山东省临沂市郯城二中2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )．
A．1∶2∶3 B．1∶∶2 C．1∶4∶9 D．1∶∶
2．已知各项不为0的等差数列，满足，数列是等比数列，且（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3. “”是“直线与圆相切”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知是等差数列，，，则该数列前项和等于( )．
A．64 B．80 C．110 D．120
5.抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是（ ）
A.(1,0) B. C.(0,1) D.
6．给出两个命题：的充要条件是为正实数；奇函数的图象一定关于原点对称，则下列命题是假命题的是( )．
A． B． C．∧ D．∨
7．下列函数中，最小值为4的函数是( )
8．若集合A={ }，B＝{<0}，且，则实数的取值范围是( )
A．1<<2 　 B．1≤≤2 　C．1<<3 　　　　D．　1≤≤3
9．在△ABC中，若b＝，c＝3，∠B＝30°，则a＝( )．
A． B．2 C．或2 D．2
10．设F是抛物线C1： (p＞0) 的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：(a＞0，b＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )．
A．2 B． C． D．
11．设等差数列的前项和为,且>, <,则, ,．．．,中最大的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．则BD与平面ADMN所成的角θ为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最小值为_______________.
14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为_________．
11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为
16. 已知,若
则
2012—2013学年度上学期期末模块考试
高二数学试题 2013.02
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
题号
二
17
18
19
20
21
22
总分
得分
二．填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13 14
15 16
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－=0，
求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积.
18．（本小题满分12分）
已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求抛物线的方程.
19. （本小题满分12分）
制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.
某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
座号
20．（本小题满分12分）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；（Ⅲ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）已知等差数列的公差大于0，且是函数的两个零点，数列的前n项的和为，且．
（Ⅰ）?求数列，的通项公式；（Ⅱ） 记,求证：．

22．（本小题满分14分），已知圆经过椭圆
的右焦点F及上顶点B．过椭圆外一点作倾斜角为的直线交椭圆于C、D两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求的取值范围．
2012—2013学年度上学期期末模块考试
高二数学试题答案 2013.02
一选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
A
D
A
C
B
C
D
C
A
二．填空题
13、 3 14、 15、 16、 -1
三．解答题
17. 解答：解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=,
∵△ABC为锐角三角形
∴A+B=120°, C=60°…………………………4分
又∵a、b是方程x2－2x+2=0的两根，∴a+b=2,
a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,
∴c=, …………………………8分
S△ABC=absinC=×2×=…………………………12分
18.解：依题意可设抛物线方程为：（a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB；
则可设A（x1,y1）、B（x2,y2）联立 得…………………………4分
即 …………………………6分
得：a=12或-4（6分）…………………………10分
所以抛物线方程为或 …………………………12分
.
19.解：设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目. 则：

目标函数为：。…………………………4分
上述不等式表示的平面区域如图所示（含边界），阴影部分表示可行域. …………………………6分
作直线，并作平行于的一组直线，，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线距离最大，这里M点是直线和直线的交点.
解方程组：得，此时，（万元）. …………………………10分
答：投资人分别4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大…………………………12分
20． 解法一：（Ⅰ）∵ 平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则．…………2分
不妨令∵，
∴，
即．…………………………4分
（Ⅱ）设平面的法向量为，
由，得，令，解得：．
∴． ………………………………………………………6分
设点坐标为，，则，
要使∥平面，只需，即，
∴　数列是等比数列，
∴　………………………………………………… 8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知……………… 9分
∴　，即
∴　
故 ………………………12分
22. 解: （1）∵圆G：经过点F、B
∴F（2，0），B（0，），∴， ………………2分
∴ 故椭圆的方程为 ………………4分
（2）设直线的方程为

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )．
A．1∶2∶3 B．1∶∶2 C．1∶4∶9 D．1∶∶
2．已知各项不为0的等差数列，满足，数列是等比数列，且（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3. “”是“直线与圆相切”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知是等差数列，，，则该数列前项和等于( )．
A．64 B．80 C．110 D．120
5.抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是（ ）
A.(1,0) B. C.(0,1) D.
6．给出两个命题：的充要条件是为正实数；奇函数的图象一定关于原点对称，则下列命题是假命题的是( )．
A． B． C．∧ D．∨
7．下列函数中，最小值为4的函数是( )
8．若集合A={ }，B＝{<0}，且，则实数的取值范围是( )
A．1<<2 　 B．1≤≤2 　C．1<<3 　　　　D．　1≤≤3
9．在△ABC中，若b＝，c＝3，∠B＝30°，则a＝( )．
A． B．2 C．或2 D．2
10．设F是抛物线C1： (p＞0) 的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：(a＞0，b＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )．
A．2 B． C． D．
11．设等差数列的前项和为,且>, <,则, ,．．．,中最大的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．则BD与平面ADMN所成的角θ为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最小值为_______________.
14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为_________．
11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为
16. 已知,若
则
2012—2013学年度上学期期末模块考试
高二数学试题 2013.02
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
题号
二
17
18
19
20
21
22
总分
得分
二．填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13 14
15 16
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－=0，
求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积.
18．（本小题满分12分）
已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求抛物线的方程.
19. （本小题满分12分）
制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.
某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
座号
20．（本小题满分12分）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；（Ⅲ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）已知等差数列的公差大于0，且是函数的两个零点，数列的前n项的和为，且．
（Ⅰ）?求数列，的通项公式；（Ⅱ） 记,求证：．

22．（本小题满分14分），已知圆经过椭圆
的右焦点F及上顶点B．过椭圆外一点作倾斜角为的直线交椭圆于C、D两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求的取值范围．
2012—2013学年度上学期期末模块考试
高二数学试题答案 2013.02
一选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
A
D
A
C
B
C
D
C
A
二．填空题
13、 3 14、 15、 16、 -1
三．解答题
17. 解答：解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=,
∵△ABC为锐角三角形
∴A+B=120°, C=60°…………………………4分
又∵a、b是方程x2－2x+2=0的两根，∴a+b=2,
a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,
∴c=, …………………………8分
S△ABC=absinC=×2×=…………………………12分
18.解：依题意可设抛物线方程为：（a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB；
则可设A（x1,y1）、B（x2,y2）联立 得…………………………4分
即 …………………………6分
得：a=12或-4（6分）…………………………10分
所以抛物线方程为或 …………………………12分
.
19.解：设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目. 则：

目标函数为：。…………………………4分
上述不等式表示的平面区域如图所示（含边界），阴影部分表示可行域. …………………………6分
作直线，并作平行于的一组直线，，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线距离最大，这里M点是直线和直线的交点.
解方程组：得，此时，（万元）. …………………………10分
答：投资人分别4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大…………………………12分
20． 解法一：（Ⅰ）∵ 平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则．…………2分
不妨令∵，
∴，
即．…………………………4分
（Ⅱ）设平面的法向量为，
由，得，令，解得：．
∴． ………………………………………………………6分
设点坐标为，，则，
要使∥平面，只需，即，

∴　数列是等比数列，
∴　………………………………………………… 8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知……………… 9分
∴　，即
∴　
故 ………………………12分
22. 解: （1）∵圆G：经过点F、B
∴F（2，0），B（0，），∴， ………………2分
∴ 故椭圆的方程为 ………………4分
（2）设直线的方程为