华师大版数学九年级上册同步课时练习：23.3.2 相似三角形的判定（word，含答案）

23.3.2　第1课时　相似三角形的判定定理1
知识点 1　两角分别相等的两个三角形相似
1.图中有两个三角形,角的度数已在图中标注,则这两个三角形 (　　)
A.相似 B.不相似
C.全等 D.无法判断
2.下列各组三角形中,一定相似的是 (　　)
A.两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.两个钝角三角形
D.两个直角三角形
3.[2019·赤峰] 如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB.若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图,AB与CD相交于点O,AC与BD不平行,则∠A=　　　　或∠C=　　　　时,△AOC∽△DOB.
5.如图,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.
求证:△EBF∽△FCG.
6.[教材例3变式] 如图,已知四边形ABCD为平行四边形,点E在BC的延长线上,AE与CD相交于点F.求证:△AFD∽△EAB.
7.如图,已知∠1=∠2,∠C=∠E,则△ABC和△ADE相似吗 请说明理由.
知识点 2　仅有一对角相等的两个三角形不一定相似
8.下列各组中的两个三角形,不一定相似的是 (　　)
A.有一个角为100°的两个等腰三角形
B.底角为40°的两个等腰三角形
C.有一个角为30°的两个直角三角形
D.有一个角为30°的两个等腰三角形
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,则图中与△ABC相似的三角形有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,∠B=∠DAC,AC=8,BC=16,那么CD的长是 (　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
11.如图,等边三角形ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=60°,则CD的长是 (　　)
A. B. C. D.
12.如图,P是Rt△ABC的斜边BC上异于点B,C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,则满足这样条件的直线有　　　　条.
13.如图,在△ABC中,∠ABC=80°,∠BAC=40°,AB的垂直平分线分别与AC,AB交于点D,E,连结BD.求证:△ABC∽△BDC.
14.如图,已知△ABC,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD∶DE=3∶5,AE=8,BD=4.
(1)求证:△ADC∽△BDE;
(2)求DC的长.
15.如图,在△PAB中,∠APB=120°,M,N是AB上的两点,且△PMN是等边三角形.求证:BM·PA=PN·BP.
16.如图,在△ABC中,∠A=50°,AB=AC,D是BC边上的动点,E,F分别是AB,AC边上的点.
(1)若BD=DE,且△BDE∽△CDF,求∠EDF的度数;
(2)若∠EDF=α,不改变α的值,以点D为旋转中心,把∠EDF按顺时针或逆时针方向适当转动后,△BDE和△CDF始终保持相似,求α的值.
　
第2课时　相似三角形的判定定理2,3
知识点 1　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1.如图,若=　　　　,则△AEF∽△ABC,理由是　.
　
2.如图,已知∠1=∠2,则添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是 (　　)
A.= B.= C.∠B=∠ADE D.∠C=∠E
3.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=12,BC=15,A'C'=8,则当B'C'=　　　　时,△ABC∽△A'B'C'.
4.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.若AE=2,AB=5,AD=4,AC=10,则△AED与△ABC相似吗 请说明理由.
5.[教材例4变式] 如图,AE与BD相交于点C,AB=4,BC=2,AC=3,DC=6,CE=4.
(1)△ABC与△DEC是否相似 为什么
(2)求DE的长.
知识点 2　三边成比例的两个三角形相似
6.已知AB=12 cm,AC=15 cm,BC=21 cm,A1B1=16 cm,B1C1=28 cm,当A1C1=　　　　 cm时,△ABC∽△A1B1C1.
7.有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为1,,,乙三角形木框的三边长分别为,,5,则甲、乙两个三角形 (　　)
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判断
8.图中的两个三角形是否相似 为什么
9.[2019·雅安] 如图和图,每个小正方形的边长均为1,则图中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是 (　　)
10.如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (　　)
11.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,下列条件中不能判定这两个三角形相似的是 (　　)
A.∠A=55°,∠D=35° B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8
C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8 D.AB=10,BC=6,DE=15,EF=9
12.如图,在△ABC中,D是边AC上一点,连结BD,给出下列条件:①∠ACB=∠ABD;②AB2=AD·AC;③AD·BC=AB·BD;④AB·BC=AC·BD.其中能够单独判定△ABC∽△ADB的是 (　　)
　
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
13.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E在边CB的延长线上,且∠EAC=90°,AE2=EB·EC.求证:四边形ABCD是矩形.
14.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,线段AG分别交线段DE,BC于点F,G,且=.
(1)求证:△ADF∽△ACG;
(2)若=,求的值.
15.如图,已知 AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D.
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,在BD上是否存在点P,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似 若存在,求出PB的长;若不存在,请说明理由.
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,在BD上存在多少个符合条件的点P,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似 求出PB的长.
答案
1.A　2.B　
3.C　 ∵∠ADE=∠ACB,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴=,即=,解得AE=3.故选C.
4.∠D　∠B
5.证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠BEF+∠BFE=90°.
∵∠EFG=90°,
∴∠BFE+∠CFG=90°,
∴∠BEF=∠CFG,
∴△EBF∽△FCG.
6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BE,∠D=∠B,
∴∠DAF=∠E,∴△AFD∽△EAB.
7.解:相似.理由:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE.
又∵∠C=∠E,∴△ABC∽△ADE.
8.D　 有一个角为30°的两个等腰三角形,若一个是顶角为30°,另一个是底角为30°,则两三角形不相似.故选D.
9.D
10.A　 ∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△DAC,
∴=,
∴AC2=CD·BC,即82=CD×16,
解得CD=4.故选A.
