【课件】5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 高中数学-RJA-必修第一册 (共47张PPT)

(共47张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第五章 三角函数
学习目标
1.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质（如：周期性、奇偶性、单调性、最值等）.
2.运用整体代换的思想，令借助,的性质研究函数的性质.
重点：正弦、余弦函数的主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）；深化研究函数性质的思想方法.
难点：准确理解周期函数、（最小正）周期的意义.
知识梳理
（1）周期性
对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数f（x）就叫做周期函数.
非零常数T叫做这个函数的周期.
正弦函数、余弦函数的性质
f（x+T）＝f（x）
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f（x）的 .
最小正周期
正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是 .
余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是 .
2π
2π
（3）单调性
正弦函数在每一个闭区间（k∈Z）上都是 函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间（k∈Z）上都是 函数，其值从1减小到-1.
（2）奇偶性
正弦函数是 函数，余弦函数是 函数.
奇
增
偶
减
余弦函数在每一个闭区间［2kπ-π，2kπ］（k∈Z）上都是 函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间［2kπ，2kπ+π］（k∈Z）上都是 函数，其值从1减小到-1.
增
减
（4）最大值与最小值
正弦函数当且仅当x＝（k∈Z）时取得最大值 ，当且仅当x＝（k∈Z）时取得最小值 ；
余弦函数当且仅当x＝2kπ（k∈Z）时取得最大值 ；当且仅当x＝2kπ+π（k∈Z）时取得最小值 .
1
-1
1
-1
例1
一　正、余弦函数的周期性
<1>求正、余弦型函数的周期
常考题型
［2019·辽宁大连高三检测］函数f（x）＝的最小正周期为（　　）
A.4π B.2π C.π D.
【解析】　方法1（定义法）：∵ f（x）＝ ＝ ＝ ＝f（x+π），
∴ f（x）＝ 的最小正周期为π.
方法2（公式法）：函数f（x）＝ 的最小正周期T＝ ＝π.
方法3（图象法）：画出函数的图象，由图象可知函数f（x）＝ 的最小正周期T＝π.
【答案】　C
求三角函数周期的三种方法
1.定义法：直接利用周期性的定义求解；
2.公式法：利用周期公式T＝求解；
3.画出函数图象，利用图象求周期.
解题归纳
［2019·四川蓉城名校联盟高一期末］函数f（x）＝+1的最小正周期为（　　）
A.3π B.2π C.π D.
训练题
1.
2.
［2020·湖北沙市中学高一期末］函数f（x）＝|cos x|的最小正周期为（　　）
A.2π B.π C.3π D.
D
B
［2019·北京朝阳区高一期末］设函数f（x）＝，则f（1）+f（2）
+f（3）+…+f（100）＝　　　　.
3.
例2
<2>周期性的应用
［2020·吉林省实验中学高一期末］已知f（x）＝2cos ，则f（1）+f（2）+…+f（2 022）的值为　　　　.

【解题提示】　由余弦函数先求得f（x）的周期，再求得一个周期内的函数值，利用周期性求解.
训练题
1.
2.
C
例3
二　正、余弦型函数的奇偶性和对称性
<1>奇偶性
［2020·山东烟台高一检测］若函数f（x）＝cos（0<φ<π）是奇函数，则φ＝　　　　.
判断正、余弦函数奇偶性的方法
1.定义法：利用函数奇偶性的定义判断.
2.图象法：画出函数的图象，图象关于原点对称的是奇函数，图象关于y轴对称的是偶函数.
3.记住以下结论：
（1）正弦函数是奇函数；（2）余弦函数是偶函数；
（3） y＝Asin（ωx+φ） ，当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数，当φ＝kπ±（k∈Z）时为偶函数；
（4） y＝Acos （ωx+φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为偶函数，当φ＝kπ±（k∈Z）时为奇函数.
解题归纳
［2019·江西南昌八一中学高一期末］若函数y＝sin （2x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ等于（　　）
A. B. C. D.π
训练题
B
1.
2.
C
例4
<1>对称性
［2019·山东烟台高三检测］已知函数y＝cos（2x+φ）的图象关于直线x＝对称，则φ等于　　　　.
1.
训练题
2.
判断正、余弦函数对称性的方法
1.y＝sin x：
对称中心：点（kπ，0）（k∈Z）.对称轴：直线x＝kπ+（k∈Z）.
2.y＝cos x：
对称中心：点 （k∈Z）.对称轴：直线x＝kπ（k∈Z）.
3.求y＝Asin （ωx+φ），y＝Acos （ωx+φ）的对称性，可将ωx+φ视为整体，代入y＝sin x或y＝cos x相应的对称轴方程或对称中心坐标求解.
解题归纳
三　正、余弦函数的单调性及其应用
<1>求单调区间
例5
求下列函数的单调区间.
（1）y＝ ；（2）y＝ .
【解】（1）由2kπ-π≤2x+ ≤2kπ （k∈Z），解得kπ-≤x≤kπ-（k∈Z）；
由2kπ≤2x+≤2kπ+π（k∈Z），解得kπ- ≤x≤kπ+（k∈Z）.
故函数y＝ 的单调递增区间为（k∈Z），
单调递减区间为 （k∈Z）.
（2）y＝ 2 ＝-2 .
