沪科版数学七年级下册 8.4 因式分解 教案

8.4因式分解—提公因式法
教学目标
知识与技能
了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。
能确定多项式各项的公因式，会有提公因式法将多项式分解因式。
过程与方法
经历从分解因数到分解因式的类比过程，理解因式分解的概念。
经历探索多项式各项公因式的过程，以“化归”的思想方法，进行因式分解。
情感态度与价值观
培养学生分析、类比以及化归的思想，培养学生有条理地思考、表达能力，体会数学只是的内在含义和价值。
重难点、关键
重点：了解因式分解的意义，掌握用提公因式法把多项式分解因式。
难点：正确地确定多项式的最大公因式。
关键：在确定多项式各项公因式时，赢抓住各项的最大公因式来提取。
教学过程
一、回顾交流，引入课题
1.计算。
（1）n(n+1)（n-1） （2）（a+1）（a-2）
（3）（a+3）2 （4）（a-2b）2
2.993-99能被100整除吗？
3.你能说明当n为整数时，n3-n是三个连续整数的积吗？
题2，让学生进行小组讨论，而后教师选择部分学生，让他们演示。
993-99=99×992-99×1
=99×（992-1） …（逆用乘法分配律）
=99×（99+1）（99-1） …（平方差公式）
=99×100×98
所以，993-99能被100整除。
提问：993-99还能被哪些正整数整除呢？你是怎么做的？
学生交流后，教师点评。
解决题2的关键是把993-99的结果化成几个正整数的积的形式。
如98=2×7×7，所以98能被2、7、14、49、98整除，98=2×7×7是把98因数分解。
由题1（1）知n3-n=n(n+1)（n-1），因为n为整数，所以n-1，n，n+1是三个连续的整数，所以n3-n是三个连续整数的积。
类似地，也可以把a2－a－2,a2＋6a＋9,a2－4ab+4b2写成几个整式的积的形式。
a2－a－2=（a+1）（a-2） a2＋6a＋9=（a+3）2
a2－4ab+4b2=（a-2b）2
根据平方差公式和完全平方公式，得：
a2－b2=＿＿＿＿
a2+2ab+b2=＿＿＿＿
a2－2ab+b2=＿＿＿＿
这样把一个多项式化分为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这份多项式分解因式。
因式分解是一种变形，左边是一个多项式，右边是几个整式乘积形式。
二、因式分解与整式乘法的联系和区别
如果把整式运算看着是一个变形过程，那么因式分解是整式乘法的逆过程，因此用整式乘法可以验证因式分解的结果。
例如： 因式分解
(
2x
2
－x
ｘ（２ｘ－１）
)
　　　　整式乘法
做一做：下面由左边到右边的变形，哪些是属于因式分解？
(1)(xy+1)(xy-1)=x2y2-1;
(2)x2-y2+4y-4=(x+y)(x-y)+4(y-1);
(3)(a+b)2-2(a+b)+1=(a+b-1)2;
(4)4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b);
(5)x2+5x+4=x(x+5+) .
以上题3、题4从左到右的变形是因式分解。题1是整式乘法，题2的右边不是几个整式积的形式。（最后运算是求和）题5的右边因式x+5+不是整式。
三、介绍因式分解的基本方法1----提公因式法
由m(a+b+c)=ma+mb+mc，可得：ma+mb+mc = m(a+b+c)
分析多项式ma+mb+mc的特点：它的每一项都含有一个相同因式m，m叫做各项的公因式，把这个公因式提到括号外面，这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积。即ma+mb+mc=m(a+b+c)，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
准确地确定公因式是提公因式法分解因式的关键，确定公因式可以分两步进行：
1.确定公因式的数字因数，当各项系数都是整数时，它们的最大公约数就是公因式的数字因数。如8a2b-72abc公因式的数字因数为8。
2.确定公因式的字母及其指数，公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数取最低的。如8a2b-72abc的公因式是8ab。
例1.把下列各式分解因式。
（1）4m2-8mn (2)3ax2-6axy+3a
引导学生确定公因式，再将多项式的每一项公因式与另一个因式的乘积形式，最后把公因式提到括号外面。
解：（1）4m2-8mn=4m·m-4m·2n=4m（m-2n）
(2)3ax2-6axy+3a=3a·x2-3a·2xy+3a·1=3a（x2-2xy+1）
强调：最后一项3a提取后还有因数1，提公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数相同，可用整式乘法检验因式分解的结果。
公因式可以是单项式也可以是多项式，公因式的系数符号，一般由首项来决定。
例2.把下列各式分解因式。
（1）2x（b+c）-3y（b+c） （2）3n（x-2）+（2-x）
（3）4q（1-p）3-2（p-1）2 （4）-6a2b-9ab2+15ab
点拨：题（2）有公因式吗？（x-2）与（2-x）有什么关系？题（3）中（1-p）3与（p-1）2 能变形为同底数幂的形式吗？
解：题（1）、（2）解答按课本P65例2。
（3）4q（1-p）3-2（p-1）2 =4q（1-p）3-2（1- p）2
=2（1- p）2〔2q（1-p）-1〕
=2（1- p）2（2q-2pq-1）
题后反思：当n为偶数时，（a-b）n=（b-a）n，当n为奇数时，（a-b）n=-（b-a）n。在分解因式时，要掌握好它们之间的关系，另外提出公因式后，另一个因式要化为最简的。
（4）-6a2b-9ab2+15ab= -3ab(2a+3b-5)
注意：提出公因式-3ab，另一个因式的各项符号与原多项式的各项符号相反。
四、课堂练习
课本P65练习1，2，3。
五、课堂小结
1.整式乘法与因式分解有什么联系和区别？你是怎么区分的？
2.什么样的多项式可以用提公因式法分解因式？怎样用提公因式法分解因式？
教师组织学生合作交流、归纳、总结。
分解因式要求：（1）分解的结果要以积的形式表示；（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；（3）必须分解到每个多项式因式不能在分解为止。
六、布置作业
1.课本P67 习题8.4 1，2，3。
2.选用课时作业设计。