【课件】5.2三角函数的概念 5.2.1三角函数的概念 高中数学-RJA-必修第一册 (共40张PPT)

(共40张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
5.2　三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
第五章 三角函数
学习目标
1.认识单位圆，借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
2.会利用相似关系，由角终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函数的定义.
3.能根据定义理解正弦、余弦和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号，会求一些特殊角的三角函数值.
4.理解并掌握公式一，并会用公式一进行三角函数式的化简或恒等式的证明.
学习目标
重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义.
难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数值的符号；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切值用几何形式表示.
知识梳理
如图，设α是一个任意角，它的终边OP与单位圆交于点
P（x，y），那么：
（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即 ；
（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即 ；
（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，
即 （x≠0）.
一、任意角的三角函数的定义
y ＝ sin α
x＝ cos α
（x≠0）也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为 ，通常将它们记为：
正弦函数　y＝sin x，x∈R；余弦函数　y＝cos x，x∈R；
正切函数　y＝tan x，x≠ +kπ（k∈Z）.
三角函数
三角函数 定义域
R
R
二、三角函数定义域和函数值符号
终边相同的角的同一三角函数的值相等.
sin（α+k·2π）＝ ，
cos（α+k·2π）＝ ，
tan（α+k·2π）＝ ，其中k∈Z.
sin α
三、诱导公式一
cos α
tan α
例1
题组一　利用三角函数的定义求值
<1>已知角的终边上一点的坐标求三角函数值
常考题型
训练题
［2019·陕西榆林高一检测］若角α的终边经过点 ，则cos α·
tan α的值是（　　）
A.- B. C.- D.
A
由角的终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
（1）利用角的终边与单位圆相交于点P，确定三个量：点P的横坐标x、纵坐标y及点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.
（2）在α的终边上任选一点P（x，y），设点P到原点的距离为r（r>0），则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，使用该方法更方便.
（3）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，应分类讨论.
解题归纳
例2
<2>已知三角函数值求参数值
训练题
若角α的终边经过点P（-b，4）且cos α＝ - ，则b的值为（　　）
A.3 B.-3 C.±3 D.5
A
例3
<3>已知某角的三角函数值求其他三角函数值
训练题
角θ的终边经过点P（4，y），且sin θ＝- ，则tan θ＝　　　　.
例4
<4>求终边在已知直线上的角的三角函数值
已知角α的终边在直线3x+4y＝0上，求2sin α+cos α的值.
［2019·江苏常熟高二检测］若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P（m，n）是α终边上一点，且|OP|＝，则m-n＝　　　　.
2
训练题
角α的终边在直线上求三角函数值的两种方法
（1）先利用直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
（2）注意到角的终边为射线，应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标（a，b），则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.
解题归纳
例5
题组二　三角函数值的符号的判断
<1>已知角或角所在的象限判断三角函数值的符号
［2019·浙江嘉兴一中高一检测］判断下列各式的符号.
（1）sin 155°cos （-200°）；（2）
【解】　（1）∵ 155°是第二象限角，
∴ sin 155°>0.∵ -200°＝-360°+160°，
∴ -200°是第二象限角，∴ cos （-200°）<0，
∴ sin 155°cos （-200°）<0.
（2）∵ 2∈，3∈ ，4∈ ，6∈，
∴ sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，∴ >0.
判断三角函数值在各象限的符号的方法
1.判断依据是三角函数的定义.
2.终边在坐标轴上的角的三角函数值的符号可利用单位圆与坐标轴的交点坐标判断，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为（-1，0），故sin α＝0，cos α＝-1.
3.三角函数值在各象限的符号.
　 　
4.记忆口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
解题归纳
训练题
［2020.·浙江杭州师大附中检测］若点P的坐标为（cos 2 020°，sin 2 020°），则点P在（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
C
例6
<2>已知三角函数值的符号判断角所在的象限
已知点P（sin α，cos α）在第二象限，则角α的终边所在的象限为（　　）
A.第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】　因为点P（sin α，cos α）在第二象限，所以sin α<0， cos α>0.
因为cos α>0，所以角α的终边在第一象限或第四象限或x轴的非负半轴上.
因为sin α<0，所以角α的终边在第三象限或第四象限或y轴的非正半轴上.
故角α的终边在第四象限.
【答案】　D
训练题
［2019·河北邢台高一期末］已知sin αtan α<0，<0，则角α的终边在
（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1.
C
［2019·安徽宿州埇桥区高一期末］已知A，B，C是三角形△ABC的三个内角，满足sin Acos Btan C<0，则此三角形是（　　）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能
2.
B
三　诱导公式一的应用
例7
［2019·湖北沙市中学高一期末］求下列三角函数的值：
（1）sin （-1 050°）；（2）cos 405°；（3）.
【解】　（1）sin （-1 050°）＝sin （-3×360°+30°）＝sin 30°＝.
（2）cos 405°＝cos （360°+45°）＝cos 45°＝.
（3）tan ＝＝tan ＝.
正确理解诱导公式一
1.利用诱导公式一可以把求任意角的三角函数值转化为求0~2π（或0°~360°）范围内角的三角函数值.
2.三个公式可统一写成：f（k·2π+α）＝f（α）（k∈Z）或f（k·360°+α）＝f（α）（k∈Z）.
3.由公式可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.
4.公式一说明了角和三角函数值的对应关系是一值对多角的关系，即如果给定一个角，那么它的三角函数值只要存在，就是唯一的；反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数个角与之对应.
解题归纳
训练题
1.
［2020·云南云天化中学高一期末］sin 750°＝（　　 ）
A.0 B. C. D.
B
2.
已知角α的终边经过点（-4，3），则cos （-6π+α）＝（　　）
A. B. C.- D.-
D
四　三角函数线的应用
例8
【解】如图，作出对应的正弦线、正切线分别为AB和EF.
作出对应的正弦线、正切线分别为CD和FG.
由图可知AB>CD，EF>EG.又sin 与sin 均取正值，
tan 与tan 均取负值，故sin >sin ，tan 分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin与sin ；tan 与tan .
利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤
（1）角的位置标注清楚；
（2）比较三角函数线的有向线段的长度；
（3）确定有向线段的正负.
解题归纳
训练题
已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是　　　　.
①若α，β是第一象限角，则cos α>cos β；
②若α，β是第二象限角，则tan α>tan β；
③若α，β是第三象限角，则cos α>cos β；
④若α，β是第四象限角，则tan α>tan β.
1.
［2019·湖北荆州检测］函数y＝lg 的定义域为（　　）
A. B. ，k∈Z
C. ，k∈Z D.R
2.
小结
1.三角函数
· 在任意角的三角函数的定义中，α是一个任意角，其取值范围是使函数有意义的实数值.
· 就如f（x）表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.
· 三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P（x，y）在终边上的位置无关，由角α的终边的位置决定，对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定.
2.三角函数定义域和函数值符号
三角函数 定义域
R
R
记忆口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
即在第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.
sin（α+k·2π）＝sin α，
cos（α+k·2π）＝cos α，
tan（α+k·2π）＝tan α，其中k∈Z.
3.诱导公式一
适用范围 角可以是任意角，k为任意整数
实质 角的终边绕原点每转动一周，函数值会重复出现
结构特征 （1）等号两边为同一种三角函数；
（2）公式左边的角为α+k·2π（k∈Z），右边的角为α
作用 把求任意角的三角函数值转化为求0~2π（或0°~360°）角的三角函数值
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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