2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级下册数学第10章 三角形的有关证明 单元测试卷（word版、含解析）

2021-2022学年鲁教五四新版七年级下册数学《第10章 三角形的有关证明》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形
2．下列说法正确的是（　　）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形
B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形
D．两个正三角形一定是全等图形
3．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB的是（　　）
A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．BC＝BD
4．如图，已知Rt△ABD≌Rt△CDB，则∠ADB+∠C＝（　　）
A．70° B．80° C．90° D．无法确定
5．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝13，BC＝5，AD＝10，点M是对角线BD的中点，则CM的长为（　　）
A． B． C．6 D．5
6．将三角板（含30°，60°角）和直尺按如图所示的位置摆放，依次交于点F，D，E，且CD＝CE，那么∠BFA的度数为（　　）
A．120° B．135° C．140° D．150°
7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长（　　）
A．大于9 B．等于9 C．小于9 D．不能确定
8．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
9．如图，点B、E、C、F四点共线，∠B＝∠DEF，BE＝CF，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．AC∥DF D．AC＝DF
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图是由四个相同的小正方形组成的网格图，则∠1+∠2＝　 　．
12．如图，∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，且AB＝3cm，BD＝2cm，则DE＝　 　cm．
13．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于 　 　．
14．已知△ABC是等边三角形，∠BCD＝90°，BC＝CD，则∠CAD＝　 　．
15．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则下列结论：①∠C＝72°；
②BD是∠ABC的平分线；
③△ABD是等腰三角形．
其中正确的是 　 　．
16．如图，等边三角形ABC的角平分线AD，BE交于点O，则∠BOD＝　 　度．
17．将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为 　 　°．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，AC＝8cm，则线段BF的长度为 　 　．
19．如图，Rt△ACB中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝9，正△DEF的顶点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，若CD＝8，则△DEF的周长为 　 　．
20．如图，已知AC＝BD，∠A＝∠D，添加一个条件 　 　，使△AFC≌△DEB．
三．解答题（共7小题，满分90分）
21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．
求证：MN＝BM+CN．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠C＝35°，求∠BAE的度数．
23．如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点F，AB＝AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）当∠A＝40°时，求∠BFC的度数．
24．如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F＝∠A，求证：AD∥BF．
25．“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．
26．将一副直角三角板如图所示放置，∠ACB＝∠BDC＝90°，∠BAC＝60°，∠CBD＝45°，若AB＝4，求点A到BD所在直线的距离．
27．如图，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求证：DC⊥BC．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c．
又∵a，b，c是三角形的三边长，
∴这个三角形是等边三角形．
故选：B．
2．解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；
故选：B．
3．解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，
∴当添加AB＝CD或AC＝DB时，可根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB；
当添加∠ABC＝∠DCB时，可根据“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DCB．
故选：D．
4．解：∵Rt△ABD≌Rt△CDB，
∴∠C＝∠A，
∴∠ADB+∠C＝∠ADB+∠A＝90°，
故选：C．
5．解：延长BC 到E 使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，
∵BC＝3，AD＝6，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM＝DE＝AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝＝5，
∴CM＝．
故选：A．
6．解：由图可得，CD＝CE，∠C＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED＝45°，
∴∠FDE＝∠C+∠CED＝90°+45°＝135°，
又∵DE∥AF，
∴∠BAF＝135°，
故选：B．
7．解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠NCE，
∴MB＝ME，NE＝NC，
∵BM+CN＝9，
∴ME+NE＝9，
∴MN＝9，
故选：B．
8．解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC．
∵BE＝5，
∴BC＝2BE＝10．
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30．
∴AB+AC＝20．
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20，
故选：C．
9．解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
A．∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BE＝CF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∠B＝∠DEF，BE＝CF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．AC＝DF，BE＝CF，∠B＝∠DEF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
故选：D．
