湘教版数学八年级上册2.2　命题与证明同步课时练习（word解析版）

2.2　第1课时　定义与命题　　　　　　
知识点 1　定义
1.下列语句中,属于定义的是 (　　)
A.直线AB和CD垂直吗
B.过线段AB的中点C画AB的垂线
C.分母中含有未知数的方程叫作分式方程
D.同旁内角互补,两直线平行
2.叙述下列概念的定义:
(1)角的平分线;(2)分式.
知识点 2　命题
3.[2020·雅安] 下列四个选项中不是命题的是(　　)
A.对顶角相等
B.过直线外一点作已知直线的平行线
C.三角形任意两边之和大于第三边
D.如图果a=b,a=c,那么b=c
4.命题“两条直线相交只有一个交点”的条件是(　　)
A.两条直线 B.相交
C.只有一个交点 D.两条直线相交
5.命题:“如图果m是整数,那么它是有理数”,则它的逆命题为　　　　　　　　　　.
6.判断下列语句是不是命题.如图果是,请写出它的条件和结论.
(1)同角的余角相等;
(2)对顶角相等;
(3)画一个60°的角.
7.写出下列命题的逆命题:
(1)对顶角相等;
(2)同位角相等,两直线平行;
(3)若a=b,则|a|=|b|;
(4)若x=0,则x2-2x=0.
8.下列语句中错误的有 (　　)
①正数和负数统称为有理数;②整数和分数统称为有理数;③求n个相同因数的积的运算叫作乘方;④三角形中一个角的平分线叫作三角形的角平分线.
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
9.已知命题“等底同高的两个三角形面积相等”,这个命题的条件是　　　　　　　　 　　,
结论是　　　　　　　　　　　　.
10.把下列命题改写成“如图果……,那么……”的形式,并写出它的逆命题.
(1)两个钝角的和一定大于180°;
(2)三角形的内角和等于180°.
11.现定义运算法则:对于任意非零数a,b,a※b=,试根据此运算法则求2※(-3)的值.
　　　　　
第2课时　真命题、假命题与定理　　　　　　
知识点 1　真命题与假命题
1.下列命题中是假命题的是 (　　)
A.等角的补角相等 B.内错角相等
C.两点之间线段最短 D.两点确定一条直线
2.下列命题是真命题的是 (　　)
A.如图果a+b=0,那么a=b=0
B.有公共顶点的两个角是对顶角
C.两直线平行,同旁内角互补
D.相等的角都是对顶角
知识点 2　反例
3.对于命题“如图果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是 (　　)
A.∠1=50°,∠2=40° B.∠1=50°,∠2=50°
C.∠1=∠2=45° D.∠1=40°,∠2=40°
4.[2020·宜昌] 能说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是 (　　)
知识点 3　基本事实与定理
5.“两点之间线段最短”是 (　　)
A.基本事实 　　B.定理 　C.定义 D.假命题
6.下列说法中正确的是 (　　)
A.所有定理都有逆命题
B.所有定理的逆命题都是真命题
C.所有定理都有逆定理
D.定理也是基本事实
7.下列命题的逆命题是假命题的是 (　　)
A.两直线平行,同位角相等
B.直角三角形两锐角互余
C.所有的直角都相等
D.内错角相等,两直线平行
8.举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题,错误的是 (　　)
A.设这个角是45°,它的余角是45°,但45°=45°
B.设这个角是30°,它的余角是60°,但30°<60°
C.设这个角是60°,它的余角是30°,但30°<60°
D.设这个角是50°,它的余角是40°,但40°<50°
9.已知命题“若a>b,则a2>b2”.
(1)此命题是真命题还是假命题 若是假命题,请举出一个反例.
(2)写出此命题的逆命题,并判断其真假;若是假命题,请举出一个反例.
10.下面的定理有逆定理吗 如图果有,请把它写出来.
两条直线被第三条直线所截,如图果这两条直线互相平行,那么同旁内角互补.
11.已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别平行,即BA∥ED,BC∥EF.
(1)如图①,若∠B=40°,求∠E的度数;
(2)如图图②,猜想∠B与∠E有怎样的数量关系,并说明理由;
(3)如图图③,猜想∠B与∠E有怎样的数量关系,并说明理由;
(4)根据以上情况,请归纳概括出一个真命题.