11.C　 ∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
∵∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP,且∠APD=60°,
∴∠BAP=∠CPD,
∴△ABP∽△PCD,
∴=.
∵AB=BC=3,BP=1,
∴PC=2,
∴=,
∴CD=.
12.3　 过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,则直线PD,PE,PF均满足条件.
13. 由线段垂直平分线的性质,得AD=BD,则∠ABD=∠BAC=40°,从而求得∠CBD=40°,即可证出△ABC∽△BDC.
证明:∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,∴∠ABD=∠BAC.
∵∠BAC=40°,∴∠ABD=40°.
∵∠ABC=80°,
∴∠DBC=40°,
∴∠DBC=∠BAC.
又∵∠C=∠C,
∴△ABC∽△BDC.
14.解:(1)证明:∵∠C=∠E,∠ADC=∠BDE,
∴△ADC∽△BDE.
(2)∵△ADC∽△BDE,
∴=.
∵AD∶DE=3∶5,AE=8,
∴AD=3,DE=5.
∵BD=4,∴=,
∴DC=.
15.证明:∵△PMN为等边三角形,
∴∠PMN=∠PNM=∠MPN=60°,
∴∠BMP=∠PNA=120°.
∵∠APB=120°,
∴∠BPM+∠APN=60°.
∵在△BMP中,∠BMP=120°,
∴∠B+∠BPM=60°,
∴∠B=∠APN,∴△BMP∽△PNA,
∴=,∴BM·PA=PN·BP.
16. (1)根据等腰三角形的性质可求出∠B,∠C的度数,结合BD=DE可求出∠BDE的度数,由△BDE∽△CDF可求出∠CDF的度数,再根据∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF即可求出∠EDF的度数;
(2)根据相似三角形的判定定理可得出,若∠BDE=∠CFD,则△BDE∽△CFD,根据三角形内角和定理结合∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°,即可求出α的值.
解:(1)∵∠A=50°,AB=AC,
∴∠B=∠C=×(180°-50°)=65°.
∵BD=DE,
∴∠B=∠BED=65°,
∴∠BDE=180°-∠B-∠BED=50°.
∵△BDE∽△CDF,∴∠CDF=∠BDE=50°,
∴∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=80°.
(2)由(1)可知∠B=∠C=65°.
若∠BDE=∠CFD,则△BDE∽△CFD.
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°,∠CDF+∠CFD+∠C=180°,
∴∠EDF=∠C=65°,∴α=65°.
答案
1.　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
2.A　 ∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE.
A项,添加=,无法判定△ABC∽△ADE,故本选项符合题意;
B项,添加=,可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意;
C项,添加∠B=∠ADE,可利用两角分别相等的两个三角形相似判定△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意;
D项,添加∠C=∠E,可利用两角分别相等的两个三角形相似判定△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意.
故选A.
3.10　 若△ABC∽△A'B'C',则=,即=,解得B'C'=10.
4.解:相似.理由:∵=,==,
∴=.
又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC.
5.解:(1)相似.
理由:∵==,==,
∴=.
又∵∠ACB=∠DCE,∴△ABC∽△DEC.
(2)∵△DEC∽△ABC,
∴===2,
∴DE=2AB=8.
6.20　7.A
8.解:相似.理由:∵===,
∴△ABC∽△DEF.
9.B　
10.C　 A项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;B项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;C项,两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项符合题意;D项,两三角形的两边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意.故选C.
11.C　 A项,∵∠A=55°,∴∠B=90°-55°=35°.∵∠D=35°,∴∠B=∠D.又∵∠C=∠F,∴△ABC∽△EDF;
B项,∵AC=9,BC=12,DF=6,EF=8,∴==.又∵∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF;
C项,虽有一组角相等和两边对应成比例,但该组角不是这两边的夹角,故不能判定两个三角形相似;
D项,∵在Rt△ABC中,AB=10,BC=6,
∴AC=8.∵在Rt△DEF中,DE=15,EF=9,
∴DF=12.∴==.
又∵∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF.
故选C.
12.A　 ①∵∠ACB=∠ABD,∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADB;
②∵AB2=AD·AC,
∴=.
又∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADB;
③∵AD·BC=AB·BD,∴=.
而∠A=∠A,不能判定△ABC与△ADB相似;
④∵AB·BC=AC·BD,∴=.
而∠A=∠A,不能判定△ABC与△ADB相似.
故选A.
13.证明:∵AE2=EB·EC,∴=.
又∵∠AEB=∠CEA,
∴△AEB∽△CEA,
∴∠EBA=∠EAC.
∵∠EAC=90°,
∴∠EBA=∠EAC=90°.
∵∠EBA+∠CBA=180°,
∴∠CBA=90°.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形.
14.解:(1)证明:在△ADE和△ACB中,
∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,
∴∠ADF=∠C.
∵=,∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG,∴=.
∵=,∴=,∴=1.
15.解:(1)存在.
设PB=x,则PD=10-x.
∵∠B=∠D,
∴当=时,△ABP∽△PDC,
即=,
整理得x2-10x+36=0,此方程没有实数根;
当=时,△ABP∽△CDP,
即=,解得x=,
即PB的长为.
(2)存在2个符合条件的点P.
设PB=y,则PD=12-y.
∵∠B=∠D,
∴当=时,△ABP∽△PDC,
即=,
整理得y2-12y+36=0,解得y1=y2=6;
当=时,△ABP∽△CDP,
即=,解得y=.
即PB的长为6或.