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北师大八年级下册第五单元分式与分式方程单元检测卷（B）
一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分）
1．无论取什么数，总有意义的分式是
A． B． C． D．
2．当为全体实数时，下列分式中一定有意义的是
A． B． C． D．
3．下列分式中是最简分式的是
A． B．
C． D．
4．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
5．已知，那么分式的值为
A． B． C． D．
6．已知分式，，其中，则与的关系是
A． B． C． D．
7．圣湖路全长为600米，路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改米，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
8．若，则使最近的正整数是
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如果，则的值为
A． B． C． D．
10．从-2，-1，0，3，4，5，7这七个数中，随机抽一个数记为a，使关于x的分式方程有整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A． B．3 C．6 D．11
二．填空题（共5小题，每题3分，满分15分）
11．定义运算“”为：，若，则 ．
12．如果，则实数 ， ．
13．若关于的方程无解，则的值为 ．
14．若数关于的不等式组恰有两个整数解，且使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
15．已知不取0和，，，，按此规律，请用含的代数式表示 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）化简：
（1） （2）．
（3） （4）．
17．（7分）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
18．（8分）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式” ；
（2）将假分式化为带分式；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
19．（8分）老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．
家住北京的小明他家附近新修了一段公路，他想给市政府写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米小时，走了约4分钟，由此估算这段路长约 千米．
然后小明查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小明计划从路的起点开始，每米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的扩大一倍，则路的每一侧都减少200棵树，请你求出的值．
20．（8分）某商店五月份销售型电脑的总利润为4320元，销售型电脑的总利润为3060元，且销售型电脑数量是销售型电脑的2倍，已知销售一台型电脑比销售一台型电脑多获利50元．
（1）求每台型电脑和型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
21．（8分）已知分式．
（1）化简这个分式；
（2）把分式化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式，问：当时，分式的值较原来分式的值是变大了还是变小了？试说明理由．
（3）若的值是整数，且也为整数，求出所有符合条件的值．
22．（8分）设
（1）化简；
（2）当时，记此时的值为（3）；当时，记此时的值为（4）；
解关于的不等式：（3）（4），并将解集在数轴上表示出来．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．无论取什么数，总有意义的分式是
A． B． C． D．
【解答】解：．，，，
．，，，
．，，为任意实数，
．，，；
故选：．
2．当为全体实数时，下列分式中一定有意义的是
A． B． C． D．
【解答】解：、当分母，即时，分式没有意义．
、当分母，即时，分式没有意义．
、分母，即当为全体实数时，分式一定有意义．
、当分母，即时，分式没有意义．
故选：．
3．下列分式中是最简分式的是
A． B．
C． D．
【解答】解：、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式为最简分式，符合题意；
、原式，不符合题意．
故选：．
4．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【解答】解：
，
出现错误是在乙和丁，
故选：．
5．已知，那么分式的值为
A． B． C． D．
【解答】解：给两边同时乘以，
得，
等式两边同时平方得，
，
给等式两边同时减去，
得，
所以．
故选：．
6．已知分式，，其中，则与的关系是
A． B． C． D．
【解答】解：，
和互为相反数，即．
故选：．
7．圣湖路全长为600米，路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改米，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：设原计划每天铺设米管道，则实际施工每天铺设米管道，
根据题意列得：．
故选：．
8．若，则使最近的正整数是
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
显然，．
故选：．
9．如果，则的值为
A． B． C． D．
【解答】解：，即，
，
则原式，
故选：．
10．从，，0，3，4，5，7这七个数中，随机抽一个数记为，使关于的分式方程有整数解，且使关于的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为
A． B．3 C．6 D．11
【解答】解：关于的分式方程有整数解，
，
在，，0，3，4，5，7这七个数中，
，4，5，7，
是分式方程的增根，
（舍去），
，4，5，
关于的不等式组至少有3个整数解，
至少有3个整数解，
，
，
综上所述，或，
所有符合条件的整数的和为3，
故选：．
二．填空题（共5小题）
11．定义运算“”为：，若，则 ．
【解答】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：
12．如果，则实数 1 ， ．
【解答】解：，
比较分子的系数，得，解得，．
13．若关于的方程无解，则的值为 或5或 ．
【解答】解：去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时，
当时，
则，
解得：或，
综上所述：或5或，
故答案为：或5或．
14．若数关于的不等式组恰有两个整数解，且使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是 5 ．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组恰有两个整数解，
，
解得，
解分式方程得，
由题意知，
解得且，
则满足，且且的所有整数有2、3，
所以所有满足条件的整数的值之和是，
故选：．
15．已知不取0和，，，，按此规律，请用含的代数式表示 ．
