湘教版数学八年级上册2.1　三角形同步课时练习（word版含答案）

2.1　第1课时　三角形的有关概念及三边关系　　　　 　　　　　 　　　　　　
知识点 1　三角形的有关概念
1.三角形是 (　　)
A.连接任意三点组成的图形
B.不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形
C.由三条线段组成的图形
D.以上说法均不对
2.如图,在△ABC中,∠A的对边是　　　;在△ABD中,∠A的对边是　　　;在△BCD中,边BC的对角是　　　　.
3.如图所示.
(1)图中共有多少个三角形 把它们写出来;
(2)线段AE是哪些三角形的边
(3)∠B是哪些三角形的角
(4)∠B所对的边有哪些
知识点 2　三角形的三边关系
4.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是(　　)
A.2 cm,3 cm,4 cm B.1 cm,2 cm,3 cm
C.3 cm,4 cm,5 cm D.4 cm,5 cm,6 cm
5.[2020·徐州] 若一个三角形的两边长分别为3 cm,6 cm,则它的第三边的长可能是 (　　)
A.2 cm B.3 cm C.6 cm D.9 cm
6.已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是 (　　)
A.1 B.2 C.8 D.11
7.如图,为估计池塘两岸A,B间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=
16 m,PB=12 m,则A,B间的距离不可能是 (　　)
A.5 m B.15 m C.20 m D.28 m
8.有长度分别为3 cm,6 cm,8 cm,9 cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
9.若△ABC的边AB,BC的长是方程组的解,设边AC的长为m,则m的取值范围是
　　　　.
10.判断下列各组线段能否组成三角形.
(1)a=6 cm,b=5 cm,c=12 cm;
(2)a=3 cm,b=2 cm,c=5 cm;
(3)a=1 cm,b=6 cm,c=6 cm.
11.若一个三角形的三边长分别为3,2a-1,6,则整数a的值可能是 (　　)
A.2,3 B.3,4 C.2,3,4 D.3,4,5
12.如图,观察图形,可知第n个图形中三角形的个数是 (　　)
A.2n+2 B.4n+4 C.4n D.4n-4
13.一个等腰三角形的周长为25 cm,一边长为5 cm,则另两边的长分别为　　　　　　　.
14.△ABC三边的长a,b,c均为整数,a>b>c,a=8,则满足条件的三角形共有　　　　个.
15.已知等腰三角形的周长是16 cm.
(1)若其中一边长为4 cm,求另外两边的长;
(2)若其中一边长为6 cm,求另外两边的长.
16.小颖要制作一个三角形木架,现有两根长度分别为8 cm和5 cm的木棒.如图果要求第三根木棒的长度是整数,那么小颖有几种选法 第三根木棒的长度可以是多少
17.△ABC的三边长分别为a,b,c,化简|a|.
18.如图所示,已知P是△ABC内一点,试说明:PA+PB+PC>(AB+BC+AC).
19.在平面内,分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接(火柴长度均相同),能搭成什么形状的三角形呢 通过尝试,列表如图下:
火柴数 3 5 6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
(1)4根火柴能搭成三角形吗
(2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形 画出它们的示意图.
　　　　
第2课时　三角形的高、角平分线和中线　　　　 　　　　　　
知识点 1　三角形的高
1.如图,过△ABC的顶点A作边BC上的高,以下作法中正确的是 (　　)
2.如图果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 (　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.都有可能
3.如图,在△ABC中,∠ACB>90°,AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为D,E,F,则△ABC的AC边上的高是 (　　)
A.CF B.BE C.AD D.CD
知识点 2　三角形的角平分线
4.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论中正确的有 (　　)
①AD是△ABC的角平分线;②CE是△ACD的角平分线;③∠2=∠4;④∠3=∠ACB;⑤CE是△ABC的角平分线.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
5.如图所示,AD为△ABC的角平分线,DE∥AB交AC于点E.若∠BAC=100°,则
∠ADE=　　　　°.