由2kπ+ ≤x- ≤2kπ+（k∈Z），解得2kπ+ ≤x≤2kπ+（k∈Z）；
由2kπ- ≤x- ≤2kπ+ （k∈Z），解得2kπ- ≤x≤2kπ+ （k∈Z）.
故函数y ＝ 2 的单调递增区间为 （k∈Z），
单调递减区间为 （k∈Z）.
求正弦型函数y＝Asin （ωx+φ）（A>0，ω>0）的单调区间的方法——基本函数法
1.写出基本函数y＝sin x的相应单调区间；
2.将ωx+φ视为整体代入y＝sin x相应的单调区间，由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ（k∈Z）解得x 的取值范围即为函数的单调递增区间，由+2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ（k∈Z）解得x 的取值范围即为函数的单调递减区间.
解题归纳
训练题
1.
［2019·山东济南外国语学校高一检测］函数y＝- 的单调递增区间是（　　）
A. （k∈Z） B. （k∈Z）
C. （k∈Z） D. （k∈Z）
2.
［2019·海南海口高一期末］当x∈［0，2π］时，函数f（x）＝ 的单调递减区间为　　　　　.
<2>已知单调区间求参数的取值范围
例6
已知ω是正数，函数f（x）＝2sin ωx（ω>0）在区间上是增函数，求ω的取值范围.
【解】由- +2kπ≤ωx≤ +2kπ（k∈Z，ω>0），得- + ≤x≤ + +（k∈Z，ω>0），所以f（x）的单调递增区间是（k∈Z，ω>0）.
根据题意，得 （k∈Z，ω>0），
从而有解得0<ω≤ .故ω的取值范围是 .
已知三角函数的单调区间求参数取值范围的方法
1.子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求区间的子集，列不等式（组）求解.
2.反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解.
3.周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过四分之一周期列不等式（组）求解.
解题归纳
训练题
<3>比较大小
例7
比较下列三角函数值的大小.
（1） 与- ；（2） 与 .
【解】（1）＝ ，- ＝ .
∵ - ＝ >0，∴ 0<π- < - <π.
∵ y＝cos x在［0，π］上单调递减，∴ < ，即 <- .
（2）∵ cos ＝sin ，∴ 0∵ y＝sin x在（0，1）上单调递增，∴ < .
比较三角函数值大小的步骤
1.异名函数化为同名函数；
2.利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
3.利用函数的单调性比较大小；
4.当不能将两角转化到同一单调区间上时，还可以借助图象或值的符号比较.
解题归纳
训练题
1.［2019·浙江衢州五校联考］下列关系式中正确的是（　　）
A.sin 11°C.sin 11°例8
四　求正、余弦函数的值域与最值
（1）求函数y＝2，x∈的值域；
（2）求函数y＝2cos2x+5sin x-4的值域.
【解】（1）∵ - ∴ 0<≤1，∴ 0< 2≤2，
∴ 函数y＝ 2 在上的值域是（0，2］.
（2）由已知得y＝2（1-sin2x）+5sin x-4＝-2sin2x+5sin x-2.
设sin x＝t，则y＝-2t2+5t-2＝- + ，t∈［-1，1］.
∴ 当t＝-1时，ymin＝-9；当t＝1时，ymax＝1.
∴ 函数y＝2cos2x+5sin x-4的值域为［-9，1］.
与三角函数有关的函数的值域（或最值）的求解思路
1.求形如y＝asin x+b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性（-1≤sin x≤1）求解.
2.对于形如y＝Asin （ωx+φ）+k（A，ω≠0）的函数，当定义域为R时，值域为［-|A|+k，|A|+k］；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx+φ的范围，结合函数的单调性确定值域.
解题归纳
3.求形如y＝asin2x+bsin x+c（a≠0，x∈R）的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性.
4. 求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常数法求解，也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.
训练题
1. ［2020·南昌新建一中高一期末］已知函数f（x）＝-sin 2x+asin x+1.
（1）当a＝1时，求函数f（x）的值域.
（2）若当a>0时，函数f（x）的最大值是3，求实数a的值.
2.［2019·安徽六安市毛坦厂中学高一期末］已知函数f（x）＝+a+b.当a<0时，f（x）在［0，π］上的值域为［2，3］，求a，b的值.
【解】设t＝x-，∵ x∈［0，π］，∴ t∈， ]
∴ f（x）＝g（t）＝asin t+a+b.
∵ a<0，f（x）在［0，π］上的值域为［2，3］，
∴ f（x）max＝)＝-a+a+b＝3，① f（x）min＝)＝a+a+b＝2.②
由①②解得a＝1-，b＝3.
例9
五　正、余弦型函数的性质的综合应用
训练题
小结
正弦函数、余弦函数的性质
y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
值域 ［-1，1］ ［-1，1］
周期性 最小正周期为2π 最小正周期为2π
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 在 （k∈Z）上是增函数； 在 （k∈Z）上是减函数 在［（2k-1）π，2kπ］（k∈Z）上是增函数；
在［2kπ，（2k+1）π］（k∈Z）上是减函数
最值 当x＝+2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； 当x＝-+2kπ（k∈Z）时，ymin＝-1 当x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
当x＝（2k+1）π（k∈Z）时，ymin＝-1
图象的 对称性 对称中心为（kπ，0）（k∈Z），对称轴为直线x＝ +kπ（k∈Z） 对称中心为（k∈Z），对称轴为直线x＝kπ（k∈Z）
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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