　　　　
第3课时　命题的证明
知识点 1　命题的证明
1.如图,下列条件中能证明AD∥BC的是 (　　)
A.∠A=∠C B.∠B=∠D
C.∠B=∠C D.∠A+∠B=180°
2.如图所示,下列推理中不正确的是 (　　)
A.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠C=180° B.∵∠1=∠2,∴AD∥BC
C.∵AD∥BC,∴∠3=∠4 D.∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥CD
3.完成下面的证明过程:
已知:如图所示,直线EF分别交直线AB,CD于点G,H,∠EGA=∠FHD.
求证:AB∥CD.
证明:∵∠EGA=∠FHD(已知),
∠FHD=∠GHC(　　　　　　　),
∴∠EGA=∠　　　　(等量代换),
∴AB∥CD(　　　　　　　　　　　).
4.已知:如图所示,BE∥CF,BE,CF分别平分∠ABC,∠BCD.求证:AB∥CD.
知识点 2　反证法
5.用反证法证明命题:在同一平面内,直线CD,EF不重合,如图果AB⊥CD,AB⊥EF,那么CD∥EF.证明的第一个步骤是 (　　)
A.假设CD∥EF
B.假设AB∥EF
C.假设CD和EF不平行
D.假设AB和EF不平行
6.我们用反证法证明命题“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”时,应先假设
　　　　　　　　　　　　.
7.用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如图果同旁内角不互补,那么这两条直线不平行.
已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2≠180°.
求证:l1与l2不平行.
证明:假设　　　　,
则∠1+∠2　　　　180°(两直线平行,同旁内角互补),
这与　　　　　　　矛盾,故　　　　不成立.
所以　　　　　　　.
8.已知在同一平面内有三条直线a,b,c,且a∥b,c和a相交.求证:c与b也相交.
9.如图所示,已知AB∥DC,∠A=∠C.
求证:∠B=∠D.
10.判断下列命题是真命题还是假命题.如图果是假命题,请举一个反例;如图果是真命题,请证明.
(1)两个锐角的和是锐角;
(2)若n是自然数,则代数式(3n+1)(3n+2)+1的值是3的整数倍.
11.求证:三角形中不能有两个钝角.
已知:　　　　　　　　.
求证:　　　　　　　　.
证明:
12.如图,已知EF∥CD,∠1=∠2.
求证:CD平分∠ACB.
13.探究问题:已知∠ABC,画一个角∠DEF,使DE∥AB,EF∥BC,且DE交BC于点P,探究∠ABC与∠DEF的数量关系.
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系:如图①②所示.
①图①中∠ABC与∠DEF的数量关系为　　　　,图②中∠ABC与∠DEF的数量关系为
　　　　, 请选择其中一种情况说明理由;
②由①得出一个真命题(用文字叙述): 　 .
(2)应用(1)②中的真命题,解决以下问题:
若两个角的两边互相平行,且一个角比另一个角的2倍少30°,求这两个角的度数.
14.如图所示,已知直线AB∥CD.
求证:∠AEC=∠A+∠C.
答案
1.C　 A项不是定义,这是一个疑问句;B项不是定义,这是一个作法;C项是定义,这是分式方程的定义;D项不是定义.故选C.
2.解:(1)以一个角的顶点为端点的一条射线,如图果把这个角分成两个相等的角,那么这条射线叫作这个角的平分线.
(2)一个整式f除以一个非零整式g(g中含有字母),所得的商记作,把代数式叫作分式.
3.B
4.D
5.如图果m是有理数,那么它是整数
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.
6.解:(1)是命题.条件:两个角是同一个角的余角.结论:这两个角相等.
(2)是命题.条件:两个角是对顶角.结论:这两个角相等.
(3)不是命题.
7.解:(1)相等的角是对顶角.
(2)两直线平行,同位角相等.
(3)若|a|=|b|,则a=b.
(4)若x2-2x=0,则x=0.
8.B　 错误的是①④.
9.两个三角形等底同高　这两个三角形的面积相等
10.解:(1)如图果两个角是钝角,那么这两个角的和一定大于180°.
逆命题:如图果两个角的和大于180°,那么这两个角一定是钝角.
(2)如图果三个角是同一个三角形的内角,那么这三个内角的和等于 180°.
逆命题:如图果一个多边形的内角和等于 180°,那么这个多边形是三角形.
11.解:原式==.
答案
1.B　 A项正确,根据等式的性质可以证明;B项错误,两直线平行,内错角相等;C项正确,属于基本事实;D项正确,符合确定直线的条件.故选B.
