1】
一个等腰直角三角形的直角边为6cm，以一条直角边为轴旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的高、底面直径和体积分别是( )cm、( )cm、( )立方厘米。
【对应练习2】
一块直角三角形硬纸板（如图），两条直角边AB与BC的长度比是3∶2，AB长9cm。如果以其中一条直角边为轴旋转一周，那么形成的圆锥体积最大是( )立方厘米。
【对应练习3】
下图是一个直角三角形，如果以BC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米。
【考点九】求正方体削成圆柱的表面积。
【方法点拨】
把正方体削成一个圆柱，正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面圆的直径。
【典型例题】
如果把棱长是2分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方分米？
【对应练习1】
一个正方体木块的棱长是2dm，现在把它削成一个最大的圆柱．削成的圆柱侧面积是多少dm2？削成的圆柱的体积占原来正方体体积的百分之几？
【对应练习2】
张叔叔制作一个模型，他拿来一个棱长是8分米的正方体铁块，选择其中一个面，从正中间打一个直径为4分米的圆孔，一直穿通到对面（如图）。为了防止生锈，王师傅给这个模型中可能与空气接触的表面都喷上油漆，需喷油漆的面积是多少平方分米？
【对应练习3】
把一个棱长4cm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？
【考点十】求正方体削成最大圆柱的体积。
【方法点拨】
把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。
【典型例题】
为丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校要举办2021年度的大型科技文化节。科技组在制作过程中需要将一块正方体木料加工成一个最大的圆柱（如下图），已知它的棱长是8dm，求这个圆柱的体积是多少？
【对应练习1】
有块正方体的木料，它的棱长是4dm，把这块木料加工成一个最大的圆柱。这个圆柱体积比原来正方体体积少了百分之几？
【对应练习2】
有块正方体的木料，它的棱长是4dm．把这块木料加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？
【对应练习3】
丽丽和妈妈学做蛋糕，做出一个棱长为10cm的正方体蛋糕，现在要把它削成一个最大的圆柱形蛋糕。你能算出这个圆柱形蛋糕的体积是多少立方厘米吗？
【考点十一】求正方体削成最大圆锥的体积。
【方法点拨】
将正方体削成一个最大的圆锥，正方体的棱长分别是圆锥的底面直径和高。
【典型例题】
把一个正方体木块加工成最大的圆锥体，它的底面半径是5厘米，这个正方体的体积是多少立方厘米？
【对应练习1】
如下图一块立方体木料，体积是64立方厘米，以它的一面为底面加工成一个最大的圆锥体，体积是多少立方厘米？
【对应练习2】
一个正方体木块的棱长是6厘米，把它削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？
【对应练习3】
把棱长为6厘米的正方体木块削成一个最大的圆锥，削下部分的体积是多少立方厘米？2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之
第一单元圆柱与圆锥提高篇（一）（解析版）
编者的话：
《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第一单元圆柱与圆锥提高篇（一）。本部分内容主要选取圆柱与圆锥单元较有难度的题型，也是期末考试常见的考点考题，建议把该部分作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十一个考点，欢迎使用。
【考点一】圆柱表面积的三种增减变化：高的变化引起表面积的变化。
【方法点拨】
底面积不变，圆柱高的变化引起表面积的变化，由于底面积没有变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以求出底面周长，进而求出表面积。
底面周长C=变化的表面积÷变化的高度。
【典型例题】
一个圆柱被截去10厘米后（如下图），圆柱的表面积减少了628平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？（π取3.14）
解析：
圆柱的底面周长：628÷10=62.8（厘米）
底面半径：62.8÷2÷3.14=10（厘米）
原来圆柱的表面积：3.14×102×2+62.8×（15+10）
=628+1570
=2198（平方厘米）
答：原来圆柱的表面积是2198平方厘米。
【对应练习1】
一个圆柱体，高减少2厘米，表面积就减少了50.24平方厘米，圆柱的底面积是多少平方厘米？
解析：
底面周长：50.24÷2=25.12（厘米）
底面圆的半径：25.12÷2÷3.14=4（厘米）
底面积：3.14×42=50.24（平方厘米）
