华东师大版数学九年级下册 专题课堂 垂径定理与圆周角的应用 课件 (共20张PPT)

(共21张PPT)
数学 九年级下册 华师版
第27章　圆
专题课堂(五)　垂径定理与圆周角的应用
一、垂径定理的运用
类型一：求圆的圆心
【例1】如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．(不写作法，保留作图痕迹)
分析：根据圆的性质，弦的垂直平分线过圆心，所以只要找到两个弦的垂直平分线，相交点即为圆心，有圆心就可以作出残片所在的圆．
解：如图：圆O即为所求
[对应训练]
1．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知AB＝24 cm，CD＝8 cm.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求(1)中所作圆的半径．
解：(1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心，OA长为半径作圆O，则圆O就是此残片所在的圆，如图　(2)连结OA，设OA＝x cm，AD＝12 cm，OD＝(x－8)cm，根据勾股定理得x2＝122＋(x－8)2，解得x＝13.答：圆的半径为13 cm
类型二：求线段的长
【例2】(滨州中考)在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC∶OB＝3∶5，则DE的长为( )
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．
C
[对应训练]
2．(2021·淄博)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是( )
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
D
3．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连结AD.
解：(1)∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角∴∠BAD∠BCD.∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°.∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝∠BAD.又∵AE＝AE，∠AEN＝∠AED，∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN　
二、圆周角定理与三角形的综合运用
类型一：圆周角定理与直角三角形的综合运用
【例3】(扬州中考)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin ∠ADC的值为( )
A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
[对应训练]
4．(2021·宜昌)如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝( )
A．85° B．75° C．70° D．65°
D
5．(黔东南州中考)如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为____．
类型二：圆周角定理与等腰三角形的综合运用
【例4】(杭州中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA＝_____．
分析：利用垂径定理和三角函数得出∠CDO的度数，进而得出∠DOA的度数，利用圆周角定理得出∠DFA的度数即可．
30°
C
13°
9．(2021·徐州)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED.连结BC，CD.求证：
(1)△AOE≌△CDE；
(2)四边形OBCD是菱形．
(2)连结OC，如图，∵AE＝CE，∴OD⊥AC，∵OE＝DE，∴CE垂直平分OD，∴CD＝CO，∴△OCD为等边三角形，∴∠COD＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC∥OD，∴∠BCO＝∠COD＝60°，而OB＝OC，∴△OCB为等边三角形，∴BC＝OC，∴OB＝BC＝CD＝OD，∴四边形OBCD是菱形