6.如图,AD是△ABC的角平分线.DE∥AC,DF∥AB,图中∠1　　　　∠2.(填“>”“<”或“=”)
知识点 3　三角形的中线和重心
7.三角形一边上的中线把原三角形分成两个 (　　)
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
8.三角形的重心是 (　　)
A.三条角平分线的交点 B.三条高的交点
C.三条中线的交点 D.以上皆不正确
9.如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线.若AB=5 cm,AC=3 cm,则△ABD的周长比△ACD的周长大 (　　)
A.5 cm B.3 cm C.8 cm D.2 cm
10.如图,AD是△ABC的BC边上的中线,E,F分别是AD,BE的中点,若△BFD的面积为6,则△ABC的面积等于 (　　)
A.18 B.24 C.48 D.36
11.已知:如图所示,△ABC的周长为21 cm,AB=6 cm,BC边上的中线AD=5 cm,△ABD的周长为15 cm,求AC的长.
12.下列说法中错误的是 (　　)
A.三角形的三条角平分线都在三角形的内部
B.三角形的三条中线都在三角形的内部
C.三角形的三条高都在三角形的内部
D.三角形的三条高至少有一条在三角形的内部
13.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中错误的是 (　　)
A.AD 是△ABC的角平分线 B.CE是△ACD的角平分线
C.∠3=∠ACD D.CE是△ABC的角平分线
14.如图所示,在△ABC中,已知D,E,F分别是BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4,则S△BEF为(　　)
A.2 B.1 C. D.
15.[教材练习第2题变式] 如图,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高,填空:
(1)BE=　　　　=　　　　;
(2)∠BAD=　　　　=　　　　;
(3)∠AFB=　　　　=　　　　°;
(4)S△AEC=　　　　=　　　　.
16.如图,AD是△ABC的中线,BE为△ABD的中线.若△ABC的面积为24 cm2,BC=8 cm,则点E到BC边的距离为　　　　cm.
17.[教材练习第1题变式] 对下面的每个三角形,画出过顶点A的中线和高.
18.已知△ABC的周长为11,AB=4,CM是△ABC的中线,△BCM的周长比△ACM的周长大3,求BC和AC的长.
19.[2019·岳阳期末] 如图,在△ABC中,AC>AB,AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长.
　　　　
第3课时　三角形的内角和定理　　　　　　
知识点 1　三角形的内角和
1.已知:如图,△ABC是任意一个三角形.
求证:∠BAC+∠B+∠C=180°.
解:如图图,过点A作DE∥　　　,
∴∠B=　　　,∠C=　　　(　　　　　　　　　　　).
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°(　　　　　　　　),
∴∠BAC+∠B+∠C=　　　　(　　　　　).
于是可以得到三角形三个内角的和等于　　　　.
2.在△ABC中,若∠A=95°,∠B=40°,则∠C的度数为 (　　)
A.35° B.40° C.45° D.50°
3.如图所示,l1∥l2,∠1=40°,∠2=75°,则∠3的度数为 (　　)
A.55° 　　　　B.60° C.65° 　　　　D.70°
4.已知:在△ABC中,∠A比∠B大25°,∠C的2倍比∠A大60°,求∠A,∠B,∠C的度数.
5.[教材练习第2题变式] 如图所示,在△ABC中,AE平分∠BAC交BC于点E,且∠B=52°,∠C=78°,求∠AEB的度数.
知识点 2　三角形按角分类
6.在△ABC中,若∠A=20°,∠B=60°,则△ABC的形状是 (　　)
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
7.若一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7,则这个三角形一定是 (　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
8.在下列横线上分别填上“锐角”“直角”或“钝角”.
(1)在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,则△ABC是　　　　三角形;
(2)在△ABC中,若∠A+∠B=20°,则△ABC是　　　　三角形;
(3)在△ABC中,若∠A=40°,∠B=∠C,则△ABC是　　　　三角形.
9.3是两块破损的三角形模板,每块模板均知道两个内角的度数,则第一块模板是　　　　三角形,第二块模板是　　　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
知识点 3　三角形的外角
10.如图所示,已知∠A=33°,∠B=75°,点C在直线AD上,则∠BCD的度数为 (　　)
A.147° B.108° C.105° D.以上选项都不对
11.如图所示,∠1=100°,∠C=70°,则∠A的度数为 (　　)
A.10° B.20° C.30° D.80°
12.如图所示,已知AB∥CD,∠C=25°,∠E=30°,则∠A=　　　　°.
