沪科版八年级数学下册 19.2平行四边形（第2课时）教案

第19章 四边形
19.2 平行四边形
第2课时 两平行线间的距离
教学目标 1.让学生通过实例了解“平行线之间的距离”的概念. 2.使学生能够探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”. 教学重难点 重点: 平行线之间的距离. 难点：综合应用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题. 教学过程 新课引入 在笔直的铁轨上,夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流. 探究新知 【探究证明】(小组学习，老师指导) 已知：如图,直线a∥b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D.求证：AC＝BD. 【教师活动】（引导学生思考）结合图形要证线段相等，可以考虑证明四边形ACDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出结论. 【学生活动】先自主完成证明过程，再小组合作，交流这个题隐藏的结论. 证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD， ∴ ∠1＝∠2＝90°. ∴ AC∥BD. ∵ AB∥CD. ∴ 四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义). ∴ AC＝BD(平行四边形的对边相等). 【小组互助交流总结】 1.两条直线平行中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 2.两条平行线之间的距离处处相等. 几何语言： 如图，A，C是l1上任意两点， ∵ l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2， ∴ AB＝CD. 【拓展】 (1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等； (2)等底等高的三角形的面积相等. 例题讲解 【例1】已知:如图,□ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠B=45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离. 【解】过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E点F， ∴ 线段AE，AF的长分别为点A到直线BC和直线CD的距离. ∴ 线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离,线段AF的长为直线AB和直线CD之间的距离. ∵ 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，AB=4, ∴ ∠B=∠BAE，BE =AE. 又∵ , ∴ 2=16, ∴ AE=2, 同理，AF=. ∴ 直线AD和直线BC之间的距离为2,直线AB和直线CD之间的距离为. 【教师活动】分析问题，根据两条平行线之间的距离的定义，引导学生作出两直线间的距离. 【学生活动】先小组合作作出两直线之间的距离，再独立写出证明过程，最后小组交流做题过程. 【例2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O. (1)△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？ (2)若S△AOB＝21 cm2，求S△COD； (3)若S△AOD＝10 cm2，且BO∶OD＝2∶1，求S△ABD. 【教师活动】分析：(1)根据已知得出△ABC的边BC上的高和△DBC的边BC上的高相等，设此高为h，根据三角形的面积公式求出即可；(2)根据△ABC的面积和△DBC的面积相等，都减去△OBC的面积，即可得出△AOB的面积和△DOC的面积相等；(3)求出BD＝3OD，根据面积公式代入求出即可. 【学生活动】独立完成证明过程，总结本题中规律性的结论，并在小组内交流. 【解】 (1)△ABC与△DBC的面积相等.理由如下： ∵ AD∥BC， ∴ △ABC的边BC上的高和△DBC的边BC上的高相等，设此高为h， ∴ △ABC的面积是BC×h，△DBC的面积是BC×h， ∴ △ABC与△DBC的面积相等. (2)∵ S△ABC＝S△DBC， ∴ S△ABC-S△OBC＝S△DBC-S△OBC， ∴ S△COD＝S△AOB＝21 cm2. (3)∵ BO∶OD＝2∶1，∴ BD＝3OD. ∵ △AOD的边OD上的高和△ABD的边BD上的高相等，设此高为a， ∴ S△AOD＝OD×a＝10 cm 2， ∴ S△ABD＝BD×a＝×3OD×a＝3×10＝30(cm 2). 【总结】(学生总结，老师点评)本题考查了平行线间的距离和三角形的面积，注意等高的三角形的面积之比等于对应底边之比. 跟踪训练(小组学习，老师指导) 1.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，AD＝CE，DE，FG都垂直于l2，E，G分别为垂足，则下列选项中，一定成立的是(　　) A．AB＝CD B．CE＝FG C．BC＝EG D．S四边形ABCD＞S四边形DEGF 2.如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为(　　) A．2 B．4 C．5 D．10 3.如图，设点P是 ABCD的边AB上任意一点，设△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则(　　) A．S3＝S1＋S2 B．S3＞S1＋S2 C．S3＜S1＋S2 D．S3＝(S1＋S2) 答案：1.A 2.C 3.A 【例3】已知:如图,过△ABC的三个顶点,分别作对边的平行线,这三条直线两两相交,得△A′B′C′. 求证:△ABC的顶点分别是△A′B′C′三边的中点. 分析:如图,要证明点A是B′C′的中点,只要证明AB′=AC′. 【证明】∵ AB∥B′C,BC∥AB′, ∴ AB′＝BC. 同理，AC′＝BC. ∴ AB′＝AC′. 同理，BC′＝BA′,CA′＝CB′. ∴ △ABC的顶点分别是△A′B′C′三边的中点. 课堂练习 1.如图，a∥b，则直线a与直线b的距离是(　　) A.13 　　　 B.14 　　　 C.17 　　 D.25 2.已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4 cm，到直线b的距离是2 cm，那么直线a和直线b之间的距离为 . 3.如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，求两平行线AD与BC间的距离． 4.已知：如图，在 ABCD中，点E在BC的延长线上，且DE∥AC.请写出BE与BC之间的数量关系，并证明你的结论. 参考答案 1.A　 2.2 cm或6 cm 3.解：过点P作PM⊥AD于M， 延长MP交BC于N，如图所示． ∵ PM⊥AD，AD∥BC，∴ PN⊥BC. ∵ AP平分∠BAD，PE⊥AB，PM⊥AD，∴ PM＝PE＝2. ∵ BP平分∠ABC，PE⊥AB，PN⊥BC，∴ PN＝PE＝2. ∴ MN＝PM＋PN＝2＋2＝4. 4.解：BE＝2BC. 证明如下：∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AD＝BC，AD∥BC，即AD∥CE. ∵ DE∥AC， ∴ 四边形ADEC为平行四边形. ∴ AD＝CE.∴ CE＝BC. ∴ BE＝2BC. 课堂小结 1.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 2.平行线间的距离的性质：如果两条直线之间平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等. 即：平行线间的距离处处相等. 布置作业 教材第78页练习. 板书设计 第2课时 两平行线间的距离 1.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 2.平行线间的距离的性质：平行线间的距离处处相等. 几何语言：如图，A，C是l1上任意两点， ∵ l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2， ∴ AB＝CD. 拓展： (1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等； (2)等底等高的三角形的面积相等； (3)等高的三角形的面积之比等于对应底边之比.