答：圆柱的底面积是50.24平方厘米。
【对应练习2】
一个圆柱的底面直径为4厘米，如果高增加1厘米，表面积增加多少平方厘米。
解析：
底面周长：3.14×4=12.56（厘米）
表面积增加：12.56×1=12.56（平方厘米）
答：表面积增加12.56平方厘米。
【对应练习3】
一个圆柱的底面周长和高相等，如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，求这个圆柱体原来的表面积？
解析：
底面周长：12.56÷2=6.28（厘米）
侧面积：6.28×6.28=39.4384（平方厘米）
两个底面积：6.28×3.14÷2=1（厘米）
3.14×12×2=6.28（平方厘米）
表面积：39.4384+6.28=45.7184（平方厘米）
答：圆柱原来的表面积是45.7184平方厘米。
【对应练习4】
一个圆柱被截去后，圆柱的表面积减少了（如下图），原来圆柱的表面积是多少平方厘米？
解析：
底面周长：62.8÷10＝6.28（cm）
底面半径：6.28÷3.14÷2
＝2÷2
＝1（cm）
原来的表面积：3.14×12×2＋6.28×（10＋15）
＝6.28＋6.28×25
＝6.28＋157
＝163.28（cm2）
答：原来圆柱的表面积是163.28平方厘米。
【考点二】圆柱表面积的三种增减变化：横切引起的表面积变化。
【方法点拨】
平行于底面切（横切）一刀：多出的两个面是底面，即两个圆。
【典型例题】
如图，一根长4米，横截面是半径为2分米的圆柱形木料被截成同样长的2段后。表面积比原来增加了多少平方分米？（π取3.14）
解析：
3.14×22×2=25.12（平方分米）
答：增加了25.12平方分米。
【对应练习1】
把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着平行于底面的方向截成两段，这时它的表面积增加了多少平方米？
解析：
底面圆的周长：18.84÷1=18.84（米）
底面圆的半径：18.84÷3.14÷2=3（米）
增加的面积：3.14×32×2=56.52（平方米）
答：增加了56.52平方米。
【对应练习2】
把一个半径2分米、长1米的圆木平均截成3段，表面积共增加多少平方分米？
解析：
（3.14×22）×6
＝12.56×6
＝75.36（平方分米）
所以，表面积共增加了75.36平方分米。
【对应练习3】
把一个底面半径是40cm，长是12分米的圆柱形木头锯成长短不同的4小段圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？
解析：
40cm＝4dm
3.14×42×6
＝3.14×16×6
＝50.24×6
＝301.44 （dm2）
答：表面积增加了301.44平方分米。
【考点三】圆柱表面积的三种增减变化：竖切引起的表面积变化。
【方法点拨】
垂直于底面切（竖切）：多出的两个面是长方形，即以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。
【典型例题】
工人把一根高是1米的圆柱形木料，沿底面直径平均分成两部分，这时两部分的表面积之和比原来增加了0.8平方米。求这根木料原来的表面积。
解析：
由题意可知，增加了两个长方形的面积。
一个长方形的面积：0.8÷2=0.4（平方米）
底面圆的直径：0.4÷1=0.4（米）
底面圆的半径：0.4÷2=0.2
原来的表面积：3.14×0.22×2+3.14×0.4×1=1.5072（平方米）
答：原来的表面积是1.5072平方米。
【对应练习1】
一个底面半径4cm，高5cm的圆柱，如果沿底面直径把它平均切成两半，它的表面积增加了多少平方厘米？
解析：
由题意可知，表面积增加了2个长方形。
2×4×5×2=80（平方厘米）
答：表面积增加了80平方厘米。
【对应练习2】
如图，把一个高10厘米的圆柱沿底面直径垂直切成两部分，这两部分的表面积之和比原来增加了200平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？（结果可用含有的式子表示）
解析：
200÷2＝100（平方厘米）
100÷10＝10（厘米）
π×10×10＋π×（10÷2）2×2
＝100π＋50π
＝150π（平方厘米）
答：原来圆柱的表面积是150π平方厘米。
【对应练习3】
一个底面周长是、高是的圆柱，沿底面直径垂直把它切割成完全相同的两部分后，切割面的面积一共是多少平方厘米？
解析：
切割后如图所示，切面是两个完全相同的长方形，宽是圆柱的底面直径，即，长是圆柱的高，即。根据长方形的面积公式可求出切割面的面积一共是多少。
；
＝18×2
＝36（平方厘米）
答：切割面的面积一共是。
【对应练习4】
把一个高为5厘米的圆柱从直径处沿高剖成两上半圆柱，这两个半圆柱的表面积比原来增加80平方厘米，求原来圆柱的表面积。
解析：
圆柱的直径是：80÷2÷5＝8（厘米）
圆柱的表面积是：3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×5
＝3.14×16×2＋3.14×8×5
＝100.48＋125.6
＝226.08（平方厘米）