10．解：过D点作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠B，
∴CD＝BD＝3，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF
∵S△CAD：S△CBD＝AD：BD＝2：3，
∴DE AC： DF BC＝2：3，
∴AC：BC＝2：3，
设AC＝2x，BC＝3x，
∵DB＝DC，
∴CF＝BF＝BC＝x，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE＝CF＝x，
∴AE＝x，
∵DE2＝DA2﹣AE2＝CD2﹣CE2，
∴22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝，
∴AC＝．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．】解：由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠BAC＝∠1，
∠1+∠2＝180°．
故答案为：180°．
12．解：∵AB＝3cm，BD＝2cm，
∴AD＝AB﹣BD＝1（cm），
∵CD平分∠ACB，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝1cm，
故答案为：1．
13．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，GA＝GC，
∴△AGE的周长＝AE+EF+GA＝BE+EG+GC＝BC＝8，
故答案为：8．
14．解：①如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠BCA＝∠BAC＝60°，
∵∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠ACD＝30°，CA＝CD，
∴∠CAD＝×（180°﹣30°）＝75°；
②如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠BCA＝∠BAC＝60°，
∵∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠ACD＝90°+60°＝150°，CA＝CD，
∴∠CAD＝×（180°﹣150°）＝15°；
故答案为：75°或15°．
15．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，故①正确；
∵MN垂直平分AB，
∴DB＝DA，即△ABD是等腰三角形．故③正确；
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠CBD＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD．故②正确，
故答案为：①②③．
16．解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∵AD、BE为角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∠ABE＝∠ABC＝30°，
∴∠BOD＝∠BAE+∠ABD＝30°+30°＝60°．
故答案为：60．
17．解；∵∠DCE＝90°，点A是DE的中点，
∴AC＝AD＝AE，
∵∠D＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACF＝∠DCE﹣∠ACD＝30°，
∵∠FAC＝90°，
∴∠BFC＝∠FAC+∠ACF＝90°+30°＝120°，
故答案为：120．
18．解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DBF+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DBF＝∠DAC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴DB＝DA，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF＝AC，
∵AC＝8cm，
∴BF＝8cm．
故答案为：8cm．
19．解：作∠AEH＝∠B＝30°，交CA的延长线于点H，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AHE＝90°﹣∠AEH＝60°，
∵∠B＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠CDF+∠CFD＝120°，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DF＝DE，∠DFE＝60°，
∴∠EFA+∠DFC＝120°，
∴∠EFA＝∠CDF，
∵∠C＝∠AHE，
∴△CFD≌△HEF（AAS），
∴CD＝HF＝8，CF＝HE，
设AH＝a，
则AF＝HF﹣AH＝8﹣a，
∵AC＝9，
∴CF＝HE＝AC﹣AF＝9﹣（8﹣a）＝a+1，
∵∠EAH＝90°，∠AEH＝30°，
∴HE＝2AH，
∴a+1＝2a，
∴a＝1，
∴AH＝1，AE＝AH＝，AF＝7，
在Rt△AEF中，EF＝＝＝2，
∴△DEF的周长为6，
故答案为：6．
20．解：在△AFC和△DEB中，
，
∴△AFC≌△DEB（ASA）．
故答案为：∠ACF＝∠DBE（答案不唯一）．
三．解答题（共7小题，满分90分）
21．证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，
∴BM＝MO，ON＝CN，
∴MN＝MO+ON＝BM+CN．
22．解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝35°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝90° ∠C＝55°，
∴∠BAE＝∠BAC ∠EAC＝55°﹣35°＝20°．
23．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵两条角平分线BD、CE相交于点O，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，
在△BCF中，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣70°＝110°．
24．证明：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠F＝∠A，
∴∠F＝∠EDC，
∴AD∥BF．
25．解：由题意得：∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，BC＝10×2＝20（海里），
∵CD∥BE，
∴∠1＝∠CBE＝40°，
∵∠ACD＝20°，
∴∠ACB＝∠1+∠ACD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝20海里，
答：货轮到达C处时与灯塔A的距离AC为20海里．
26．解：如图，过点A作AE⊥CD交DC的延长线于点E，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝，
∴AC＝，BC＝，
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴CD＝，
∵∠ACE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
在Rt△ACE中，CE＝，
∵AE∥BD，
∴点A、E到直线BD的距离相等，
∴点A到直线BD的距离为ED＝EC+CD＝．
27．证明：∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，
∴∠ABE＝90°，∠AED＝90°，∠4+∠1＝90°，
∴∠3+∠6＝90°，∠6+∠5＝90°，
∴∠3＝∠5，
∴∠4+∠5＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°，
∴DC⊥BC．