人教版五年级下册数学 探索图形 教案
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文档简介
探索图形
教学内容：小学数学五（下）教科书第44页。
教学目标：
1、综合应用正方体的特征解决分类计数问题。
2、让学生通过观察、想象等活动经历“找规律”的全过程，推导出计算公式，获得“化繁为简”的解决问题经验，培养学生的空间想象力。
3、在小组交流中有效参与，感受探索的乐趣。
教学重点：学会从简单情况着手找规律去解决复杂问题的研究方法。
教学难点：观察概括各类小正方体的位置特征并能推导出计算公式及方法。
教学准备：小正方体学具
教学过程：
一、问题开放、引导猜想。
1、复习正方体的特征，引出课题。
师：这是什么图形？正方体有哪些特征？
生：正方体有6个面，都是完全相同的正方形；12条棱，长度都相等；8个顶点。
师：正方体是一种基本的立体图形，由它组合成的立体图形有什么奥秘呢？这节课我们就一起来探索图形。（板书：探索图形）
2、提出问题
师：这是用棱长1cm的小正方体拼成的一个大正方体，它是由多少块小正方体组成的？怎么想的？
师：为了描述方便，我们约定把这样棱长为10的正方体称作10的立方（103）结构。
师：如果把这个大正方体的6个面都涂上绿色，小正方体最多会有几个面被涂绿色？
（两面涂色、一面涂色、没有涂色的小正方体）还有没有其它情况？会不会有四面涂色的可能性？为什么？
师追问：那这四种涂色情况的小正方体位置在哪里？各有多少个？会不会有什么规律了？你知道吗？
生：……
师：看来一下子找到规律并得出结果比较困难，那我们遇到这样比较复杂的问题时，怎样来研究呢？
生：可以用小正方体从简单的开始研究。
师：是的，借助学具，先从简单的问题入手，去发现其中的规律来解决比较复杂的问题，是一个很好的思路。
二、聚焦规律，解决问题
合作探究，发现规律
引导明确最简单的几种情况，全班共同完成图①的填写
师：想想，由小正方体拼成较大的正方体，最简单的棱长为几？（出示课件）
师：这就是“23结构” 的正方体，和你描述的一样吗？
课件动态呈现图①及表格
师：能数出这个图形中各种涂色小正方体的块数吗？
抽答，并填表。
请学生上台指：为什么这8个都涂了三个面？
师：就研究这一种行吗？
生：不行，通过这个图形我们只能找到3面涂色的小正方体的位置和数量，不能找到其他情况的涂色小正方体的数量，更不能得出规律与方法。
师：思维很严谨。那其他的同学赞成他的意见吗？那就让我们继续探究的脚步。
师：想想，再大一点的正方体呢？会是什么样的棱长结构？
课件出示图②（“33结构”）、图③（“43结构”）
② ③
师：想自己尝试一下吗？谁先来为我们读读要求？
2、小组合作，探索图②、图③。
出示合作提示：
（1）两人合作，借助小正方体学具进行拼摆，将结果记录在表格里。
（2）仔细观察每一类小正方体所在的位置和数量，从中你能发现哪些规律？
记录表如下：
图形 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
33结构
43结构
抽生介绍本组填表及方法。
课件呈现填表结果。
图形 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
23结构 8 0 0 0
33结构 8 12 6 1
43结构 8 24 24 8
33结构的汇报：
教师的引导汇报过程：
先汇报个数
师：谁来汇报一下33结构的研究结果？
学生汇报答案后全班核对
师：是不是都同意这个答案？
再汇报数量与位置的关系
师：三面涂色的8个在哪里？两面涂色的12个是怎么来的？是不是在棱上找？为什么是12个呢？（每条棱上有3个正方体，减去两个顶点位置的就还剩一个，再乘12条棱即可得到12）一面涂色的位置在哪里？（面上找）怎么数数量？（以正面为例，减去上下两层涂色的小正方体和左右两列涂色的，就剩下中间这一个一面涂色的了，再乘6个面即可得到）没涂色的小正方体是不是真的只有一个呢？