答：原来圆柱的表面是226.08平方厘米。
【考点四】圆柱表面积的三种增减变化方式在体积中的应用。
【方法点拨】
1.圆柱高的变化引起表面积的变化：
由于底面积没有变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以求出底面周长，进而求出表面积，即底面周长C=变化的表面积÷变化的高度。
2.横切引起的表面积变化。
平行于底面切（横切）一刀，多出的两个面是底面，即两个圆。
3.竖切引起的表面积变化。
垂直于底面切（竖切），多出的两个面是长方形，即以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。
【典型例题1】
一个圆柱，如果把它的高截短3m，它的表面积就会减少
，那么这个圆柱的体积减少多少立方米？
解析：
；
答：这个圆柱的体积减少235.5立方米。
【典型例题2】
把一根长4米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加15.7平方厘米。这根钢材的体积是多少立方厘米？
解析：
4米＝400厘米
15.7÷2×400＝3140（立方厘米）
答：这根钢材的体积是3140立方厘米。
【对应练习1】
将一根底面直径是的圆柱形木料，沿高切成形状、大小完全相同的两块后，表面积增加了。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？
解析：
＝180÷6
＝30（分米）
＝28.26×30
＝847.8（立方分米）
答：这根圆柱形木料的体积是。
【对应练习2】
把一根长为1.2米的圆柱形钢材截成3段,表面积增加了6.28平方分米，原来这根钢材的体积是多少
解析：
1.2米=12分米
6.28÷4=1.57（平方分米）
1.57×12=18.84（立方分米）
答：这根钢材原来的体积是18.84立方分米。
【对应练习3】
一个圆柱高为15厘米，把它的高增加2厘米后表面积增加25.12平方厘米，求原来圆柱的体积。
解析：
圆柱的底面周长：25.12÷2=12.56（厘米）
底面半径：12.56÷3.14÷2=2（厘米）
体积：3.14×22×15
=3.14×4×15
=188.4（立方厘米）
答：原来圆柱的体积是188.4立方厘米。
【对应练习4】
底面直径是20厘米的圆钢，将其截成两段同样的圆钢，两段表面积的和为7536平方厘米，原来圆钢的体积是多少立方厘米？
解析：
4个底面积是：3.14×（20÷2）2×4
＝3.14×100×4
＝1256（平方厘米）
侧面积是：7536﹣1256＝6280（平方厘米）
高是：6280÷3.14÷20＝100（厘米）
所以原来圆钢的体积是：
3.14×（20÷2）2×100
＝3.14×100×100
＝31400（立方厘米）
答：原来圆钢的体积是31400立方厘米。
【考点五】圆柱与长方体的拼切转化问题。
【方法点拨】
将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。
【典型例题】
把一个底面半径是的圆柱切拼成一个近似的长方体后（如图），表面积增加了，原来圆柱的体积是多少立方厘米？
解析：
圆柱的高：
圆柱体积：
答：原来圆柱的体积是。
【对应练习1】
把一个高为1米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体的体积是多少立方分米？
解析：
1米＝10分米
圆柱的底面半径为：
40÷2÷10＝2（分米）
体积：3.14×22×10
＝3.14×4×10
＝125.6（立方分米）
答：这个圆柱的体积是125.6立方分米。
【对应练习2】
把高5厘米的圆柱底面分成若干等份，把圆柱切开拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱增加20平方厘米。求原来圆柱的体积。
解析：
底面半径：20÷2÷5＝2（厘米）
圆柱体积：3.14×22×5＝62.8（立方厘米）
答：圆柱的体积是62.8立方厘米。
【对应练习3】
如图所示，把底面直径为8厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米。
（1）同学们回忆圆柱体积计算公式的推导过程，用自己喜欢的方式将它记录下来。
（2）那么圆柱的高是多少厘米？长方体的体积是多少立方厘米？
解析：
（1）把圆柱底面平均分成若干等份的小扇形，沿圆柱的高切开，拼成一近似的长方体。发现长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积也等于底面积乘高。若体积用字母∨表示，底面积用字母S表示，高用h表示，即体积为：V＝Sh。
（2）80÷2÷（8÷2）
＝40÷4
＝10
3.14×（8÷2）2×10
＝3.14×160
＝502.4（立方厘米）
答：圆柱的高是10厘米，长方体的体积是502.4立方厘米。
【考点六】比在圆柱中的三种应用方式。
【方法点拨】
1.当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：
高之比就是体积之比。