13.三角形的所有外角(每个顶点处只取一个外角)中,锐角最多有 (　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
14.如图,已知BE,CF分别为△ABC的两条高,BE和CF相交于点H.若∠BAC=50°,则
∠BHC为 (　　)
A.160° B.150° C.140° D.130°
15.已知△ABC的一个内角是40°,且∠A=∠B,则∠C的外角的度数是 (　　)
A.140° B.80°或100° C.110°或140° D.80°或140°
16.(1)如图①,∠A=70°,∠D=40°,∠C=60°,则∠B=　　　　°;
(2)如图图②,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=　　　　°.
　　　　　　　　　9
17.将一副三角板如图放置,使两直角重合,则∠1=　　　　°.
18.如图,在△ABC中,∠1=∠A,∠2=∠C,∠ABC=∠C,求∠ADB的度数.
19.已知:如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上移动(不与点O重合),AC平分∠MAB,AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D.
(1)当∠ABO=70°时,∠D的度数是多少
(2)随着点A,B的移动,∠D的大小是否发生变化 请说明理由.
20.如图①,在△ABC中,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.
(1)填写下面的表格:
∠A的度数 50° 60° 70°
∠BOC的度数
(2)试猜想∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系,并说明理由;
(3)如图图②,△ABC的高BE,CD相交于点O,试说明图中∠A与∠BOD的大小关系.
　　　　
答案
1.B
2.BC　BD　∠BDC
3.解:(1)图中共有6个三角形,它们是△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC.
(2)线段AE是△ABE,△ADE,△AEC的边.
(3)∠B是△ABD,△ABE,△ABC的角.
(4)∠B所对的边有AD,AE,AC.
4.B　 2+3>4,能构成三角形,A不合题意;
1+2=3,不能构成三角形,B符合题意;
3+4>5,能构成三角形,C不合题意;
4+5>6,能构成三角形,D不合题意.
故选B.
5.C　 设第三边的长为x cm,根据三角形的三边关系,得6-3即3故选C.
6.C
7.D　 因为PA+PB=16+12=28(m),由“三角形的任意两边之和大于第三边”可知AB不可能是28 m.
8.C
9.310.解:(1)因为6+5<12,所以不能组成三角形.
(2)因为3+2=5,所以不能组成三角形.
(3)因为1+6>6,所以能组成三角形.
11.B　12.C
13.10 cm,10 cm　 当5 cm为腰长时,另两边的长分别为5 cm和15 cm.
因为5+5<15,
所以长度分别为5 cm,5 cm,15 cm的三条线段不能构成三角形,此种情况不合题意.
当5 cm为底边长时,另两边的长分别为10 cm和10 cm.
因为5+10>10,
所以长度分别为5 cm,10 cm,10 cm的三条线段能构成三角形,
所以另两边的长分别为10 cm,10 cm.
14.9　 根据已知条件和三角形的三边关系,得
当a=8,b=7时,c=6或5或4或3或2;
当a=8,b=6时,c=5或4或3;
当a=8,b=5时,c=4.
则满足条件的三角形共有9个.
故答案为9.
15.解:(1)若4 cm长的边为底边,设腰长为x cm,则2x+4=16,解得x=6,6 cm,6 cm,4 cm满足三角形的三边关系.
若4 cm长的边为腰,设底边长为y cm,
则y+2×4=16,解得y=8.
因为4+4=8,不满足三角形的三边关系,
所以不能围成腰长为4 cm的等腰三角形,
所以另外两边的长分别为6 cm,6 cm.
(2)若6 cm长的边为底边,设腰长为a cm,
则2a+6=16,解得a=5.
若6 cm长的边为腰,设底边长为b cm,
则b+2×6=16,解得b=4.
经验证,上述两种情况均成立,所以另外两边的长分别为5 cm,5 cm或6 cm,4 cm.
16.解:设第三根木棒的长度是x cm.
根据三角形的三边关系,得3因为x是整数,所以第三根木棒的长度可以是大于3 cm且小于13 cm的所有整数,共有9个数.
答:小颖有9种选法.第三根木棒的长度可以是4 cm,5 cm,6 cm,7 cm,8 cm,9 cm,10 cm,11 cm,
12 cm.