请一个同学借助教师的实物学具，揭开并找到中间没涂色的那个小正方体。
师引导找没涂色小正方体的其他方法：找没涂色的小正方体，还有没有其他的方法？
43结构的汇报
教师的引导汇报过程：
先汇报个数
师：谁来汇报一下43结构的研究结果？
学生汇报答案后全班核对
师：是不是都同意这个答案？
再汇报数量与位置的关系
师：你能给我说说你是怎样找到每种小正方体的位置，得到数量的吗？
教师小结：很善于观察、总结规律。现在，我们再以43结构为例（结合课件展示），再来梳理下每种涂色小正方体的位置与数量的规律。
师：三面涂色的位置在？（顶点数）数量呢？（每个顶点一块，8个顶点共有8个）我们可以简称为顶点数8个。
师：两面涂色的位置在……？（棱上找）怎么得到数量呢？（一条棱上有4个小正方体，减去2个顶点上的小正方体，每条棱上还剩2个两面涂色的小正方体，再乘12条棱即可得到（4-2）×12=24个）
师：一面涂色的哪里找？（面上找）数量呢？（每个面除开上下两层和左右两列涂色的小正方体，中间是一个2×2的结构，再乘6个面就可以得到，即（4-2）×（4-2）×6=24个）
师：没有涂色在哪儿？有多少块儿？减一减或者数中间。老师结合PPT演示：如果我们去掉外面涂色的小正方体，它会是一个什么形状的呢？
先减去上下两层，高就变成了几？
再减去前后两排，宽就变成了几？
最后减去左右两列，长就变成了几？刚才谁想到了中间没涂色的部分会变成一个23结构的正方体的？
没有涂色还可以用总个数减去涂色正方体的个数或者直接求：因为中间每一层没有涂色的块数与每一面中一面涂色的块数相等，用每层的块数乘中间的层数就可以了。
应用经验，总结规律。
1、想象一个53结构的大正方体，再写出三面、两面、一面和没有涂色的小正方体块数。
师：根据我们总结的经验，发挥想象，你能完成这个表格吗？
生独立完成后汇报
课件出示验证
师：紧紧抓住了位置特点，很有空间想象力，找得很准。有困难的同学，我们结合课件，再来找找，数数。
没有涂色的小正方，你能想象出是一个什么结构吗？动手比划下。去掉上下两层，高变成了3，再去掉前后两排，宽变成了3，再去掉左右两列，长也变成了3.这样，中间就剩下了一个3的立方结构的正方体。
师：现在我们脱离实物，就是一个n3结构的正方体，你还能数出每种涂色小正方体的块数吗？同桌讨论下，谁再来说说？
学生汇报：三面涂色：顶点8个
两面涂色：棱上找（n-2）×12；
一面涂色：面里数（n-2）×（n-2）×6；
没有涂色：减一减或者数中间（n-2）×（n-2）×（n-2）
课件出示：棱长为10cm的正方体
师：找到了规律，那103结构各种涂色小正方体的块数，能解决了吗？
学生独立解决问题。
抽答订正
三面涂色8个，二面涂色8×12=96（个），一面涂色64×6=384（个）没有涂色64×8=512（个）或：1000-（8+96+384）=512（个）
（三）小结提升，梳理方法。
师：回顾一下，刚才，我们是怎么来把这个复杂的问题解决的？
生：我们从简单的情况开始研究，从中找到解决这类问题的规律与方法，再来解决这个原本复杂的问题就显得得心应手了！（板书：规律）
三、积累经验，联通学法。
师：在我们之前的学习中，解决哪些问题时用到过这种由简到繁的研究方法？跟随老师的PPT，我们一起来回忆回忆（烙饼问题、1亿有多大、植树问题）在今后的学习中，这位老朋友还会陪伴着我们解决更多的数学问题，比如： “打电话”、“找次品”、“数与形”……这么重要的学习伙伴，我们一起来说出它的名字——化繁为简。希望帮助我们取得更多的成功，收获更多的精彩！
板书： 探索图形
(
规 律
)
简单 复杂
三面涂色： 顶点数 8个
两面涂色： 棱上找 （n-2）×12；
一面涂色： 面上找 （n-2）×（n-2）×6；
