河北省衡水中学2013届高三下学期寒假自主提升验收考试数学（文）试题

衡水中学2013届高三下学期寒假自主提升验收考试
数学（我）试题
选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1、已知，，，，则可以是（ ）
A． B． C． D．
2、 已知复数z＝，则|z|＝(　　)
A. B. C．1 D．2
3、如果函数的图象关于直线对称，那么a等于（ ）
A. B.－ C.1 D.－1
4、已知点是重心 ,若, 则的最小值是( )
A. B. C. D.
5、已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是（ ）
6、若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ）
A. B. C. D.或
7、数列满足，且对任意的都有：等于 ( )
A. B. C. D.
8、三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，
⊥底面，且，则此三棱锥外接球的半径为（ ）
A． B． C． D．
9、如右图,过抛物线焦点的直线依次交抛物线
与圆于点A、B、C、D，
则的值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
10、若实数满足，则称是函数的一个次不动点．设函数与函数（其中为自然对数的底数）的所有次不动点之和为，则（ ）
A． B．
C． D．
11、如右图，在直角坐标系中，是半圆：的 直径，是半圆上任一点，延长到点，使，当点从点运动到点时，动点的轨迹的长度是（ ）
A． B． C． D．
12、某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为则此人（ ）
A、不能作出这样的三角形. B.作出一个锐角三角形.
C.作出一个直角三角形. D.作出一个钝角三角形.
第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13、在算式“1×口＋4×口＝30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数的和为________．
14、某广场地面铺满了边长为的正六边形地砖.现在向上抛掷半径为的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是 .
15、阅读右侧程序框图，输出的结果的值为___ _____．
16、已知，
，
，。
根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ；
三.解答题（共6个小题，选做题10分，其余12分,共70分）
17、（本小题满分12分）
某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D．
(1)求AB的长度；
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．
18、（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，、分别是、的中点．
（1）判定与是否垂直，并说明理由。
（2）设，若为上的动点，若面积的最小值为，求四棱锥的体积。
19、（本小题满分12分）
某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀.统计成绩后，得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.
优秀 非优秀 合计
甲班 10
乙班 30
合计 110
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，
先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到9号或10号的概率.
参考公式与临界值表：.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
20、（本小题满分12分）
在中，两个定点，的垂心H（三角形三条高线的交点）是AB边上高线CD的中点。
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）斜率为2的直线交动点C的轨迹于P、Q两点，求面积的最大值（O是坐标原点）。
21、（本小题满分12分）
设函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极大值点；
（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；
（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。
22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，四边形是边长为的正方形，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，延长交于．
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系内，点 在曲线C：为参数，）上运动．以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求面积的
最大值．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
设函数,
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）若函数有最小值，求实数的取值范围.
高三文科寒假验收数学试题答案
①
在中，由余弦定理及整理得
②………4分
由①②得：
整理可得 ，……………6分
又为三角形的内角，所以,
又,,所以是等边三角形，
故，即A、B两点的距离为14.……………8分
（Ⅱ）小李的设计符合要求.理由如下：
因为 所以…………12分
18、 (1)------ ----------------------1分
因为四边形是菱形，，为等边三角形。
因为是的中点，-------------------2分
平面，---------3分
,且
-----------------------------5分
-------------------------------------------------------------6分
（2）由（1），，为直角三角形，----------7分
中，，
当最短时，即时，面积的最小---- -------8分
此时，．
又，所以， 所以． -------------------12分
19、解： ⑴………………………3分
优秀 非优秀 合计
甲班
乙班
合计
（2）假设成绩与班级无关，则
则查表得相关的概率为99％，故没达到可靠性要求。………………………8分
（3）设“抽到或号”为事件，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为.
所有的基本事件有:、、、、共个. ………………………10分
事件包含的基本事件有:、、、、、、共7个
所以,即抽到9号或号的概率为. ………………………12分
20、解：（1）设动点C（x,y）则D(x,0)。因为H是CD的中点，故
因为 所以 故
整理得动点C的轨迹方程 …………4分
（2）设并代入得
即…………6分
又原点O到直线l的距离为 …………8分
…………11分
当且仅当即时等号成立，故面积的最大值为。
21、 【解析】（1）当时，求出的导函数，令，列表研究其单调性和极值；
（2）只要求出的最大值小于即可，求出函数的导数，研究单调性可得到的最大值就是其极大值，解不等式得的取值范围；
（3）时，，，要研究的单调性，记，其中.，即在上为增函数.又，所以，对任意的，总有，
.。故不存在。
解：（Ⅰ）当时，，
令得到，列表如下：
所以的单调增区间为，单调减区间为 极大值点
（Ⅱ），，.
令，则.
当时，；当时，.
故为函数的唯一极大值点，
所以的最大值为=.
由题意有，解得.
所以的取值范围为.
（Ⅲ）当时，. 记，其中.
∵当时，，∴在上为增函数，
即在上为增函数.又，
所以，对任意的，总有.
所以，
又因为，所以.
故在区间上不存在使得成立的（）个正数….
22、试题分析：（1）证明：连结，则,
因为是的切线，且是圆的弦，
所以，即，
故，所以; ---5分
（2）连结，则由，得,
所以． ---10分
考点：本小题主要考查三角形全等及相似的证明和应用，考查了逻辑推理能力.
点评：这部分知识涉及到初中平面几何的知识，要注意灵活应用.
23、【解析】（Ⅰ）消去参数，得曲线C的标准方程：
由得：，
即直线的直角坐标方程为：
（Ⅱ）圆心到直线的距离为，
则圆上的点M到直线的最大距离为（其中为曲线C的半径），
．设M点的坐标为，
则过M且与直线垂直的直线方程为：，则联立方程，
解得，或，经检验舍去．
故当点M为时，面积的最大值为
24、试题分析：（Ⅰ）时，.
当时，可化为，解之得；
当时，可化为，解之得.
A
B
P
C
O
x
y