第四单元 因式分解单元检测卷B（含解析）

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北师大八年级数学下册第四单元因式分解检测卷（B）
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列因式分解错误的是　　
A．
B．
C．
D．
2．能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是　　
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
3．如果一个三角形的三边长，，满足，那么这个三角形一定是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有　　
（1）；（2）；
（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，把图1中的①部分剪下来，恰好能拼在②的位置处，构成图2中的图形，形成一个从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是　　
A． B．
C． D．
6．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：海、爱、我、美、游、北，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是　　
A．我爱游 B．北海游 C．我爱北海 D．美我北海
7．已知有一个因式为，则另一个因式为　　
A． B． C． D．
8．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：，是正整数，且，在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：，例如12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以，则的值是　　
A． B． C．1 D．
9．已知，，是正整数，，且，则等于　　
A． B．或 C．1 D．1或11
10．若实数满足，则的值为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．已知，，求代数式的值　 　．
12．若二次三项式能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是　　．
13．一个三角形的两边长分别是和，第三边长为整数，且满足，则此三角形的面积为　　．
14．化简：　 　．
15．日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是　　（写出一个即可）．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）因式分解：
（1）； （2）；
（3）； （4）（在 实数范围内分解）
17．（7分）给出三个多项式：，，．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
18．（8分）阅读下列题目的解题过程：
已知、、为的三边，且满足，试判断的形状．
解： （A）
（B）
（C）
是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　　；
（2）错误的原因为：　　；
（3）本题正确的结论为：　　．
19．（8分）先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式．
如：①因为，所以4和9是36的因数；
因为，所以和是的因式．
②若是的因式，则求常数的值的过程如下：
解：是的因式
存在一个整式，使得
当时，
当时，
（1）是的因式吗？　　（填“是”或者“不是” ；
（2）若整式是的因式，求常数，的值．
20．（8分）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
（1）图可以解释的代数恒等式是　　；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图
①若要拼出一个面积为的矩形，则需要1号卡片　　张，2号卡片　　张，3号卡片　　张；
②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为，并利用你画的图形面积对进行因式分解．
21．（8分）发现与探索．
（1）根据小明的解答将下列各式因式分解
小明的解答：
①
②
③
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为．
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
22．（8分）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则
原式
再将“”还原，得：原式．
上述解题时用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：　　．
（2）因式分解：；
（3）证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列因式分解错误的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，符合题意．
故选：．
2．（3分）能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是　　
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
【解答】解：
，
故选：．
3．（3分）如果一个三角形的三边长，，满足，那么这个三角形一定是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：
可化为，
，，，
，，．
，
是直角三角形．
故选：．
4．（3分）下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有　　
（1）；（2）；
（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）不能继续分解因式；
（2）可用完全平方公式和平方差公式分解；
（3）不能继续分解因式；
（4）用平方差公式和提公因式法继续分解因式．
故选：．
5．（3分）如图，把图1中的①部分剪下来，恰好能拼在②的位置处，构成图2中的图形，形成一个从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
则．
故选：．
6．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：海、爱、我、美、游、北，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是　　
A．我爱游 B．北海游 C．我爱北海 D．美我北海
【解答】解：
，
，，2，，，，分别对应下列六个字：海、爱、我、美、游、北，
当出现时，对应的是“我爱美”，故、错误，
当出现时，对应的是“我爱北海”，故正确，错误，
故选：．
7．（3分）已知有一个因式为，则另一个因式为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设另一个因式为，
，
则，
，解得：，
另一个因式为．
故选：．
8．（3分）我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：，是正整数，且，在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：，例如12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以，则的值是　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：
故选：．
9．（3分）已知，，是正整数，，且，则等于　　
A． B．或 C．1 D．1或11
【解答】解：
，
，，，是正整数，
或11，或1．
故选：．
10．（3分）若实数满足，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知，，求代数式的值　18　．
【解答】解：，，
故答案为：18．
12．（3分）若二次三项式能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是　6　．
【解答】解：，
或或，
共有6种，
故答案为：6．
13．（3分）一个三角形的两边长分别是和，第三边长为整数，且满足，则此三角形的面积为　　．
【解答】解：由方程得出或者，根据三角形三边关系定理可知不符合题意，应该舍去，所以第三边应该是．
如图可知，，做边的高线，则，
所以
14．（3分）化简：　　．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
15．（3分）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是　104020（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【解答】解：，
当，时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（在 实数范围内分解）
【解答】解： （1），
，
；
（2）；
（3），
，
，
；
（4），
，
．
17．（7分）给出三个多项式：，，．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
【解答】解：情况一：．
情况二：．
情况三：．
18．（8分）阅读下列题目的解题过程：
已知、、为的三边，且满足，试判断的形状．
解： （A）
（B）
（C）
是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　　；
（2）错误的原因为：　　；
（3）本题正确的结论为：　　．
【解答】解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：，
故答案为：；
（2）错误的原因为：没有考虑的情况，
故答案为：没有考虑的情况；
（3）本题正确的结论为：是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，
故答案为：是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
19．（8分）先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式．
如：①因为，所以4和9是36的因数；
因为，所以和是的因式．
②若是的因式，则求常数的值的过程如下：
解：是的因式
存在一个整式，使得
当时，
当时，
（1）是的因式吗？　不是　（填“是”或者“不是” ；
（2）若整式是的因式，求常数，的值．
【解答】解：（1）．
故不是的因式；
故答案为：不是．
（2）是的因式，
存在一个整式，使得，
当时，，则①，
当时，，则②，
联立①②解得，．
故常数的值是4，的值是0．
20．（8分）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
（1）图可以解释的代数恒等式是　　；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图
①若要拼出一个面积为的矩形，则需要1号卡片　　张，2号卡片　　张，3号卡片　　张；
②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为，并利用你画的图形面积对进行因式分解．
【解答】解：（1）由图形面积可得：；
故答案为；
（2）①，
需要1号考3张，2号卡片2张，3号卡片7张，
故答案为3，2，7；
②图形是一个两边长分别为和的长方形；
．
21．（8分）发现与探索．
（1）根据小明的解答将下列各式因式分解
小明的解答：
①
②
③
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为．
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
【解答】解：（1）①
；
②
；
③
；
（2）①
，
无论取何值都大于等于0，再加上，
则代数式大于等于，
则的最小值为；
②无论取何值都小于等于0，再加上8，
则代数式小于等于8，
则的最大值为8，
．
无论取何值都小于等于0，再加上28，
则代数式小于等于28，
则的最大值为28．
22．（8分）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则
原式
再将“”还原，得：原式．
上述解题时用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：　　．
（2）因式分解：；
（3）证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方．
【解答】解：（1）
；
（2）令，则原式变为，
故；
（3）
，
为正整数，
也为正整数，
代数式的值一定是某一个整数的平方．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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