安徽省六安市金安区清水河中学2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(word解析版)

安徽省六安市金安区清水河中学2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷
一．选择题(本题共10小题，共40分 )
下列函数中，是二次函数的是
A. B.
C. D.
二次函数的图象的顶点坐标是
A. B. C. D.
若反比例函数的图象经过点，则的值是
A. B. C. D.
下列各组线段中，线段，，，成比例线段的是
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
与的相似比为：，则与的面积比为
A. ： B. ： C. ： D. ：
若，则的值是
A. B. C. D. 无法确定
如图所示，在中，若，，，则
A.
B.
C.
D.
如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是，的顶点都在交点处，则的正弦值为
A.
B.
C.
D.
如图，若内一点满足，则点为的布洛卡点，已知在等腰直角三角形中，如图，，若点为的布洛卡点，，则
A. B. C. D.
已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是
A. B.
C. D.
二．填空题(本题共4小题，共20分 )
二次函数的图象经过原点，则的值为______．
已知，则的值为______ ．
如图，点是反比例函数图象上的任意一点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接、，若的面积为，则的值为______．
如图，在正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点设．
若，，求线段的长为______；
连接，若，则的值为______．
三．计算题(本题共1小题，共10分 )
计算：．
四．解答题(本题共8小题，共80分 )
已知抛物线的图象经过、．
求抛物线解析式；
试判断该二次函数的图象是否经过点．
在中，，，，求的周长和面积．
如图，在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，．
以点为位似中心，在轴的左侧画出放大倍后的；
分别写出，两点的对应点，的坐标．
年国庆节前夕，全球最长跨海大桥港珠澳大桥主体桥梁工程贯通，大桥连接香港，澳门，珠海三地，总长千米大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图是从图引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为米，两拉索底端距离为米，请求出立柱的长结果精确到米，．
如图，正方形中，为上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．
求证：∽；
若，，求的长．
某商场销售一种小商品，进货价为元件．当售价为元件时，每天的销售量为件．在销售过程中发现：销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件．设销售价格上涨元件为偶数，每天的销售量为件．
请写出与的函数关系式．
商场要想每天销售该商品的利润为元，则每件涨价多少元？
设商场每天销售该商品的利润为元，则该商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
求、、三点的坐标；
求直线的函数表达式；
若是线段上一个动点，过作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，求线段的最大值．
如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点为边上一动点．
如图，当时，求；
如图，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点，若为直角三角形，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：函数的右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B.函数是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C.函数是二次函数，故本选项符合题意；
D.函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
本题考查了二次函数的定义，注意：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
2.【答案】
【解析】解：，
顶点坐标是，
故选：．
根据顶点式，知顶点坐标是，求出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的顶点坐标对称轴，关键是二次函数性质的应用．
3.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，解得．
故选：．
直接把点代入反比例函数，求出的值即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、，故选项符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意．
故选：．
如果其中两条线段，的乘积等于另外两条线段，的乘积，则四条线段，，，成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
5.【答案】
【解析】解：∽，且与相似比为：，
与的面积比．
故选：．
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可解决问题；
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，，，
．
故选：．
利用比例的性质得到，，，再把它们代入中进行分式的运算即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握常用的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，，
．
，
∽．
，即．
．
故选：．
首先判定∽，然后利用该相似三角形的对应边成比例求得答案．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
8.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，
由网格可得，，
，
中，
，
．
故选：．
利用网格求出和的长，根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角函数的意义求解即可．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】
【解析】解：如图，在等腰直角三角形中，，，，
，
，
又，
∽，
，
，
，，
，
故选：．
通过证明∽，可得，可求，的长，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：当时，，函数为开口方向向上的抛物线；
当时，如图，
设交于，则，
则，
，函数为开口方向向下的抛物线；
当时，；
当时，同理可得，函数为开口方向向下的抛物线；
故只有选项C符合题意．
故选：．
分别清楚，，，的函数关系式即可判断．
此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意得出相应的函数关系式是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：把代入得，解得，
所以的值为．
故答案为：．
根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12.【答案】
【解析】解：，
两边都乘以得：，
，
，
故答案为：．
两边都乘以得出，求出，再根据比例的性质得出即可．
本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质的内容是解此题的关键，如果，那么，反之亦然．
13.【答案】
【解析】解：设与轴交于点，
点在反比例函数的图象上，
，
又，
，
又，
，
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义求解即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是得出正确答案的关键．
14.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
又平分，
，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
，，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
设，则，，
，，
，，，
，
∽，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：．
根据，，可以得到、的长，然后根据正方形的性质，可以得到的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到的长，从而可以得到线段的长；
然后根据题目中的条件，可以得到≌，∽，根据全等三角形的性质、相似三角形的性质可以得到和的比值，从而可以得到的值．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】解：
．
【解析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、乘方和绝对值，然后计算乘法，最后合并同类项，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
16.【答案】解：抛物线的图象经过，．
，解得，
二次函数解析式为；
当时，，
该二次函数的图象不经过点．
【解析】根据待定系数法即可求得；
把点代入二次函数解析式进行验证即可．
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法系数的值是解题的关键．
17.【答案】解：由，，
得出：，
由勾股定理得出：，
则，
故．
【解析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出的周长和面积．
本题考查了解直角三角形，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质．
18.【答案】解：如图所示，即为所求；
；．
【解析】根据位似的性质找出对应点顺次连接即可；
由图形可知；．
本题考查了作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键．
19.【答案】解：设米，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
米．
答：立柱的长约为米．
【解析】设米，由三角函数得出，得出，求出，由得出方程，解方程求出，即可得出结果．
本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出和是解决问题的关键．
20.【答案】解：证明：四边形是正方形，
，，，
，
又，
，
，
∽；
，，，
，，
是的中点，
，
∽，
，
，
，
．
【解析】由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论；
由勾股定理求出，得出，由∽得出比例式，求出，即可得出的长．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
21.【答案】解：由题意得：，
与的函数关系式为；
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
商场要想每天销售该商品的利润为元，则每件涨价元或元；
由题意得：
，
，
当时，最大，最大值为，
每件涨价元，销售价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】根据销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件，列出与的函数解析式即可；
利润等于每件的利润乘以销售量列出关于的一元二次方程，解方程即可；
根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出与的函数关系式并根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数、一次函数以及一元二次方程的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式和一元二次方程．
22.【答案】解：二次函数 ，
令 ，即，
，，
由图可得，在的右边，
，，
令 ，则，即；
解：设直线解析式为 ，
把 ，代入得，
，
解得，
直线解析式为；
解：设 ，， 轴，
，
在直线上，
，即，
在抛物线上，
，即，
，
，
，随的增大而增大，，随的增大而减小，
时，有最大值，
；
的最大值是 ．
【解析】将代入函数解析式即可求出点坐标，将代入函数解析式即可求出、的坐标；
利用一次函数的待定系数法直接求解即可；
设点的坐标，再利用两点之间的距离公式求解即可．
此题考查的是二次函数与一次函数的性质、待定系数法求解析式、两点间距离公式等知识，掌握待定系数法求函数解析式是解决此题关键．
23.【答案】解：如图，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当时，过点作于，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点，
，
又，
，
，
；
当时，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点，
，，
又，
∽，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
综上所述：或．
【解析】由勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义求出和的长，求出，则可得出答案；
分两种情况讨论，当时，过点作于，由平行线分线段成比例可得，，由折叠的性质可得，可求，可得；当时，由勾股定理和矩形的性质可得，通过证明∽，可得，可求的长，通过证明∽，可得，可求的长．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
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