【课件】5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（课时1） 高中数学-RJA-必修第一册 (共31张PPT)

(共31张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
5.5　三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五章 三角函数
学习目标
1.经历用单位圆以及圆的旋转对称性推导出两角差的余弦公式的过程.
2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式进行简单的三角函数的化简、求值、证明.
重点：引导学生通过独立探究和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础.
难点：两角差的余弦公式的探究.
知识梳理
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：
（1）y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；
（2）x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；
（3） 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝（x≠0）.
一、利用单位圆定义任意角的三角函数
课 时 1
教材中［cos（α-β）-1］2+sin2（α-β）=（cos α-cos β）2+（sin α-sin β）2
化简［cos（α-β）-1］2+sin2（α-β）（左边）
= cos2（α-β）-2cos（α-β）+1+sin2（α-β）＝2-2cos（α-β），
cos α-cos β）2+（sin α-sin β）2 （右边）
=cos2α-2cos αcos β+ cos2β+sin2α-2sin αsin β+sin2β＝2-2cos αcos β -2sin αsin β，
∴ 2-2cos（α-β）＝2-2cos αcos β- 2sin αsin β，
∴ cos（α-β）＝cos αcos β+sin αsin β.
二、两角差的余弦公式
任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角
的余弦公式，简记作C（α-β）. cos（α-β）＝cos αcos β+sin αsin β. （C（α-β））
1.两角和的余弦公式，简记作C（α+β）. cos（α+β）＝cos αcos β-sin αsin β.
推导：cos（α+β）＝cos［α-（-β）］＝cos αcos（-β）+sin αsin（-β）
＝cos αcos β-sin αsin β.
2.两角和的正弦公式，简记作S（α+β）. sin（α+β）＝sin αcos β+cos αsin β.
推导：（1）由诱导公式五得sin（α+β）＝cos ＝ cos
＝cos cos β+sin sin β＝sin αcos β+cos αsin β.
三、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
由公式C（α-β）出发，如何推导出两角和与差的三角函数的其他公式？
（2）由诱导公式六得sin（α+β）＝-cos ＝ -cos[(+α)+β]
＝-cos cos β+sin sin β＝sin αcos β+cos αsin β.
3.两角差的正弦公式，简记作S（α-β）. sin（α-β）＝sin αcos β-cos αsin β.
推导：（1）由诱导公式五得sin（α-β）＝cos ＝ cos
＝cos cos β-sin sin β＝sin αcos β-cos αsin β.
（2）由诱导公式六得sin（α-β）＝-cos ＝ -cos[(+α)-β]
＝-cos cos β-sin sin β＝sin αcos β-cos αsin β.
由公式C（α±β），S（α±β）出发，如何推导出用任意角α，β的正切表示tan（α+β），tan（α-β）的公式？
1.两角和的正切公式，简记作T（α+β），tan（α+β）＝.
推导：
2.两角差的正切公式，简记作T（α+β），tan（α-β）＝.
推导：用代替
一　　利用和（差）角公式求值
<1>给角求值
常考题型
例1
给角求值的解法
（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值.
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和（差）的正（余）弦公式的形式，然后逆用公式求值.
解题归纳
训练题
2.［2020·郑州高三检测］tan 255°＝　　　　.
B
<2>给值求值
【 解】∵ <α< ，∴ < -α<0，∴ （）＝- ＝- .
∵ 0<β< ，∴ < +β<π，∴ cos（）＝- ＝- .
∴ sin（α+β）＝ （）＝
＝
＝-××.
例2
给值求值问题的解法
在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角.具体做法是：
（1）当已知角有两个时，一般把所求角表示为已知两角的和或差.
（2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
（3）常见的变角技巧有2α＝（α+β）+（α-β） ，2β＝（α+β）-（α-β） ，α＝（α+β）-β，β＝（α+β）-α等.
解题归纳
训练题
C
A
【解】∵ α ， ，∴ α-β∈（0，π）.∵ cos（α-β）＝，
∴ sin（α-β）＝ .∵ ， sin β＝-，∴ cos β＝ .
∴ sin α＝sin［（α-β）+β］＝sin（α-β）cos β+cos（α-β）sin β
=××.
又∵ α.
例3
<3>给值求角
给值求角问题的解答步骤
第一步，求角的某一个三角函数值；
第二步，确定角所在的范围；
第三步，根据角的取值范围写出所求的角.
解题归纳
训练题
D
二　利用和（差）角公式化简
例4
利用和（差）角公式化简的常用技巧
1.逆用和（差）角公式：因为和（差）角公式的原形是由简到繁的形式，逆用这些公式便可起到化简的效果.
2.变角：把已知非特殊角化为两个特殊角的和（差），然后利用和（差）角公式求解.
3.1的代换：将常数1换成tan 45°或将常数1换成sin 2α+cos 2α等.
解题归纳
训练题
B
B
三　和（差）角公式在三角形中的应用
【解题提示】　由三角形内角和为π以及诱导公式、两角和的正切公式进行化简，判断三个角正切值的符号即可得到三角形形状.
【 解】∵ A+B+C＝π，∴ -tan C＝tan （A+B），即-tan C＝ .
∵ tan Atan B>1，∴ tan A>0，tan B>0，1-tan Atan B<0.
∴ -tan C<0，tan C>0.
又∵ A，B，C∈（0，π），∴ △ABC为锐角三角形.
例5 ［2019·贵州遵义四中高一检测］已知在△ABC中，tan Atan B>1，判断△ABC的形状.
三角形中的两角和与差
在△ABC中，因为A+B+C＝π或+=所以各个角的三角函数之间
有着密切的联系，如tan A+ tan B+tan C＝tan Atan Btan C.可以通过某些角的三角函数的符号，判断三角形的形状，或者计算某个角的数值.
解题归纳
训练题
2.［2019·江苏南通高三联考］在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若sin Acos B＝3sin Bcos A，B＝A ，则B＝　　　　.
B
四　辅助角公式的应用
【解析】 ∵ f（x）＝ +sin 2x+ -a =2
∴ 当x∈ 时，2x+ ∈ .则当2x+ ＝ ，
即x＝ 时，f（x）有最大值2+ -a.由2+ -a＝2，得a＝ .
【答案】C
例6 ［2019·湖北仙桃高三期末］已知函数f（x）＝ +sin 2x+ -a在x∈ 上有最大值2，则a＝ （　　）
A. B . C . D .
训练题
函数f（x）＝sin x-cos x的递增区间是 .
辅助角公式的作用
1.辅助角公式asin x+bcos x＝ · sin（x+φ）是逆用了两角和的正弦公式，这一变换的重要作用是“化一角一函数”来研究三角函数的性质.
2.对于形如sin α±cos α， sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与
特殊角的关系，运用和差角的正、余弦公式化简为含有一个三角函数的
形式.在解法上
充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，
一定要本着先整体后局部的原则.
解题归纳
小结
三组公式
1. 记忆口诀：正余余正符号同
2. 记忆口诀：余余正正符号反
3.= 记忆口诀：切切相加减除以1与两切之积相减加
公式变形
1.
2.
3.=1-
角的常用变换
1. 2.＝
3. 4.
5. ＝ 6. ＝
7. 8.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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