湖南省永州市零陵区2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年湖南省永州市零陵区八年级（上）期末数学试卷
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
在，，，，中分式的个数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
将用科学记数法可表示为
A. B. C. D.
长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是
A. B. C. D.
如图，在等边中，分别是边、上的点，且，则
A.
B.
C.
D.
如图，在等腰三角形中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则等于
A.
B.
C.
D.
如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集
A. B. C. D.
关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是
A. B.
C. 且 D. 且
下列各结论中，正确的是
A. B.
C. D.
货车行驶千米与小车行驶千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为千米小时，依题意列方程正确的是
A. B. C. D.
某班数学兴趣小组对不等式组，讨论得到以下结论：
若，则不等式组的解集为；
若，则不等式组无解；
若不等式组有解，则的取值范围；
若不等式组只有四个整数解，则的值只可以为．
其中，正确结论的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
计算______．
命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是______．
若解分式方程产生增根，则增根可能是______．
如图，已知、相交于点，，请增加一个条件，使≌不能添加辅助线，你增加的条件是______ ．
已知一个正数的平方根是和，则这个数是______．
分式方程的解为______ ．
若关于的不等式组的解集为，则关于的不等式的解集为______．
某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第棵树种植点为______；第棵树种植点为______．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）
计算：
．
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
先化简，再求值：，其中．
已知，为实数，且满足关系式：
求：，的值；
的平方根．
如图，已知点，，，在一条直线上，，，．
求证：≌；
若，，求的长．
已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”，告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即请你利用公式解答下列问题．
在中，已知，，，求的面积；
计算中的边上的高．
为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买、两种型号的学习用品．已知型学习用品的单价比型学习用品的单价多元，用元购买型学习用品与用元购买型学习用品的件数相同．
求，两种学习用品的单价各是多少元；
若购买、两种学习用品共件，且总费用不超过元，则最多购买型学习用品多少件？
如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．
证明：．
如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
拓展与应用：如图，、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合，点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断的形状并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，的分母中含有字母，都是分式，共有个．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
此题主要考查了分式的定义，正确把握分式的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
【解析】解：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，
，
，
只有数在范围内，数，，都不在范围内，
故选：．
根据三角形的三边关系定理得出，求出的范围，再逐个判断即可．
本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形三边关系定理是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
4.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
．
，
，
，
故选：．
根据等边三角形的性质，得出各角相等各边相等，已知，利用判定≌，从而得出，则，进而利用四边形内角和解答即可．
本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
．
故选A．
根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后根据代入数据计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：，
A、不等式组的解集为，故A错误；
B、不等式组的解集为，故B正确；
C、不等式组的解集为，故C错误；
D、不等式组的解集为，故D错误．
故选：．
根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：两边都乘以，得：，
解得：，
因为分式方程的解为正数，
所以且，
解得：且，
故选：．
先去分母，用含的代数式表示出，根据解为正数求出的范围即可．
本题考查了分式方程的解法和分式方程的解以及一元一次不等式．确定的取值范围时，容易忽略不等于的条件．
8.【答案】
【解析】解：、，故选项正确；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误．
故选：．
A、、、都根据算术平方根的概念或平方根的概念逐条验算，采用排除法即可判断．
此题主要考查了算术平方根的定义及其性质，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．弄清概念是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，得
．
故选：．
题中等量关系：货车行驶千米与小车行驶千米所用时间相同，列出关系式．
理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．
10.【答案】
【解析】解：不等式组，
当时，解集为，选项正确；
当时，不等式无解，选项正确；
若不等式组有解，的范围是，选项错误；
若不等式组只有四个整数解，
不等式解集为，
整数解为，，，，
的范围是，选项错误，
则正确的个数是个．
故选：．
把代入不等式组，求出解集即可作出判断；
把代入不等式组，判断即可；
根据不等式组有解确定出的范围，即可作出判断；
由不等式组只有四个整数解，确定出的范围，即可作出判断．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
根据零指数幂的意义以及负整数幂的意义即可求出答案．
本题考查实数运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．
12.【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形
【解析】
【分析】
本题考查了原命题与逆命题，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
【解答】
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”．
13.【答案】
【解析】解：分式方程有增根，
，
故答案为．
根据分式方程增根的定义，最简公分母为的的值，进行求解即可．
本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
理由是：在和中
≌，
故答案为：．
全等三角形的判定定理有，，，，根据定理添加一个条件即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：，
所以，，
则这个数是．
故答案为：．
根据正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到的值，即可得到这个正数．
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：两边都乘以最简公分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
检验得，
所以方程的解为：，
故答案为：．
观察式子可得最简公分母为，去分母，化为整数方程求解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，，
则，，
关于的不等式为，
解得，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，结合已知解集得出、的值，代入不等式，解之可得．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由题意可得：当，，，时，，当等于其余大于等于的正整数时，均等于，
，
，
且，
，．
首先根据题目条件分析的取值，进而可以探究的规律．
本题读懂题目信息，找到的规律即可解决问题．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先进行乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算，然后合并；
先进行二次根式的化简、除法运算，然后合并．
本题考查了实数的运算，涉及了乘方、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简等知识，属于基础题．
20.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：当时，
原式
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22.【答案】解：，为实数，且满足关系式：
，解得；
，，
原式
．
，
的平方根是．
【解析】先根据非负数的性质列出关于的方程组，求出、的值即可；
把的值代入代数式进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知非负数的性质及实数的运算法则是解答此题的关键．
23.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌．
解：，，
，
，
，
．
【解析】根据证明≌即可；
求出的长即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：在中，，，，
，
则；
根据，可得．
【解析】由三边长求出周长得到的值，再将的三边长及的值代入公式中计算即可求出面积；
根据三角形面积公式，由求出的面积及的长，求出边上的高即可．
此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
25.【答案】解：设型学习用品的单价是元，则型学习用品的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：型学习用品的单价是元，型学习用品的单价是元．
设购买型学习用品件，则购买型学习用品件，
依题意得：，
解得：．
答：最多购买型学习用品件．
【解析】设型学习用品的单价是元，则型学习用品的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买型学习用品与用元购买型学习用品的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出型学习用品的单价，再将其代入中即可求出型学习用品的单价；
设购买型学习用品件，则购买型学习用品件，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】解：如图，直线，直线，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
；
如图，，
，
，
在和中，
≌，
，，
；
如图，由可知，≌，
，，
和均为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
≌，
，，
，
为等边三角形．
【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断≌，则，，于是；
由，就可以求出，进而由就可以得出≌，就可以得出，，即可得出结论；
由等边三角形的性质，可以求出，就可以得出≌，就有，进而得出≌，得出，，而得出，就有为等边三角形．
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