【课件】5.4三角函数的图象与性质-5.4.3正切函数的性质与图象 高中数学-RJA-必修第一册(共35张PPT)

(共35张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
第五章 三角函数
学习目标
1.推导并理解正切函数在区间内的性质.
2.能画出的图象.
3.会用正切函数的性质解决有关问题.
4.通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会三角函数线的作用.
重点：正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、单调性、 奇偶性、最值或值域）.
难点：对正切函数周期性的理解.
知识梳理
（1）周期性
正切函数是周期函数，周期是 .
（3）单调性
正切函数在开区间，k∈Z内都是 函数.
一、正切函数的性质
（2）奇偶性
正切函数是 函数.
(4)值域
正切函数的值域是 .
奇
正切函数y＝tan x，x∈R，x≠+kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线（如图）.
二、正切函数的图象
例1
一　正切型函数的定义域与周期
求下列函数的最小正周期：
①y＝- ；②y＝ .
【解】①方法1（定义法）：y＝- ＝-
＝- ，
根据周期函数的定义，得函数y＝- 的最小正周期是3.
方法2（公式法）：∵ y＝Atan（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）的最小正周期为T＝ ，又ω＝ ，∴ T＝3.
常考题型
②y＝ ＝
其图象如图所示.
由图象知y＝ 的最小正周期为π.
求周期的方法
1.定义法：利用周期函数的定义求正切函数的周期，可直接对解析式变形，关键是找出自变量“x”增加多少时函数值重复出现，进而得到周期.
2.图象法：画出图象，借助图象写出函数周期.
3.公式法：函数y＝Atan （ωx+φ）与y＝|Atan （ωx+φ）|（A≠0，ω≠0）的最小正周期为T＝.
解题归纳
训练题
函数y＝的定义域为　　 　　.
1.
函数f（x）＝的最小正周期为（　　）
A. B. C. D.2π
2.
D
二　正切型函数的奇偶性与对称性
例2
［2019·江苏南通如皋高一检测］已知函数f（x）＝tan（x+φ），|φ|< 的图象的一个对称中心为，则φ的值为　　　　.
【解析】因为为函数f（x）＝tan（x+φ），|φ|< 的图象的一个对称中心，所以 +φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ- ，k∈Z.因为 |φ|< ，所以φ的值为- .
【答案】　-
正切型函数y＝Atan（ωx+φ）（A≠0，ω>0）的性质
1.对称性：正切函数的图象关于原点中心对称，其对称中心的坐标是（k∈Z），正切函数的图象无对称轴.
2.当φ＝（k∈Z）时，y＝Atan （ωx+φ）（A≠0，ω>0）为奇函数，否则，不具备奇偶性.
3.求y＝Atan（ωx+φ）（A，ω≠0）的图象的对称中心的关键是令ωx+φ＝ ，k∈Z，求得x＝ ，k∈Z，即可得函数y＝Atan（ωx+φ）（A，ω≠0）的图象的对称中心为，k∈Z.
解题归纳
训练题
1.
函数f（x）＝tan ωx（ω>0）图象的相邻两支将直线y＝1截得的线段长为，则的值是（　　）
A. B.- C.1 D.-1
2.
函数f（x）＝ 的图象的一个对称中心为（　　）
A. B. C. D.
例3
求函数y＝ 的单调递减区间.
【解题提示】　先将y＝ 化为y＝-3 ，再将 看成一个整体，利用正切函数的单调性求解.
【解】y＝ ＝-3 .
由kπ- < ∴ y＝ 的单调递减区间为(4kπ- ,4kπ+ ) ，k∈Z.
三　正切型函数的单调性
<1>求单调区间
正切型函数单调区间的求解思路
1.正切函数y＝tan x在开区间 (kπ- ,kπ+ ) （k∈Z）上是增函数.
2.求函数y＝Atan （ωx+φ）的单调区间，将ωx+φ视为一个整体，若ω<0，一般先用诱导公式化ω>0，使x的系数为正值，然后求单调区间.当A>0（A<0）时，函数y＝Atan （ωx+φ）（A≠0，ω>0）的单调性与y＝tan x，x∈R，x≠ +kπ，k∈Z的单调性相同（反），解不等式即可得出对应单调区间.