【解答】解：不取0和，
，
，
，
，
个一循环，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，共55分）
16．（8分）化简
（1）．
【解答】解：原式
．
（2）．
【解答】解：原式
．
（3）；
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（4）．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
17．（7分）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
【解答】解：原式
，
不等式组的解集为，
且由分式的意义可知且且，
，
则原式．
18．（8分）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
（1）分式是 真分式 （填“真分式”或“假分式” ；
（2）将假分式化为带分式；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
【解答】解：（1）由题意可得，
分式是真分式，
故答案为：真分式；
（2）；
（3）
，
是整数，
或，
解得，，2，3，，
，1，，2时，原分式无意义，
，
当时，原式，
即当时，该式的值为整数．
19．（8分）老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．
家住北京的小明他家附近新修了一段公路，他想给市政府写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米小时，走了约4分钟，由此估算这段路长约 4 千米．
然后小明查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小明计划从路的起点开始，每米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的扩大一倍，则路的每一侧都减少200棵树，请你求出的值．
【解答】解：这段路长约（千米）．
故答案为：4．
设每米种一棵树，则另一计划每米种一棵树，
依题意，得：，
解得：，
经检验：是所列分式方程的解，且符合题意．
答：的值为10．
20．（8分）某商店五月份销售型电脑的总利润为4320元，销售型电脑的总利润为3060元，且销售型电脑数量是销售型电脑的2倍，已知销售一台型电脑比销售一台型电脑多获利50元．
（1）求每台型电脑和型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每台型电脑的利润为元，则每台型电脑的利润为元，
根据题意得，
解得．
经检验，是原方程的解，
则．
答：每台型电脑的利润为120元，每台型电脑的利润为170元；
（2）设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，
据题意得，，
即，
，
解得，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，此时．
即商店购进34台型电脑和66台型电脑，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元．
21．（8分）已知分式．
（1）化简这个分式；
（2）把分式化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式，问：当时，分式的值较原来分式的值是变大了还是变小了？试说明理由．
（3）若的值是整数，且也为整数，求出所有符合条件的值．
【解答】解：（1）
．
（2），，
．，
，
．
答：分式的值较原来分式的值是变小了．
（3）是整数，也是整数，
时，；
时，；
时，；
时，；
时，．
答：所有符合条件的的值为0、3、4、6、．
22．（8分）设
（1）化简；
（2）当时，记此时的值为（3）；当时，记此时的值为（4）；
解关于的不等式：（3）（4），并将解集在数轴上表示出来．
【解答】解：（1）
（2）由（a）
（3）（4）
解得
原不等式的解集是
在数轴上表示：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
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一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各代数式，，，，中，分式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知分式的值为0，那么的值是
A． B．3 C．1 D．3或
3．若分式有意义，则满足的条件是
A． B． C． D．为任意实数
4．如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值
A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大9倍
5．下列约分正确的是
A． B．
C． D．
6．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是
A．与的最简公分母是
B．与最简公分母是
C．与的最简公分母是
D．与的最简公分母是
7．已知，字母、满足，
则的值为
A．1 B． C． D．
8．如果关于的分式方程有增根，那么的值为
A． B．2 C．4 D．
9．若，则分式的值为
A． B． C． D．
10．小亮的妈妈到超市购买大米，第一次按原价购买，用了100元，几天后，遇上这种大米按原价降低了出售，她用120元又购买了一些，两次一共购买了．设这种大米的原价是每千克元，则根据题意所列的方程是
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．已知，则的值为 ．
12．已知，那么 ．
13．若关于的分式方程有增根，则 ．
14．若关于的分式方程无解，则实数的值是 ．
15．已知关于的分式方程的的解为正数，则的取值范围为 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）化简：
（1） （2）．
（3） （4）．
17．（7分）已知．
（1）先化简，再从1、2、3、中选一个合适的数作为的值代入求值．
（2）若，求的值．
18．（8分）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式” ；
（2）将假分式化为带分式；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
19．（8分）某公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．
（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果该公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少个该品牌台灯？
20．（8分）某商店五月份销售型电脑的总利润为4320元，销售型电脑的总利润为3060元，且销售型电脑数量是销售型电脑的2倍，已知销售一台型电脑比销售一台型电脑多获利50元．
（1）求每台型电脑和型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
21．（8分）已知分式．
（1）化简这个分式；
（2）把分式化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式，问：当时，分式的值较原来分式的值是变大了还是变小了？试说明理由．