17.解:因为a,b,c分别为△ABC的三边长,
所以a+b-c>0<0<0,
所以|a|=ab+c=.
18.解:在△ABP中,PA+PB>AB.
同理:PB+PC>BC,PA+PC>AC.
以上三式相加,
得2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,
即PA+PB+PC>(AB+BC+AC).
19.解:(1)4根火柴不能搭成三角形.
(2)8根火柴能搭成一种三角形,
如图图所示:
12根火柴能搭成3种不同形状的三角形,如图图所示:
答案
1.A　2.C　3.B　
4.B　 ①②④正确.
5.50 因为AD为△ABC的角平分线,∠BAC=100°,所以∠BAD=∠CAD=×100°=50°.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD=50°.
6.=　 如图图.
因为DE∥AC,
所以∠1=∠4.
因为DF∥AB,
所以∠2=∠3.
因为AD是△ABC的角平分线,
所以∠3=∠4,
所以∠1=∠2.
7.B　8.C
9.D　 因为AD是△ABC的BC边上的中线,所以BD=DC=BC,
所以△ABD和△ADC的周长的差
=AB+BC+AD-AC+BC+AD
=AB-AC
=5-3
=2(cm).
故选D.
10.C　 因为F是BE的中点,
所以BF=EF,所以S△EFD=S△BFD.
又因为S△BDE=S△EFD+S△BFD,
所以S△BDE=2S△BFD=2×6=12.
同理,S△ABC=2S△ABD=2×2S△BDE=4×12=48.
故选C.
11.解:因为AB=6 cm,AD=5 cm,△ABD的周长为15 cm,
所以BD==4(cm).
因为AD是BC边上的中线,
所以BC=8 cm.
因为△ABC的周长为21 cm,
所以AC==7(cm).
故AC的长为7 cm.
12.C　 在三角形的角平分线、中线、高三个概念中,特别注意三角形三条角平分线和中线一定都在三角形的内部,只有高不一定都在三角形的内部.直角三角形有两条高就是直角三角形的边,另一条在三角形内部;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条在三角形内部.故选C.
13.D
14.B
15.(1)CE　BC　(2)∠DAC　∠BAC
(3)∠AFC　90　(4)S△AEB　S△ABC
(1)因为AE是△ABC的中线,
所以BE=CE=BC.
故答案为CE,BC.
(2)因为AD是△ABC的角平分线,
所以∠BAD=∠DAC=∠BAC.
故答案为∠DAC,∠BAC.
(3)因为AF是△ABC的高,
所以∠AFB=∠AFC=90°.
故答案为∠AFC,90.
(4)因为AE是△ABC的中线,
所以△AEC与△AEB等底同高,
所以S△AEC=S△AEB=S△ABC.
故答案为S△AEB,S△ABC.
16.3　过点E作EF⊥BC于点F.
因为AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,
所以S△BED=S△ABC=×24=6(cm2).
因为BC=8 cm,
所以BD=4 cm,
所以EF===3(cm),
即点E到BC边的距离为3 cm.
故答案为3.
17.解:如图图所示,AE为三角形的中线,AF为三角形的高.
18.解:因为△ABC的周长=AB+BC+AC=11,AB=4,
所以BC+AC=11-4=7.①
因为CM是△ABC的中线,
所以AM=MB.
又△BCM的周长-△ACM的周长=(BC+CM+MB)-(AC+CM+AM)=BC-AC=3.②
结合①②,得BC=5,AC=2.
19. 根据AD是BC边上的中线得出BD=CD.设BD=CD=x,AB=y,则AC=4x,根据题意得出方程组,求出方程组的解,再根据三角形的三边关系定理判断即可.
解:设BD=CD=x,AB=y,
则AC=2BC=4x.
因为BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,AC>AB,
所以AC+CD=60,AB+BD=40,
即
解得
此时AB=28,BC=24,AC=48,符合三角形的三边关系定理,能组成三角形,
所以AC=48,AB=28.
答案
1.BC　∠DAB　∠EAC　两直线平行,内错角相等　平角的定义　180°　等量代换　180°
2.C
3.C　 如图图,因为l1∥l2,∠1=40°,
所以∠4=∠1=40°.
