2022年春人教版初中数学九年级下册 第二十七章 相似 检测题（word版 含解析）

人教版初中数学九年级下册 第二十七章《相似》检测题
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1. 给出4个命题：①三边对应成比例的两个三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的命题是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ①②④ D. ①③④
2. 如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（　　）
A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD，AB=AC D. AD：AC=AE：AB
4. 如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（ ）
A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对
5. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（　　）
A. △ADE∽△ECF B. △ECF∽△AEF
C. △ADE∽△AEF D. △AEF∽△ABF
6. 如图，△ADE∽△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（　　）
A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 3：2
7. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ）
A. 19 B. 17 C. 24 D. 21
8. 在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（　　）
A. 1250km B. 125km C. 12.5km D. 1.25km
9. 在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　）.
A 18米 B. 16米 C. 20米 D. 15米
10. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）
A. B.
C D.
二、填空题:
11. 已知，则＝_____．
12. 已知两个相似三角形的面积比为4：9，那么这两个相似三角形的周长比为 ___．
13. 如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC～△AED成立，还需要添加一个条件为____________．
14. 下列命题：①所有等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似；其中真命题是_____（把所有真命题的序号都填上）．
15. 等腰三角形 ⊿ABC和⊿DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线比为______
16. 如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED＝3m，则A、B两点间的距离为_____m．
17. 如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．
18. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为__________（结果保留π）
三、解答题：
19. 如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD ，AC=5cm，AB=4cm，求AD的长.
20. 已知：如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB·BC＝AC·CD
21. 如图，零件的外径为16cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径AB，现用一个交叉钳(AD与BC相等)去量，若测得OA︰OD=OB︰OC=3︰1，CD＝5cm，你能求零件的壁厚x吗？
22. 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
23. 为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了3.2米（BB‘），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B‘C‘）为1.8米，求路灯离地面的高度.
24. 如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC =" EB" .
（1）求证：△CEB∽△CBD ；
（2）若CE = 3，CB="5" ，求DE长.
人教版初中数学九年级下册第二十七章《相似》检测题（解析版）
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1. 给出4个命题：①三边对应成比例的两个三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的命题是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ①②④ D. ①③④
【1题答案】
【答案】A
【解析】
【详解】①三边对应成比例的两个三角形相似；正确；
②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；不一定，改为：两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似；
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；正确，相当于两角对应相等，两三角形相似；
④一个角相等的两个等腰三角形相似，不一定，改为：有一个角对应相等的两个等腰三角形相似.故选A.
2. 如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是( )
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．∵DE∥BC，
所以A选项的比例式正确；
B．
即所以B选项的比例式正确；
C．
所以C选项的比例式错误；
D．
即所以D选项的比例式错误．
故选C．
3. 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（　　）
A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD，AB=AC D. AD：AC=AE：AB
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵∠A=∠A，
∴当∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或AD：AC=AE：AB时，△ABE和△ACD相似．
故选C．
考点：相似三角形的判定．
4. 如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（ ）
A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对
【4题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，即可得到AB∥CD，AD∥BC，则△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，进而可以得到△EAB∽△AFD．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，
∴△EAB∽△AFD，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（　　）
A. △ADE∽△ECF B. △ECF∽△AEF
C. △ADE∽△AEF D. △AEF∽△ABF
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】在矩形ABCD中，
∵∠D＝∠C＝90°，∠AEF＝90°，
∴∠DEA＋∠CEF＝90°，∠DEA＋∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE∽△ECF．
故选A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
6. 如图，△ADE∽△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（　　）
A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 3：2
【6题答案】
【答案】B
【解析】
详解】∵AD=2，BD=4，
∴AB=AD+BD=6，
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=2：6=1：3，即△ADE与△ABC的相似比为1：3．
故选B．
7. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ）
A. 19 B. 17 C. 24 D. 21
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，知，∴，，∴．故选C．
考点：相似三角形的性质．
8. 在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（　　）
A. 1250km B. 125km C. 12.5km D. 1.25km
【8题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】设实际距离为xcm，则：1:50000=25:x，
解得x=1250000.
12500000cm=12.5km.
故选C.
9. 在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　）.
A. 18米 B. 16米 C. 20米 D. 15米
【9题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】根据题意解：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1.5：2.5=旗杆的高：30，
∴旗杆的高==18米．
故选A．
【点睛】考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高．
10. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）
A. B.
C. D.
【10题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题:
11. 已知，则＝_____．
【11题答案】
【答案】-
【解析】
【详解】∵，
∴可设：，
∴.
故答案为.
12. 已知两个相似三角形的面积比为4：9，那么这两个相似三角形的周长比为 ___．
【12题答案】
【答案】2∶3##
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得这两个相似三角形的相似比，进而问题可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个相似三角形的周长比为2：3；
故答案为2：3．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
13. 如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC～△AED成立，还需要添加一个条件为____________．
【13题答案】
【答案】∠B=∠AED 或∠C=∠ADE 或
【解析】
【详解】本题答案不唯一，
∵在△AED和△ABC中，∠A=∠A，
∴（1）当添加条件：∠B=∠AED时，△ABC∽△AED；
（2）当添加条件：∠C=∠ADE时，△ABC∽△AED；
（3）当添加条件： 时，△ABC∽△AED.
