沪科版数学八年级下19.2平行四边形 第4课时 平行四边形判定（二） (共25张PPT)

(共25张PPT)
19.2 平行四边形
第4课时 平行四边形的判定（二）
沪科版数学八年级下册
第19章 四边形
两组对边分别相等
两组对角分别相等
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
四边形是平行四边形
从看边
从角看
已学的平行四边形的判定方法
知识回顾
四边形是平行四边形
对角线互相平分
从对角线看：
四边形是平行四边形
思 考
？
O
已知：四边形ABCD, 对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：
在△AOD和△COB中
OA=OC（已知）
∠AOD=∠COB （对顶角相等）
OD=OB （已知）
∴△AOD≌△COB（SAS）
∴∠1=∠2 AD=CB（全等三角形的对应角、对应边相等）
∴ AD∥CB（内错角相等，两直线平行）
∴四边形ABCD是平行四边形
B
A
C
2
1
D
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
新知讲解
对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理4:
符号语言：
A
B
C
D
O
∵ OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
新知讲解
1.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行四边形的是( )
(A)两组对边分别相等
(B)两条对角线互相平分
(C)两条对角线相等
(D)两组对边分别平行
C
新知辨析
2、请你识别下列四边形哪些是平行四边形 为什么？
A
D
C
B
110°
70°
110°
⑴
⑷
⑶
A
B
C
D
120°
60°
5㎝
5㎝
A
B
C
D
O
5㎝
5㎝
4㎝
4㎝
B
A
D
C
4.8㎝
4.8㎝
⑵
7.6㎝
7.6㎝
新知辨析
是平行四边形，对角线互相平分
是平行四边形，一组对边平行且相等
是平行四边形，两组对角分别相等
是平行四边形，两组对边分别相等
3、判断
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是 平行四边形; ( )
(2)两组对角都相等的四边形是平行四边形 ( )
(3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行边形; ( )
(4)一组对边平行,一组邻角互补的四边形是平行 四边形; ( ）
(5)两组邻角互补的四边形是平行四边形. ( )
×
√
√
×
×
新知辨析
例1、已知AB、CD交于O，AC ∥DB，OA＝OB，E、F为OC、OD的中点，求证：四边形AFBE为平行四边形
例题讲解
A
O
F
D
E
C
B
证出OE=OF,
利用对角线互相平分得出结论
例1、已知AB、CD交于O，AC ∥DB，OA＝OB，E、F为OC、OD的中点，求证：四边形AFBE为平行四边形
例题讲解
A
O
F
D
E
C
B
证明：
∵AC ∥DB
∴∠C=∠D，∠CAO=∠DBO
∴△CAO≌△DBO （AAS）
∵OA＝OB
∴OC＝OD
∵ E、F为OC、OD的中点
∴OE＝OF
∴四边形AFBE为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
例2、如图，在平行四边形ABCD中,E、F、G、H分别是各 边上的点，且AE=CF，BG=DH。求证：EF与GH互相平分。
例题讲解
证明：
分别连结HE、EG、GF、FD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，∠A=∠C
∵BG=DH
∴AD-DH=BC-BG,
即： ADH=CG
∵AE=CF
∴△AEH≌△CFG(SAS)
∴EH=FG(全等三角形对应边相等)
同理可得△DFH≌△BEG(SAS)
∴HF=EG(全等三角形对应边相等)
∴四边形HEGF是平行四边形
∴EF与GH互相平分
2）已知有一条对角线被平分，再证另一条对角线被平分，构成判定定理3.
1）已知一组对角相等，再证另一组对角相等，构成判定定理2.
证一个四边形是平行四边形的思路：
先找现有条件
再证缺失条件
构成判定方法
平行四边形判定方法的选择方法
3）已知一组对边平行，可以证另一组对边平行，即定义法；也可证这组对边相等，构成判定定理4.
4）已知一组对边相等，可以证另一组对边相等，构成判定定理1；也可证这组对边平行，构成判定定理4.
