沪科版数学八年级下19.2平行四边形（第5课时中位线定理）课件(共26张PPT)

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第5课时三角形的中位线定理
沪科版数学八年级下
第19章 四边形
19.2 平行四边形
知识回顾
1、平行四边形判定方法
□ ABCD
(1) AB∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD，BC=AD
(4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D
(5) AO=OC, BO=OD
(3) AB∥CD,AB=CD
A
B
C
D
O
2、什么是平行线之间的距离？有什么性质
两条平行线间的距离处处相等
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:
AA1,BB1,CC1,DD1互相平行。
问题：若AB=BC=CD,你能猜想出什么结果呢？
新知探究
A
D
C
B
A1
D1
C1
B1
若AB=BC=CD A1B1=B1C1=C1D1
如图,已知直线a∥b∥c．直线l1，l2被直线a,b,c截得的线段分别为AB, BC和A1B1，B1C1，如果AB=BC，求证：A1B1= B1C1
a
b
c
新知探究
A
C
B
A1
C1
B1
∵四边形ABB1E,BCFB1都是平行四边形
∴ EB1=AB，B1F=BC.
∵AB=BC,
∴EB1=B1F.
又∵∠A1EB=∠C1B1F.
∴△A1B1E≌△C1B1F.
∴ A1B1=B1C1.
过点B1作EF//AC，分别交直线l1,l3于点E,F.
E
F
证明：
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
平行线等分线段定理：
例1：已知线段a，将其5等分
A
K
J
I
H
G
F
E
C
D
B
M
新知探究
A
B
C
D
E
推论：
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
DE有什么功能？
直线DE的位置如何描述？
DE经过AB中点且与BC平行
DE平分了AC即E是AC的中点
新知探究
新知探究
A
B
C
D
E
DE是△ ABC的
中位线
什么叫三角形的中位线 呢？
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
注意：中位线和中线的区别
F
端点不同！
线段DE、DF、EF是△ ABC的中位线
线段CD、AF、BE是△ ABC的中线
观察猜想
如图，DE是△ABC的中位线，
DE与BC有怎样的关系？
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？
新知探究
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半
过D作DE’∥BC，交AC于E’点
∵D为AB边上的中点
∵ E是AC的中点
∴DE’与DE重合，∴DE∥BC
同样过D作DF∥AC，交BC于F
∴BF=FC=BC (经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边)
∴四边形DECF是平行四边形
∴DE=FC
∴E’是AC的中点（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）
A
B
C
D
E
E’
F
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE ∥ BC，且DE=BC
证明：
∴ DE=BC
同一法
新知讲解
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
三角形中位线定理：
A
B
C
D
E
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且DE= BC
符号语言：
（ ∵AD=BD, AE=CE )
这个定理提供了证明线段平行以及
线段成倍分关系的根据.
新知讲解
新知延伸
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线。求证：DE ∥ BC，且DE= BC 。
证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.
A
B
C
D
E
F
1
2
∵DE=EF ∠1=∠2 AE=EC
∴△ADE ≌ △CFE（SAS）
∴AD=FC 、∠A=∠ECF
∴AB∥FC
又AD=DB
∴BD∥ CF且 BD =CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC
又∵DE=DF
即DE∥BC
∴DE= BC
三角形中位线定理证明方法赏析
三角形中位线定理证明方法赏析
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线。求证：DE ∥ BC，且DE= BC 。
C
E
D
F
B
A
过点C作AB的平行线交DE的延长线于F
∵CF∥AB，
∴∠A=∠ECF
又AE=EC，∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE （AAS）
∴ AD=FC，DE=EF
∵DB=AD，
∴DB =FC，DB ∥ FC
∴四边形BCFD是平行四边形
∴ DF= BC且 DF// BC
∴DE=EF=DF
∴DE// BC 且DE=BC
证明：
新知延伸
证明：
延长DE至F，使EF=DE，连接FC、DC、AF.
∵ AE=CE，
D
E
B
C
A
F
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DE∥BC 且DE=BC,
∴四边形ADCF是平行四边形
B
C
三角形中位线定理证明方法赏析
∴AD=CF 且AD∥CF
∴BD=CF 且BD∥CF
∴BC=DF 且DF∥BC
∵ DE=DF，
∴ DE=BC，
新知延伸
A
C
E
D
F
G
B
证明：如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G
∵AG∥BC∴∠EAG=∠ECF
又∵ AE=EC, ∠AEG=∠CEF
∴△AEG≌△CEF
∴AG=FC，GE=EF
∵AB∥GF，AG∥BF
∴四边形ABFG是平行四边形
∴BF=AG=FC，AB=GF
三角形中位线定理证明方法赏析
新知延伸
又D为AB中点，E为GF中点，
∴DB = EF且DB ∥ EF
∴四边形DBFE是平行四边形
∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC
即DE=BC
A
B
C
G
F
E
D
O
∴四边形DGFE是平行四边形
证明：
例1：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、 OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E. 求证：四边形DGFE是平行四边形.