故答案为：∠B=∠AED 或∠C=∠ADE 或.
点睛：当两个三角形中有一对角对应相等，要证它们相似时，可以添加的条件有：（1）另外两对对应角中任意一对相等；（2）相等的两个角的两边对应成比例.
14. 下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似；其中真命题是_____（把所有真命题的序号都填上）．
【14题答案】
【答案】②③
【解析】
【分析】本题可逐个分析各项，利用排除法得出答案．
【详解】本题考查相似三角形的判定性质，
①等腰三角形三角不一定相等，不符合相似三角形的特点，错误；
②所有的等边三角形三角相等，是相似三角形，正确；
③所有的等腰直角三角形三角都相等，因此都相似，正确；
④所有的直角三角形三角不一定都相等，不都相似，错误．
其中真命题是②③．
【点睛】本题考查相似三角形的判定性质，
（1）平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
（4）如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
15. 等腰三角形 ⊿ABC和⊿DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为______
【15题答案】
【答案】3：4
【解析】
【详解】∵等腰三角形△ABC和△DEF相似，其相似比为3：4，
∴由相似三角形对应边上高之比等于相似比可得：它们底边上的高线的比为3：4.
故答案为3：4.
16. 如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED＝3m，则A、B两点间的距离为_____m．
【16题答案】
【答案】20m
【解析】
【详解】∵CD∥AB，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵AD=15m，ED=3m，
∴AE=AD-ED=12m，
又∵CD=5m,
∴，
∴3AB=60，
∴AB=20m.
故答案为20m.
17. 如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．
【17题答案】
【答案】30°
【解析】
【详解】∵△ABC∽△DEF，∠A=30°，
∴∠D=∠A=30°.
故答案为30°.
18. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为__________（结果保留π）
【18题答案】
【答案】0.81π
【解析】
【详解】如图，由题意可知，DE是☉O1的直径，BC是☉O2的直径，AO2⊥DE于O1，AO2⊥BC于O2，DE=1.2，AO2=3，O1O2=1，
∴DE∥BC，AO1=2，
∴△ADE∽△ABC,
∴，即,
∴BC=1.8，
∴O2C=0.9，
∴S☉O2=.
点睛：本题解题的关键是作出如图所示的辅助线，这样即可构造出：△ADE∽△ABC，再利用相似三角形对应高之比等于相似比即可求得BC的长，从而即可得到☉O2的半径，使问题得到解决.
三、解答题：
19. 如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD ，AC=5cm，AB=4cm，求AD的长.
【19题答案】
【答案】cm
【解析】
【详解】试题分析：
由∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD 可证得△ABC∽△ADB，由此可得，结合AB=4cm，AC=5cm即可求得AD的长.
（2）试题解析：
∵在△ABC和△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD，
∴△ABC∽△ADB，
∴，
∴AC·AD=AB2，
又∵AB=4cm，AC=5cm，
∴5AD=16cm，
∴AD=cm.
故答案为：cm.
20. 已知：如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB·BC＝AC·CD
【20题答案】
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC可以求出∠ABD=∠DBC=∠C，然后证明出BD=CD与△ABD与△ACB相似，在根据相似三角形的对应边成比例列式整理即可得证．
【详解】∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACB中，，
∴△ABD∽△ACB（AA），
∴，
∴AB BC=AC BD．
∴AB BC=AC CD．
21. 如图，零件外径为16cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径AB，现用一个交叉钳(AD与BC相等)去量，若测得OA︰OD=OB︰OC=3︰1，CD＝5cm，你能求零件的壁厚x吗？
【21题答案】
【答案】0.5cm．
【解析】
【详解】解：∵OA：OD=OB：OC=3：1，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△BOA．
∴AB：CD=OA：OD=3：1．
∵CD=5cm，
∴AB=15cm．
∴2x+15=16．
∴x=0.5cm．
22. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【22题答案】
【答案】这个正方形零件的边长是48mm．
【解析】
【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．
23. 为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了3.2米（BB‘），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B‘C‘）为1.8米，求路灯离地面的高度.
【23题答案】
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值．
试题解析：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴=，即=，
解得OB=h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴=，=②，
把①代入②得，=，
解得h=9（米）．
答：路灯离地面的高度是9米．
考点：相似三角形
24. 如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC =" EB" .
（1）求证：△CEB∽△CBD ；
（2）若CE = 3，CB="5" ，求DE的长.
【24题答案】
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似；
（2）根据相似三角形的对应边成比例先求出CD的长，已知CE的长，那么DE的长就容易求得了．
【详解】（1）证明：∵弦CD垂直于直径AB，
∴BC=BD．
∴∠C=∠D．
又∵EC=EB，
∴∠C=∠CBE．
∴∠D=∠CBE．
又∵∠C=∠C，
∴△CEB∽△CBD．
（2）解：∵△CEB∽△CBD，
【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，难易程度适中．