解题归纳
训练题
［2019·广东中山一中高一检测］函数f（x）＝ 的单调递增区间是（　　）
A. ，k∈Z B. ，k∈Z
C. ，k∈Z D. ，k∈Z
［2019·安徽芜湖高一期末］y＝的单调递增区间
为　　 　　.
例4
<2>比较大小
不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小.
（1）tan 167°与tan 173°；（2）与.
【解】（1）∵ 90°<167°<173°<180°，
又y＝tan x在90°（2）∵ ＝- ＝ ， ＝- ＝ ，
又0<<< ，函数y＝tan x在区间上是增函数，
∴ < ，即 < .
训练题
比较两个正切值大小的一般步骤
（1）利用诱导公式将任意角的正切值转化为内的正切值；
（2）确定转化到内的各角的大小；
（3）利用y＝tan x在上为增函数的性质得出正切值的大小.
解题归纳
<3>求值域
例5
求下列函数的值域：（1）y＝tan 2x+4tan x-1；
（2）y＝ ，x∈ .
【解】 （1）令t＝tan x，则t∈R，y＝t2+4t-1＝（t+2）2-5≥-5，故所求函数的值域为［-5，+∞）.
（2）y＝ ＝- .∵ x∈ ，∴ 2x- ∈ ，
∴ 0≤ ≤ .
故函数y＝ ，x∈的值域为［- ，0］.
求正切函数的值域（或最值）的方法
求含有正切函数的复合函数的值域（或最值）的基本方法是换元法，换元后转化为以前所学过的函数值域问题，或利用正切函数的单调性来求解.
解题归纳
训练题
2.［2019·天津马伸桥中学高一检测］已知x∈ ，f（x）＝tan2x+2tan x+2，则f（x）的值域为　　　　.
1.［2020·黑龙江海林高一期末］函数y＝tan（cos x）的值域是　　 　　.
［-tan 1，tan 1］
例6
四　正切函数的图象及其应用
<1>图象的画法
画出函数y＝|tan x|的图象，根据图象判断其奇偶性、周期性，并求出函数的单调区间及不等式y≥1的解集.
【解】由y＝|tan x|，得y＝
图象如图所示. (可将函数在区间上的图象左右平移得到)
由图象可知函数y＝|tan x|是偶函数，且是周期函数，周期T＝π.
函数y＝|tan x|的单调增区间为（k∈Z），
单调减区间为（k∈Z）.
在内，y≥1的解集为 ∪ ，故在定义域上，
不等式y≥1的解集为 ∪ （k∈Z）.
正切函数图象的画法
1.几何法：根据正切函数的定义域和周期，
我们取x∈，利用单位圆中的正切线，
通过平行移动，作出y＝tan x，x∈ 的图象.
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就得到正切函数y＝tan x，x∈R，且x≠+kπ（k∈Z）的图象，称为“正切曲线”.
解题归纳
2.“三点两线法”：“三点”为（kπ，0）， ，，两线为直线x＝kπ+和直线x＝kπ-，其中k∈Z.
3.图象变换法：可以通过图象变换，由函数y＝tan x的图象得到函数y＝Atan （ωx+φ）（A≠0，ω≠0）的图象.
训练题
1.
画出函数y＝tan 2x在区间 ［-π，π］上的图象.
解：函数y=tan 2x在区间［-π，π］上的图象如图所示.
2.
画出函数y＝|tan x|+tan x的图象
例7
<2>图象的应用
训练题
1.
2.
函数f（x）＝-1在（0，π）上的零点是　 　　　.
利用正切函数的图象解三角不等式的步骤
利用正切函数的图象，可解不等式tan x>a，其解题步骤是：
（1）作出正切函数y＝tan x在上的图象.
（2）求出在内使tan x＝a成立的x的值.
（3）利用图象确定tan x>a在 内的解集.
（4）把此解集扩展到整个定义域内.
同理，也可解形如tan x解题归纳
小结
1.正切函数的图象
正切函数y＝tan x，x∈R，x≠+kπ，k∈Z的图象：
2.正切函数的性质
函数 y＝tan x
定义域
值域 R
周期性 周期函数，最小正周期为π
奇偶性 奇函数，图象关于原点对称
单调性 在每一个开区间 （k∈Z）上都是增函数
对称性 图象是中心对称图形，对称中心的坐标为 （k∈Z）.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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