例题讲解
∴DE∥BC 且DE=BC,
∴GF∥BC 且GF=BC,
∴GF∥DE 且GF=DE,
例2：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD ，E，F分别是AB，CD的中点，EF分别交BD，AC于点G , H。
求证：OG=OH
H
G
O
F
E
A
D
B
C
M
分析：
取BC的中点M,构造出中位线，利用 AC=BD得等腰三角形MEF,再利用平行线性质得出三角形OGH是等腰三角形
例题讲解
有中点时常用辅助线性：构造中位线
例3：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD ，E，F分别是AB，CD的中点，EF分别交BD，AC于点G , H。求证：OG=OH
H
G
O
F
E
A
D
B
C
M
证明：
取BC的中点M，并连结ME、MF
∵E，F分别是AB，CD的中点
∴ME=AC,MF=BD
∵AC=BD
∴ME=MF
∴∠MEF=∠MFE
ME∥AC,MF∥BD
∵ME∥AC,MF∥BD
∴∠MEF=∠OHG,
∠MFE=∠OGH
∴∠OHG =∠OGH
∴OG=OH
例题讲解
A
B
C
测出MN的长，就可知A、B两点的距离
M
N
分别找出AC和BC的中点M、N.
若MN=36 m，AB=2MN=72 m
例3 . 如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连
接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？
新知应用
变式练习：如图，为了测量一口池塘的长度AB，在池塘外取两点C、D，使点C在BA的延长线上，从D可直接到达B、C，再取CD和BD的中点E、F，量得EF=18米，CA=4米，求AB的长．
解：在△BCD中，∵E、F分别是CD、BD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，∴BC=2EF=36（米），
∴AB=BC-AC = 46-4 = 42（米）．
A
B
C
D
E
F
1．如图,在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，且DE=6 cm，则BC=____________.
12cm
A
B
C
D
E
C
D
B
A
O
E
2、如图，□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E是CD的中点，若BC=10cm，则OE= cm
5
新知练习
3、如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A． 8 B． 10 C． 12 D． 14
A
B
C
D
E
C
4．如图，△ABC中，D、F是AB的三等分点，E、G是AC的三等分点，如果DE=2cm，那么BC=（ ）
A．4cm B．5cm
C．6cm D．8cm
A
B
C
D
E
F
G
C
新知练习
1、已知: 如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点。
求证：四边形EFGH为平行四边形。
证明：连接AC
∵ E、F是AB、BC边中点
∴EF∥AC且EF＝ AC
同理：HG ∥ AC且HG ＝ AC
∴EF ∥ HG且EF ＝ HG
∴四边形EFGH为平行四边形。
E
F
G
H
A
B
C
D
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
结论：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形
提升练习
2、已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形
F
G
H
A
B
C
D
E
提升练习
变式
证明：连接AD
∵ E、F是AC、CD边中点
∴EF∥AD且EF＝ AD
同理：HG ∥ AD且HG ＝ AD
∴EF ∥ HG且EF ＝ HG
∴四边形EFGH为平行四边形。
3、如图，△ABC中，D是AB上一点，且 AD=AC ， AE⊥CD于E，F是CB的中点。求证：BD=2EF
A
C
B
F
E
D
证明：
提升练习
∵AD=AC ， AE⊥CD
∴DE=EC
∵F是CB的中点
∴2EF=BD(三角形中位线定理)
4、如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠ B AC的平分线 ， BD⊥AD于D，AB=12，AC=18. 求DM的长.
A
B
C
M
D
12
18
N
6
3
变式
提升练习
证明：
延长BD交AC于N
∵AD是∠ B AC的平分线
∴∠BAD=∠DAN
∵BD⊥AD
∴∠BDA=∠AND=90°
∴△BDA≌△NDA (ASA)
∵AD=AD
∴BD=ND，AB=AN=12
∵M是BC的中点
∴MD=NC=
1.三角形的中位线定义.
2.三角形的中位线定理.
3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线.
4.线段的倍分要转化为相等问题来解决.
5.三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等.)
课堂小结
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半