2.当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：
底面积之比就是体积之比。
3.已知底面积之比和高之比，求体积之比：
分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。
【典型例题1】
已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是（ ）。
解析：1∶2
【典型例题2】
已知两个圆柱的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（ ）。
解析：2∶3。
【典型例题3】
两个圆柱高的比是2∶3，半径比是1∶2，则体积比是多少
解析：1:6。
【对应练习1】
两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少
解析：1∶4。
【对应练习2】
两个等高的圆柱底面半径的比是4∶3，它们的体积比是多少
解析：16:9。
【考点七】比在圆锥体积中的应用。
【方法点拨】
1.圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。
2.圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。
3.圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
（1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比（ ）。
（2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（ ）。
（3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少
解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12
【对应练习1】
有一块体积为60的圆柱形橡皮泥，如果把这块橡皮泥重新捏成底面积和高均和圆柱相等的圆锥，问剩余的橡皮泥体积是多少
解析：40
【对应练习2】
一块圆柱形橡皮泥，高是2。把这块橡皮泥重新捍成一个圆锥（没有剩余），已知圆锥的底面积和圆柱相等，求圆锥的高。
解析：6
【对应练习3】
已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？
解析：8:27
【对应练习4】
如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？
解析：1:2
【对应练习5】
一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是6平方厘米，则圆锥的底面积是（ ）平方厘米。
解析：18
【对应练习6】
一个圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆柱和圆锥底面积的比是5∶4。圆柱和圆锥体积的比是多少？
解析：5:2
【考点八】圆锥的旋转构成法。
【方法点拨】
直角三角形与圆锥之间的联系
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题1】
以下图直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，可以得到一个什么图形 所得的图形的底面直径和高各是多少厘米
解析：
（1）以6cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为16cm，高为6cm的圆锥。
（2）以8cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为12cm，高为8cm的圆锥。
【典型例题2】
下图是一个直角三角形，如果以边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是多少立方厘米？
解析：
3.14×2×2×3÷3
＝12.56×3÷3
＝12.56（立方厘米）
【对应练习1】
一个等腰直角三角形的直角边为6cm，以一条直角边为轴旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的高、底面直径和体积分别是( )cm、( )cm、( )立方厘米。
解析：
据分析知，高是6厘米
底面直径：6×2＝12（厘米）
体积：（3.14×6×6）×6÷3
＝113.04×6
＝678.24÷3
＝226.08（立方厘米）
【对应练习2】
一块直角三角形硬纸板（如图），两条直角边AB与BC的长度比是3∶2，AB长9cm。如果以其中一条直角边为轴旋转一周，那么形成的圆锥体积最大是( )立方厘米。
解析：
2×9÷3＝6（厘米）
3.14×92×6÷3
＝3.14×81×6÷3
＝508.68（立方厘米）
所以，形成的圆锥体积最大是508.68立方厘米。
【对应练习3】
下图是一个直角三角形，如果以BC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米。