2.C　 选项A,如图果a+b=0,那么a,b互为相反数,不一定a=b=0,故错误,是假命题;选项B,有公共顶点的两个角不一定是对顶角,故错误,是假命题;选项C,两直线平行,同旁内角互补,正确,是真命题;选项D,相等的角不一定是对顶角,故错误,是假命题.故选C.
3.C　 A项,满足条件∠1+∠2=90°,也满足结论∠1≠∠2,故错误;B项,不满足条件,故错误;C项,满足条件,不满足结论,故正确;D项,不满足条件,也不满足结论,故错误.故选C.
4.C　5.A　6.A 7.C 8.B　
9.解:(1)假命题.
反例:当a=2,b=-3时,有a>b,但a2(2)逆命题:若a2>b2,则a>b.为假命题.
反例:当a=-2,b=-1时,有a2>b2,但a10.解:有逆定理.它的逆定理:两条直线被第三条直线所截,如图果同旁内角互补,那么这两条直线互相平行.
11.解:(1)因为BA∥ED,BC∥EF,
所以∠B=∠DGC,∠DGC=∠E,
所以∠E=∠B=40°.
(2)∠B=∠E.
理由:因为BA∥ED,BC∥EF,
所以∠B=∠EGC,∠EGC=∠E,
所以∠B=∠E.
(3)∠B+∠E=180°.
理由:因为BA∥ED,BC∥EF,
所以∠B=∠DGC,∠BGE+∠E=180°.
又因为∠DGC=∠BGE,
所以∠B+∠E=180°.
(4)通过上面(1)(2)(3)可得到结论:如图果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.
答案
1.D　2.C
3.对顶角相等　GHC　同位角相等,两直线平行
4.证明:∵BE∥CF,∴∠CBE=∠BCF.
∵BE,CF分别平分∠ABC,∠BCD,
∴∠ABC=2∠CBE,∠BCD=2∠BCF,
∴∠ABC=∠BCD,
∴AB∥CD.
5.C
6.在一个三角形中,三个内角都大于60°
根据反证法的步骤,第一步应假设结论的反面成立,即在一个三角形中,三个内角都大于60°.
7.l1∥l2　=　∠1+∠2≠180°　假设　l1与l2不平行
8.证明:假设c∥b.
∵a∥b,
∴c∥a,这与c和a相交矛盾,
∴假设不成立,∴c与b也相交.
9.证明:∵AB∥DC(已知),
∴∠B+∠C=180°,∠A+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵∠A=∠C(已知),
∴∠B=∠D(等角的补角相等).
10.解:(1)假命题.
反例:两个锐角分别为40°与60°,和为100°,为钝角.
(2)真命题.
证明:(3n+1)(3n+2)+1
=9n2+6n+3n+2+1
=9n2+9n+3
=3(3n2+3n+1).
又∵n为自然数,∴3n2+3n+1是整数,
∴代数式(3n+1)(3n+2)+1的值为3的整数倍.
11.解:已知:△ABC.
求证:△ABC中不能有两个钝角.
证明:假设△ABC中有两个钝角,不妨设∠A<90°,∠B>90°,∠C>90°,
∴∠A+∠B+∠C>180°,这与“三角形的内角和等于180°”矛盾,
∴假设不成立,因此原命题正确,即三角形中不能有两个钝角.
12.证明:∵EF∥CD(已知),
∴∠1=∠BCD(两直线平行,同位角相等),
∠2=∠ACD(两直线平行,内错角相等).
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠BCD=∠ACD(等量代换),
∴CD平分∠ACB(角平分线的定义).
13.解:(1)①∠ABC+∠DEF=180°　
∠ABC=∠DEF
理由:题图①中,
∵BC∥EF,∴∠DPB=∠DEF.
∵AB∥DE,
∴∠ABC+∠DPB=180°,
∴∠ABC+∠DEF=180°.
题图②中,∵BC∥EF,
∴∠DPC=∠DEF.
∵AB∥DE,
∴∠ABC=∠DPC,
∴∠ABC=∠DEF.
②如图果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补
(2)设这两个角的度数分别为x和2x-30°.
由题意,得x=2x-30°或x+2x-30°=180°,
解得x=30°或x=70°.
当x=30°时,2x-30°=30°;
当x=70°时,2x-30°=110°.
∴这两个角的度数为30°,30°或70°,110°.
14.证明:如图图,过点E作
EF∥AB.
∵EF∥AB,
∴∠A=∠AEF(两直线平行,内错角相等).
∵AB∥CD,EF∥AB,
∴EF∥CD,
∴∠C=∠CEF(两直线平行,内错角相等).
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF,
∴∠AEC=∠A+∠C.