没有涂色： 数中间 （n-2）×（n-2）×（n-2）
或者减一减
教学内容：小学数学五（下）教科书第44页。
教学目标：
1、综合应用正方体的特征解决分类计数问题。
2、让学生通过观察、想象等活动经历“找规律”的全过程，推导出计算公式，获得“化繁为简”的解决问题经验，培养学生的空间想象力。
3、在小组交流中有效参与，感受探索的乐趣。
教学重点：学会从简单情况着手找规律去解决复杂问题的研究方法。
教学难点：观察概括各类小正方体的位置特征并能推导出计算公式及方法。
教学准备：小正方体学具
教学过程：
一、问题开放、引导猜想。
1、复习正方体的特征，引出课题。
师：这是什么图形？正方体有哪些特征？
生：正方体有6个面，都是完全相同的正方形；12条棱，长度都相等；8个顶点。
师：正方体是一种基本的立体图形，由它组合成的立体图形有什么奥秘呢？这节课我们就一起来探索图形。（板书：探索图形）
2、提出问题
师：这是用棱长1cm的小正方体拼成的一个大正方体，它是由多少块小正方体组成的？怎么想的？
师：为了描述方便，我们约定把这样棱长为10的正方体称作10的立方（103）结构。
师：如果把这个大正方体的6个面都涂上绿色，小正方体最多会有几个面被涂绿色？
（两面涂色、一面涂色、没有涂色的小正方体）还有没有其它情况？会不会有四面涂色的可能性？为什么？
师追问：那这四种涂色情况的小正方体位置在哪里？各有多少个？会不会有什么规律了？你知道吗？
生：……
师：看来一下子找到规律并得出结果比较困难，那我们遇到这样比较复杂的问题时，怎样来研究呢？
生：可以用小正方体从简单的开始研究。
师：是的，借助学具，先从简单的问题入手，去发现其中的规律来解决比较复杂的问题，是一个很好的思路。
二、聚焦规律，解决问题
合作探究，发现规律
引导明确最简单的几种情况，全班共同完成图①的填写
师：想想，由小正方体拼成较大的正方体，最简单的棱长为几？（出示课件）
师：这就是“23结构” 的正方体，和你描述的一样吗？
课件动态呈现图①及表格
师：能数出这个图形中各种涂色小正方体的块数吗？
抽答，并填表。
请学生上台指：为什么这8个都涂了三个面？
师：就研究这一种行吗？
生：不行，通过这个图形我们只能找到3面涂色的小正方体的位置和数量，不能找到其他情况的涂色小正方体的数量，更不能得出规律与方法。
师：思维很严谨。那其他的同学赞成他的意见吗？那就让我们继续探究的脚步。
师：想想，再大一点的正方体呢？会是什么样的棱长结构？
课件出示图②（“33结构”）、图③（“43结构”）
② ③
师：想自己尝试一下吗？谁先来为我们读读要求？
2、小组合作，探索图②、图③。
出示合作提示：
（1）两人合作，借助小正方体学具进行拼摆，将结果记录在表格里。
（2）仔细观察每一类小正方体所在的位置和数量，从中你能发现哪些规律？
记录表如下：
图形 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
33结构
43结构
抽生介绍本组填表及方法。
课件呈现填表结果。
图形 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
23结构 8 0 0 0
33结构 8 12 6 1
43结构 8 24 24 8
33结构的汇报：
教师的引导汇报过程：
先汇报个数
师：谁来汇报一下33结构的研究结果？
学生汇报答案后全班核对
师：是不是都同意这个答案？
再汇报数量与位置的关系
师：三面涂色的8个在哪里？两面涂色的12个是怎么来的？是不是在棱上找？为什么是12个呢？（每条棱上有3个正方体，减去两个顶点位置的就还剩一个，再乘12条棱即可得到12）一面涂色的位置在哪里？（面上找）怎么数数量？（以正面为例，减去上下两层涂色的小正方体和左右两列涂色的，就剩下中间这一个一面涂色的了，再乘6个面即可得到）没涂色的小正方体是不是真的只有一个呢？