又因为∠5=∠2=75°,
所以∠3=180°-(∠4+∠5)=65°.
故选C.
4. 解这种题要注意隐含条件∠A+∠B+∠C=180°.
解:由题意,得∠A=∠B+25°,2∠C=∠A+60°,
所以∠B=∠A-25°,∠C=∠A+30°.
又因为∠A+∠B+∠C=180°,
所以∠A+(∠A-25°)+=180°,
所以∠A=175°,所以∠A=70°,
所以∠B=45°,∠C=65°.
故∠A=70°,∠B=45°,∠C=65°.
5. 由三角形的内角和定理可求出∠BAC=50°,再根据角平分线可得出∠BAE=25°.在△ABE中再由三角形内角和定理求出∠AEB.
解:由三角形的内角和定理可知∠BAC=18=180°-52°-78°=50°.
又因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=25°.
在△ABE中,∠AEB+∠B+∠BAE=180°,
所以∠AEB=18AE=180°-52°-25°=103°.
6.D　 因为∠A=20°,∠B=60°,所以∠C=18=180°-20°-60°=100°,所以△ABC的形状是钝角三角形.故选D.
7.D　
8.(1)直角　(2)钝角　
(3)锐角
9.锐角　钝角
10.B　 因为∠BCD是△ABC的外角,∠A=33°,∠B=75°,所以∠BCD=∠A+∠B=33°+
75°=108°.故选B.
11.C　 因为∠1=∠A+∠C,所以∠A=∠1-∠C=100°-70°=30°.故选C.
12.55　 因为∠C=25°,∠E=30°,
所以∠EFD=∠C+∠E=55°.
因为AB∥CD,
所以∠A=∠EFD=55°.
13.B　 三角形的内角中最多有1个钝角,根据平角的定义,三角形的三个外角中,锐角最多有1个.
14.D　 因为BE为△ABC的高,∠BAC=50°,
所以∠ABE=90°-50°=40°.
因为CF为△ABC的高,
所以∠BFC=90°,
所以∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°.故选D.
15.D　 ①若∠A=∠B=40°,则∠C=100°,则它的外角为80°;②若∠C=40°,则它的外角为140°.
16.(1)30　(2)360
17.165　 如图图,由题意知,∠CAD=60°,∠B=90°-45°=45°,
所以∠CAB=120°,
所以∠1=∠B+∠CAB=45°+120°=165°.
18.解:设∠1=x.
因为∠1=∠A,
所以∠A=x,则∠2=∠1+∠A=2x.
因为∠2=∠C,∠ABC=∠C,
所以∠ABC=∠C=2x,
所以x+2x+2x=180°,
解得x=36°,所以∠2=2x=72°,
所以∠ADB=180°-72°=108°.
19.解:(1)因为∠MON=90°,∠ABO=70°,
所以∠MAB=∠MON+∠ABO=90°+70°=160°.
因为AC平分∠MAB,
所以∠CAB=∠MAB=80°.
因为BD平分∠ABO,
所以∠ABD=∠ABO=35°.
又因为∠CAB=∠ABD+∠D,
所以∠D=∠CAB-∠ABD=80°-35°=45°.
(2)∠D的大小不发生变化.理由如图下:
因为∠MAB=∠MON+∠ABO=90°+∠ABO,AC平分∠MAB,
所以∠CAB=∠MAB=45°+∠ABO.
因为BD平分∠ABO,
所以∠ABD=∠ABO.
又因为∠CAB=∠ABD+∠D,
所以∠D=∠CAB-∠ABD=45°+∠ABO-∠ABO=45°,
所以∠D的大小不发生变化.
20.解:(1)
∠A的度数 50° 60° 70°
∠BOC的度数 115° 120° 125°
(2)猜想:∠BOC=90°+∠A.
理由:因为在△ABC中,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
所以∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.
因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
所以∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A,
所以∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-90°-∠A=90°+∠A.
(3)因为△ABC的高BE,CD相交于点O,
所以∠BDC=∠BEA=90°,
所以∠ABE+∠BOD=90°,∠ABE+∠A=90°,所以∠A=∠BOD.