解析：
×3.14×32×2
＝9.42×2
＝18.84（立方厘米）
【考点九】求正方体削成圆柱的表面积。
【方法点拨】
把正方体削成一个圆柱，正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面圆的直径。
【典型例题】
如果把棱长是2分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方分米？
解析：3.14×2×2＋3.14×（2÷2）2×2
＝3.14×2×2＋3.14×2
＝12.56＋6.28
＝18.84（平方分米）
【对应练习1】
一个正方体木块的棱长是2dm，现在把它削成一个最大的圆柱．削成的圆柱侧面积是多少dm2？削成的圆柱的体积占原来正方体体积的百分之几？
解析：
（1）3.14×2×2
＝6.28×2
＝12.56（平方分米）
（2）3.14×（2÷2）2×2÷（2×2×2）
＝3.14×2÷8
＝6.28÷8
＝78.5
＝78.5%
答：略。
【对应练习2】
张叔叔制作一个模型，他拿来一个棱长是8分米的正方体铁块，选择其中一个面，从正中间打一个直径为4分米的圆孔，一直穿通到对面（如图）。为了防止生锈，王师傅给这个模型中可能与空气接触的表面都喷上油漆，需喷油漆的面积是多少平方分米？
解析：
8×8×6－3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×8
＝8×8×6－3.14×4×2＋3.14×4×8
＝64×6－12.56×2＋12.56×8
＝384－25.12＋100.48
＝358.88＋100.48
＝459.36（dm2）
答：需喷油漆的面积是459.36平方分米。
【对应练习3】
把一个棱长4cm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？
解析：
4÷2＝2（厘米）
S圆柱＝πr2×2＋πdh
＝3.14×22×2＋3.14×4×4
＝3.14×8＋3.14×16
＝3.14×24
＝75.36（平方厘米）
答：这个圆柱表面积是75.36平方厘米。
【考点十】求正方体削成最大圆柱的体积。
【方法点拨】
把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。
【典型例题】
为丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校要举办2021年度的大型科技文化节。科技组在制作过程中需要将一块正方体木料加工成一个最大的圆柱（如下图），已知它的棱长是8dm，求这个圆柱的体积是多少？
代入数据计算即可。
解析：
3.14×2×8
＝3.14×16×8
＝401.92（dm3）
答：这个圆柱的体积是401.92dm3。
【对应练习1】
有块正方体的木料，它的棱长是4dm，把这块木料加工成一个最大的圆柱。这个圆柱体积比原来正方体体积少了百分之几？
解析：
V正方体＝4×4×4
＝16×4
＝64（立方分米）
V圆柱＝3.14×（4÷2）2×4
＝3.14×4×4
＝50.24（立方分米）
（64－50.24）÷64
＝13.76÷64
＝0.215
＝21.5%
答：这个圆柱体积比原来正方体体积少了21.5%。
【对应练习2】
有块正方体的木料，它的棱长是4dm．把这块木料加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？
解析：
3.14×（4÷2）2×4
=3.14×4×4
=50.24（立方分米）
答：这个圆柱的体积是50.24立方分米。
【对应练习3】
丽丽和妈妈学做蛋糕，做出一个棱长为10cm的正方体蛋糕，现在要把它削成一个最大的圆柱形蛋糕。你能算出这个圆柱形蛋糕的体积是多少立方厘米吗？
解析：
圆柱体积：
3.14×（10÷2）2×10
＝3.14×25×10
＝785（立方厘米）
答：这个圆柱的体积是785立方厘米。
【考点十一】求正方体削成最大圆锥的体积。
【方法点拨】
将正方体削成一个最大的圆锥，正方体的棱长分别是圆锥的底面直径和高。
【典型例题】
把一个正方体木块加工成最大的圆锥体，它的底面半径是5厘米，这个正方体的体积是多少立方厘米？
解析：
5×2＝10（厘米）
10×10×10
＝100×10
＝1000（立方厘米）
【对应练习1】
如下图一块立方体木料，体积是64立方厘米，以它的一面为底面加工成一个最大的圆锥体，体积是多少立方厘米？
解析：
＝
＝（立方厘米）
所以圆锥体的体积为＝立方厘米。
【对应练习2】
一个正方体木块的棱长是6厘米，把它削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？
解析：
3.14×（6÷2）2×6×
＝3.14×9×2
＝56.52（立方厘米）
答：这个圆锥体的体积是56.52立方厘米。
【对应练习3】
把棱长为6厘米的正方体木块削成一个最大的圆锥，削下部分的体积是多少立方厘米？
解析：
×3.14×（6÷2）2×6
＝×3.14×9×6
＝56.52（立方厘米）
6×6×6﹣56.52
＝216﹣56.52
＝159.48（立方厘米）
答：削下部分的体积是159.48立方厘米。
