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1.4.1 角平分线的性质与判定 教案
课题 1.4.1 角平分线的性质与判定 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.会叙述角平分线的性质及判定;2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理及逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
重点 角平分线的性质定理及其逆定理.
难点 掌握角平分线的性质定理及其逆定理并进行证明.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角.不利用工具，有什么方法可以将这个角分成两个相等的角. 教师提问：折痕OC和∠AOB有什么关系？折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。折痕OC叫做∠AOB的角平分线。【想一想】还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？【动手操作】在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你得到什么结论？【动手操作】在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系：PD=PE猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.请你尝试证明这一性质，并与同伴交流.已知：如图 ，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD=PE.证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，∴ ∠ PDO=∠ PEO=90 ° .∵ ∠ 1=∠ 2，OP=OP，∴ △PDO≌△PEO（AAS）.∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）.【总结归纳】性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.性质所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.几何语言：∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，∴ PD=PE. 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.教师提问：你能写出这个定理的逆命题吗？在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.它是真命题吗？已知：如图 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：OP 平分∠AOB.证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° .∵ PD = PE，OP = OP，∴ Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.∴ ∠ 1 =∠ 2（全等三角形的对应角相等）.∴ OP 平分 ∠ AOB. 思考自议学生动手剪纸，折叠，教师在多媒体上演示折叠过程。学生观察思考后，在班上交流.培养学生的动手操作能力和观察能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫。 经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维。
讲授新课 二、提炼概念【总结归纳】角平分线的判定在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.角平分线的判定所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．三、典例精讲【例1】如图，在△ABC 中，∠BAC=60 ° ，点 D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF，∴ AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵ ∠ BAC = 60 ° ，∴ ∠ BAD = 30 ° 在 Rt△ADE 中，∠ AED = 90 ° ，AD = 10，∴ DE=AD =×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 教师用多媒体展示问题，学生观察识图，独立思考，并且在小组内讨论交流，找出证明思路。 通过学生观察识图、独立思考、小组讨论，培养学生合作交流的意识。1.通过对角平分线判定定理的探索，培养学生分析推理的能力。2. 培养学生的归纳概括能力。使学生明确角平分线判定定理的作用。
课堂检测 四、巩固训练 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( )A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．9 cmA2.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=______cm.23.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.(1)求证：DE＝DF；(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．（1）证明：连接AD.∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.∵D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.（2）解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，∴∠B＝50°.∴∠C＝50°.∴∠BAC＝80°.4.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. (1)则点P到AB的距离为_______.(2)求△APB的面积.(3)求 PDB的周长.（1）4（2）解：由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，（3）5. 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.∵P是OC上点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分线.
课堂小结 本节课你学到了什么？角的平分线的性质与判定定理的关系：(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．(2)点在角的平分线上性 判定质 点到这个角两边的距离相等． (3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．
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北师大版 八年级下
1.4.1 角平分线的性质与判定
情境引入
新知导入
A
O
B
不利用工具，有什么方法可以将这个角分成两个相等的角.
可以通过对折的方法
C
拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角
拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角
A
O
B
C
折痕OC和∠AOB有什么关系？
折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。
折痕OC叫做∠AOB的角平分线。
合作学习
导入新课
【想一想】还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？
A
O
B
C
【动手操作】在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你得到什么结论？
P
A
D
E
在OC上再取几个点试一试.
【想一想】还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？
A
O
B
C
P
A
D
E
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系：_____________
PD=PE
请你尝试证明这一性质，并与同伴交流.
思考：角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理中都提到了“距离相等”，你认为这两个“距离”含义相同吗？
不相同.
线段垂直平分线的性质定理中“距离”是两点之间的距离，
而角平分线的性质定理中的“距离”指的是点到线的距离，
因此角平分线性质定理中才要求过点作角的两边的垂线.
已知：如图 ，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠PDO=∠PEO=90 ° .
∵ ∠1=∠2，OP=OP，
∴ △PDO≌△PEO（AAS）.
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
提炼概念
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，
PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E,
∴PD＝PE.
3.定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
D
E
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
O
A
C
B
想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.
这个命题是真的吗？如果是假的，怎么修改能成为真的呢？
想一想
如图，点 P是平面内一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，点P在∠AOB的角平分线上吗？
上面逆命题的准确说法应该怎样说？
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．
求证：OP平分∠AOB.
A
C
B
O
D
P
E
1
2
证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵PD＝PE，OP＝OP，
∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
1.判定方法：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
2.书写格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
3.应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
4.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
典例精讲
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF，
∴AD平分∠BAC
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10，
∴DE= AD= ×10=5
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
归纳概念
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( )
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
A
2.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=______cm.
2
3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF；
证明：连接AD.
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.
∵D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，
∴∠B＝50°.
∴∠C＝50°.
∴∠BAC＝80°.
3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
4.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.
(1)则点P到AB的距离为_______.
4
A
B
C
P
D
解：由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，
(2)求△APB的面积.
·AB·PD=28.
(3)求 PDB的周长.
A
B
C
P
D
=
解：
课堂练习
5. 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.
求证:OC是∠AOB的平分线.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDF=∠PEG=90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中,
∵PF=PG,DF=EG,
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.
∵P是OC上点,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴OC是∠AOB的平分线.
课堂总结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.4.1 角平分线的性质与判定 学案
课题 1.4.1 角平分线的性质与判定 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.会叙述角平分线的性质及判定;2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理及逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
重点 角平分线的性质定理及其逆定理.
难点 掌握角平分线的性质定理及其逆定理并进行证明.
教学过程
导入新课 【引入思考】 拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角.不利用工具，有什么方法可以将这个角分成两个相等的角. 折痕OC和∠AOB有什么关系？【想一想】还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？【动手操作】在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你得到什么结论？【动手操作】在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你得到什么结论？已知：如图 ，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD=PE.【总结归纳】性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.你能写出这个定理的逆命题吗？在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.它是真命题吗？已知：如图 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：OP 平分∠AOB.
新知讲解 提炼概念【总结归纳】角平分线的判定在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.角平分线的判定所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.逆命题在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.典例精讲 【例1】如图，在△ABC 中，∠BAC=60 ° ，点 D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
课堂练习 巩固训练1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( )A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．9 cm2.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=______cm.3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.(1)求证：DE＝DF；(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．4.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. (1)则点P到AB的距离为_______.(2)求△APB的面积.(3)求 PDB的周长.5. 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线. 答案引入思考 猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，∴ ∠ PDO=∠ PEO=90 ° .∵ ∠ 1=∠ 2，OP=OP，∴ △PDO≌△PEO（AAS）.∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）.你能写出这个定理的逆命题吗？在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° .∵ PD = PE，OP = OP，∴ Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.∴ ∠ 1 =∠ 2（全等三角形的对应角相等）.∴ OP 平分 ∠ AOB.提炼概念典例精讲 例1解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF，∴ AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵ ∠ BAC = 60 ° ，∴ ∠ BAD = 30 ° 在 Rt△ADE 中，∠ AED = 90 ° ，AD = 10，∴ DE=AD =×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.巩固训练1.A2.23.（1）证明：连接AD.∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.∵D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.（2）解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，∴∠B＝50°.∴∠C＝50°.∴∠BAC＝80°.4.（1）4（2）解：由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，（3）5.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.∵P是OC上点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分线.
课堂小结 本节课你学到了什么？角的平分线的性质与判定定理的关系：(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．(2)点在角的平分线上性 判定质 点到这个角两边的距离相等． (3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．
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