【课件】5.2三角函数的概念 5.2.2同角三角函数的基本关系 高中数学-RJA-必修第一册(共34张PPT)

(共34张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
5.2　三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
第五章 三角函数
学习目标
1.掌握同角三角函数的两个基本关系：
2.会利用这个基本关系解决较简单的求值、化简、恒等式证明等有关问题.
重点：同角三角函数的基本关系.
难点：利用同角三角函数的基本关系求值、化简、证明.
知识梳理
sin2α+cos2α＝ .
同角三角函数的基本关系
1
即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
例1
一　利用同角三角函数的基本关系求值
（1）已知一个三角函数值求其余两个值
常考题型
［2019·广东梅州高一期末］若cos x＝-，且A.- B.- C. D.
【解析】　∵ cos x＝- ，且∴ tan x＝＝-，∴ tan x+sin x＝- + ＝-.
【答案】　B
利用基本关系式求值两注意
1.方程思想的应用
同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”， 即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个，体现了方程思想的应用.
2.解的个数的判定
要注意角所在的象限，由此判断三角函数值的正负，来决定所求的是一解还是两解.
解题归纳
2.
［2019·北京海淀区高一期末］已知tan α＝，sin α<0，则cos α＝（ 　）
A. B. - C. D.-
训练题
1.
D
D
例2
（2）利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值
已知sin α-cos α＝，α∈（0，π），则tan α＝（　　）
A.-1 B.- C. D.1
【解析】　（方法一）通过解方程得到sin α，cos α.
把sin α＝+cos α代入cos 2α+sin 2α＝1，
整理得2cos 2α+cos α+1＝0，即（cos α+1）2＝0，
从而cos α＝- ，sin α＝ ，所以tan α＝-1.
（方法二）逆向探讨：令tan α＝＝t，则sin α＝tcos α，
代入sin α-cos α＝，得sin α＝，cos α＝ ，
所以 + ＝1，整理得t2+2t+1＝0，解得t＝-1.
（方法三）弦切互化.由（sin α-cos α）2＝2，
得＝2，于是＝2，
即tan 2α+2tan α+1＝0，解得tan α＝-1.
【答案】　A
利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值方法
1.sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”.
2.它们之间的关系是：（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.
3.利用此关系求sin α+cos α或sin α-cos α的值时，要注意判断它们的符号.
解题归纳
2.
［2019·四川攀枝花高一期末］已知sin α，cos α是关于x的方程3x2+ax-1＝0的两个实根，则实数a＝（　　）
A.3 B. C.- D.±
训练题
［2019·四川石室中学高三模拟］已知α为第二象限角，且sin α+cos α＝，则cos α-sin α＝（　　）
A. B.- C.± D.
1.
D
B
与方程有关的三角函数问题的求解方法
1.sin α+cos α与sin αcos α很容易与一元二次方程中根与系数的关系产生联系.
2.若以sin α，cos α为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题.
解题归纳
例3
二　弦切互化求值
［2019·内蒙古呼和浩特六中高二期末］已知 ＝5，则sin2 α- sin αcos α的值是（　　）
A. B.- C.2 D.-2
【解题提示】　先求tan α，再将sin2α-sin αcos α添加分母sin2α+cos2α，然后分子、分母同时除以cos2α，转化为关于正切的式子.
【解析】　由 ＝5，得sin α+3cos α＝5（3cos α-sin α），化简得到tan α＝2.所以sin2α-sin αcos α＝＝ ＝＝ .
【答案】　A
“弦化切”求解两类问题
1.已知tan α的值，求关于sin α和cos α的齐次式的值，由已知cos α≠0，分子、分母同时除以cos α，可以变为关于tan α的三角函数式，代入tan α即可求出结果.
2.已知tan α的值，求形如asin 2α+bsin α·
cos α+cos 2α的值，可将其视为分母为1的分式，再将分母的1化为sin2α+cos2α，将其代入，即可转化为关于tan α的函数式，代入tan α即可求出结果.
解题归纳
训练题
［2020·黑龙江漠河市高级中学高一期末］已知tan α＝3，则 ＝
( )
A.3 B. C.2 D.
1.
［2020·陕西汉中市龙岗学校高二期末］已知tan α＝2，则cos2α＝（　　）
A. B. C. D.
2.
D
C
三　三角函数式的化简
例4
［2019·安徽黄山高一期末］化简 + 的结果为（　　）
A.-1 B.1 C.-3 D.3
【解析】　因为3弧度的角是第二象限角，故sin 3>0，cos 3<0，所以原式＝+ ＝1.
【答案】　B
三角函数式的三种化简方法
1.对于含有根号的，常把被开平方数（式）化成完全平方数（式），然后去根号达到化简的目的.
2.化切为弦，即把非正、余弦函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
3.对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解或构造sin2α+cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
解题归纳
训练题
四　三角恒等式的证明
<1>一般三角恒等式的证明
例5
【解题提示1】　利用“1”的代换，将左边分子、分母中的1分别替换为sin2x+cos2x，从而使分子化为完全平方的形式，分母化为平方差的形式，进而可化简，以便向右式边转化.
［2019·四川雅安中学高一检测］求证：
【解题提示2】　通过“切化弦”将等式右边式子的分子、分母中的正切均化为 ，再通分求解.
证明三角恒等式的方法
1.从一边开始证明它等于另一边，一般是由繁到简.
2.证明左、右两边等于同一个式子（左、右归一）.
3.比较法：即证左边-右边＝0或 ＝1（右边≠0）.
4.证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.
解题归纳
训练题
<2>条件恒等式的证明
例6
已知tan2α＝2tan2β+1，求证：sin2β＝2sin2α-1.
条件恒等式的证明方法
含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面，但应注意条件的利用，常用方法有：
1.直推法：从条件直推到结论；
2.代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
3.换元法.
解题归纳
训练题
已知 + ＝1，求证： + ＝1.
【证明】设sin2A＝m（0则cos2A＝1-m，cos2B＝1-n.
由 + ＝1 ，得 + ＝1，即（m-n）2＝0.∴ m＝n，
∴ + ＝ +＝1-n+n＝1.
小结
同角三角函数的基本关系
同角三角函数基本关系的等价变形
①sin2α＝1-cos2α，sin α＝± ；
②cos2α＝1-sin2α，cos α＝± ；
③sin α＝cos α·tan α，cos α＝ .
2.同角三角函数的基本关系有哪些应用？
化简、求值、证明
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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