（3）若的值是整数，且也为整数，求出所有符合条件的值．
22．（8分）设．
（1）化简；
（2）当时，记此时的值为（1）；当时，记此时的值为（2）；解关于的不等式：（1）（2）（7），并将解集在数轴上表示出来．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各代数式，，，，中，分式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：代数式，是分式，共2个，
故选：．
2．（3分）已知分式的值为0，那么的值是
A． B．3 C．1 D．3或
【解答】解：分式的值为0，
，则，
解得：，
故选：．
3．（3分）若分式有意义，则满足的条件是
A． B． C． D．为任意实数
【解答】解：由题意得：，
解得：．
故选：．
4．（3分）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值
A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大9倍
【解答】解：，
即如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，
故选：．
5．（3分）下列约分正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：，故本选项错误；
，故本选项错误；
，故本选项错误；
，故本选项正确；
故选：．
6．（3分）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是
A．与的最简公分母是
B．与最简公分母是
C．与的最简公分母是
D．与的最简公分母是
【解答】解：、与的最简公分母是，此选项正确；
、与最简公分母是，此选项正确；
、与的最简公分母是或，此选项错误；
、与的最简公分母是，此选项正确；
故选：．
7．（3分）已知，字母、满足，则的值为
A．1 B． C． D．
【解答】解：，
，，
解得：，，
则原式．
故选：．
8．（3分）如果关于的分式方程有增根，那么的值为
A． B．2 C．4 D．
【解答】解：方程两边都乘，
得，
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，；
，
故选：．
9．（3分）若，则分式的值为
A． B． C． D．
【解答】解：原式
，
，
，
原式．
故选：．
10．（3分）小亮的妈妈到超市购买大米，第一次按原价购买，用了100元，几天后，遇上这种大米按原价降低了出售，她用120元又购买了一些，两次一共购买了．设这种大米的原价是每千克元，则根据题意所列的方程是
A． B．
C． D．
【解答】解：设这种大米的原价是每千克元，
根据题意，得，
故选：．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知，则的值为 15 ．
【解答】解：原式，
当，
原式
，
故答案为：15．
12．（3分）已知，那么 23 ．
【解答】解：，
，
则原式，
故答案为：23
13．（3分）若关于的分式方程有增根，则 3 ．
【解答】解：，
两边乘得到，，
，
分式方程有增根，
，即，
，
故答案为3．
14．（3分）若关于的分式方程无解，则实数的值是 1 ．
【解答】解：关于的分式方程两边同时乘以得：
，
，
，
，
原方程无解，
，
．
故答案为：1．
15．（3分）已知关于的分式方程的的解为正数，则的取值范围为 且 ．
【解答】解：去分母，得，
解得．
分式方程的解为正数，
且．
解得，且．
故答案为：且．
三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
16．（8分）化简
（1）．
【解答】解：原式
．
（2）．
【解答】解：原式
．
（3）；
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（4）．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
17．（7分）已知．
（1）先化简，再从1、2、3、中选一个合适的数作为的值代入求值．
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）
，
当，时原分式无意义，
或3，
当时，原式，
当时，原式；
（2）当时，
，
解得，．
18．（8分）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
（1）分式是 真分式 （填“真分式”或“假分式” ；
（2）将假分式化为带分式；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
【解答】解：（1）由题意可得，
分式是真分式，
故答案为：真分式；
（2）；
（3）
，
是整数，
或，
解得，，2，3，，
，1，，2时，原分式无意义，
，
当时，原式，
即当时，该式的值为整数．
19．（8分）某公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．
（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果该公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少个该品牌台灯？
【解答】解：（1）设购买该品牌一个手电筒需要元，则购买一个台灯需要元．
根据题意 得，
解得．
经检验，是原方程的解．
所以．
答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；
（2）设公司购买台灯的个数为，则需要购买手电筒的个数是，
由题意得，
解得．
答：该公司最多可购买21个该品牌的台灯．
20．（8分）某商店五月份销售型电脑的总利润为4320元，销售型电脑的总利润为3060元，且销售型电脑数量是销售型电脑的2倍，已知销售一台型电脑比销售一台型电脑多获利50元．
（1）求每台型电脑和型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每台型电脑的利润为元，则每台型电脑的利润为元，
根据题意得，
解得．
经检验，是原方程的解，
则．
答：每台型电脑的利润为120元，每台型电脑的利润为170元；
（2）设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，
据题意得，，
即，
，
解得，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，此时．
即商店购进34台型电脑和66台型电脑，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元．
21．（8分）已知分式．
（1）化简这个分式；
（2）把分式化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式，问：当时，分式的值较原来分式的值是变大了还是变小了？试说明理由．
（3）若的值是整数，且也为整数，求出所有符合条件的值．
【解答】解：（1）
．
（2），，
．，
，
．
答：分式的值较原来分式的值是变小了．
（3）是整数，也是整数，
时，；
时，；
时，；
时，；
时，．
答：所有符合条件的的值为0、3、4、6、．
22．（8分）设．
（1）化简；
（2）当时，记此时的值为（1）；当时，记此时的值为（2）；解关于的不等式：（1）（2）（7），并将解集在数轴上表示出来．
【解答】解：（1）
（2）由于
（1）（2）（7）
解得：
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