新知总结
例3、已知：如图，□ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
┓
┓
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
E
F
新知应用
方法一：
证明BE与DF平行且相等
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC，且AB∥DC，
∴∠BAE=∠DCF
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F
∴BE∥DF，∠AEB=∠CDF=90°
∴△ABE≌△CDF （AAS）
∴BE=DF
∴四边形BEDF是平行四边形
例3、已知：如图，□ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
┓
┓
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
E
F
新知应用
方法二：
连结BD，证明BD与EF互相平分
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∵∠BOE=∠DOF
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F
∴∠AEB=∠CDF=90°
∴△BOE≌△DOF （AAS）
∴OE=OF
∴四边形BEDF是平行四边形
O
连结BD,交AC于O点
∴OD=OB，
例3、已知：如图，□ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
┓
┓
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
E
F
新知应用
方法三：
利用面积法证明BE=DF，再根据BE∥DF得出结论
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F
∴ BE∥DF ，∠AEB=∠CDF=90°
∴ BE=DF
∴四边形BEDF是平行四边形
∴S△ABC=S△CDA，
∴AC×BE= AC×DF，
你还能用其他方法证明吗？
变式1：
已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为OA、OC中点，求证：四边形BEDF是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
　　　∴OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）
　　　∵E、F分别为OA、OC中点
　　　∴OE＝OA，，OF＝ OC
　　　　而OA＝OC
　　　∴OE＝OF
　　　　又OB＝OD
　　　∴四边形BEDF是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是 平行四边形）
C
A
D
B
E
F
O
你还有其他的证明方法吗？
新知应用
已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF，求证：四边BEDF是平行四边形。
还可以是：①AF＝CE
　　　　　②∠ADE＝∠CBF
　　　　　③∠CDE＝∠ABF
　　　　　④BE⊥AC，DF⊥AC
　　　　　　……
若将“E、F分别为OA、OC中点”改为“AE＝CF”，四边形BEDF还是平行四边形吗？
试试看：你还能怎样改？
A
D
B
C
O
E
F
BE∥DF
变式2：
新知应用
1、如图，AC∥ED，点B在AC上且AB=ED=BC 。找出图中的平行四边形。
A
C
B
E
D
课堂练习
□ABDE
□BCDE
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（A）AB∥CD,AD∥BC
（B） AB=CD,AD=BC
(C)AB∥CD,AB=CD
(D) AB∥CD,AD=BC
(E) AB∥CD, ∠A=∠C
D
B
D
A
C
（两组对边分别平行）
（两组对边分别相等）
（一组对边平行且相等）
（两组对角分别相等或两组对边分别平行）
A
B
D
C
课堂练习
2、在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是( )
1、在□ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若再增加一个条件 ，就可推得BE = DF．
DE=BF
或BE∥DF
或AE=CF
提升练习
A
B
C
D
E
F
A
C
D
E
2．如图，E，F分别是 ABCD的两对边AD,BC的中点，则图中平行四边形的个数是( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
D
提升练习
B
F
A
C
D
E
3、在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
B
提升练习
4、 ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF
B
5、如图:□ABCD中, 以AD、BC为边作正三角形ADE, 正三角形BCF, 连结BE,DF, 求证: 四边形EBFD是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
证明: 在 □ ABCD中,
AD = BC, AB = CD,∠1 = ∠2
∵△ADE与△BCF都是正三角形,
∴AE=DE=AD, BE=CF=BC,
∠3=∠4=60°.
∴DE=BF, AE=CF,
∠1＋∠3=∠2＋∠4,
即 ∠EAB=∠DCF,
∴△ABE≌△DCF
∴BE=DF
∴四边形EBFD是平行四边形.
提升练习
已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明．
提升拓展
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．
又∵OA=OC，
∴△AOD≌△COB．
∴AD=BC．
∴四边形ABCD为平行四边形．
（1）以①OA=OC、④AD∥BC论断为条件
解：
A
B
C
D
O
（2）②④论断为条件时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．
A
B
D
C
提升拓展
从边来判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
从角来判定
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的判定方法总 结
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
课堂小结