请一个同学借助教师的实物学具，揭开并找到中间没涂色的那个小正方体。
师引导找没涂色小正方体的其他方法：找没涂色的小正方体，还有没有其他的方法？
43结构的汇报
教师的引导汇报过程：
先汇报个数
师：谁来汇报一下43结构的研究结果？
学生汇报答案后全班核对
师：是不是都同意这个答案？
再汇报数量与位置的关系
师：你能给我说说你是怎样找到每种小正方体的位置，得到数量的吗？
教师小结：很善于观察、总结规律。现在，我们再以43结构为例（结合课件展示），再来梳理下每种涂色小正方体的位置与数量的规律。
师：三面涂色的位置在？（顶点数）数量呢？（每个顶点一块，8个顶点共有8个）我们可以简称为顶点数8个。
师：两面涂色的位置在……？（棱上找）怎么得到数量呢？（一条棱上有4个小正方体，减去2个顶点上的小正方体，每条棱上还剩2个两面涂色的小正方体，再乘12条棱即可得到（4-2）×12=24个）
师：一面涂色的哪里找？（面上找）数量呢？（每个面除开上下两层和左右两列涂色的小正方体，中间是一个2×2的结构，再乘6个面就可以得到，即（4-2）×（4-2）×6=24个）
师：没有涂色在哪儿？有多少块儿？减一减或者数中间。老师结合PPT演示：如果我们去掉外面涂色的小正方体，它会是一个什么形状的呢？
先减去上下两层，高就变成了几？
再减去前后两排，宽就变成了几？
最后减去左右两列，长就变成了几？刚才谁想到了中间没涂色的部分会变成一个23结构的正方体的？
没有涂色还可以用总个数减去涂色正方体的个数或者直接求：因为中间每一层没有涂色的块数与每一面中一面涂色的块数相等，用每层的块数乘中间的层数就可以了。
应用经验，总结规律。
1、想象一个53结构的大正方体，再写出三面、两面、一面和没有涂色的小正方体块数。
师：根据我们总结的经验，发挥想象，你能完成这个表格吗？
生独立完成后汇报
课件出示验证
师：紧紧抓住了位置特点，很有空间想象力，找得很准。有困难的同学，我们结合课件，再来找找，数数。
没有涂色的小正方，你能想象出是一个什么结构吗？动手比划下。去掉上下两层，高变成了3，再去掉前后两排，宽变成了3，再去掉左右两列，长也变成了3.这样，中间就剩下了一个3的立方结构的正方体。
师：现在我们脱离实物，就是一个n3结构的正方体，你还能数出每种涂色小正方体的块数吗？同桌讨论下，谁再来说说？
学生汇报：三面涂色：顶点8个
两面涂色：棱上找（n-2）×12；
一面涂色：面里数（n-2）×（n-2）×6；
没有涂色：减一减或者数中间（n-2）×（n-2）×（n-2）
课件出示：棱长为10cm的正方体
师：找到了规律，那103结构各种涂色小正方体的块数，能解决了吗？
学生独立解决问题。
抽答订正
三面涂色8个，二面涂色8×12=96（个），一面涂色64×6=384（个）没有涂色64×8=512（个）或：1000-（8+96+384）=512（个）
（三）小结提升，梳理方法。
师：回顾一下，刚才，我们是怎么来把这个复杂的问题解决的？
生：我们从简单的情况开始研究，从中找到解决这类问题的规律与方法，再来解决这个原本复杂的问题就显得得心应手了！（板书：规律）
三、积累经验，联通学法。
师：在我们之前的学习中，解决哪些问题时用到过这种由简到繁的研究方法？跟随老师的PPT，我们一起来回忆回忆（烙饼问题、1亿有多大、植树问题）在今后的学习中，这位老朋友还会陪伴着我们解决更多的数学问题，比如： “打电话”、“找次品”、“数与形”……这么重要的学习伙伴，我们一起来说出它的名字——化繁为简。希望帮助我们取得更多的成功，收获更多的精彩！
板书： 探索图形
(
规 律
)
简单 复杂
三面涂色： 顶点数 8个
两面涂色： 棱上找 （n-2）×12；
一面涂色： 面上找 （n-2）×（n-2）×6；
没有涂色： 数中间 （n-2）×（n-2）×（n-2）
或者减一减