【课件】5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（课时2） 高中数学-RJA-必修第一册(共32张PPT)

(共32张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
5.5　三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五章 三角函数
学习目标
1.经历用单位圆以及圆的旋转对称性推导出两角差的余弦公式的过程.
2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式进行简单的三角函数的化简、求值、证明.
重点：引导学生通过独立探究和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础.
难点：两角差的余弦公式的探究.
知识梳理
推导：
sin（α+β）＝sin αcos β+cos αsin β，当α＝β时，sin 2α＝2sin αcos α；
cos（α+β）＝cos αcos β-sin αsin β，当α＝β时，cos 2α＝cos2 α-sin2 α ；
，当α＝β时， .
二倍角的正弦、余弦、正切公式
利用S（α±β），C（α±β），T（α±β）推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式
课 时 2
通过推导，可以得到：
sin 2α＝2sin αcos α， （S2α）
cos 2α＝cos2α-sin2α， （C2α）
. （T2α）
如果要求二倍角的余弦公式（C2α）中仅含α的正弦（余弦），那么又可得到：
cos 2α＝1-2sin2α， cos 2α＝2cos2α-1.
以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.（这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去.）·
二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是 的二倍等，“倍”是描述两个数量之间的关系的，这里蕴含着换元思想.
对于S2α和C2α，α∈R，但是在使用T2α时，要保证分母1-tan2α≠0且tan α有意义，即α≠kπ+ 且α≠kπ- 且α≠kπ+ （k∈Z）.当α＝kπ+ 及α＝kπ- （k∈Z）时，tan 2α的值不存在；当α＝kπ+ （k∈Z）时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.
一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.
倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin 3αcos 3α＝ sin 6α.
从和（差）角公式、倍角公式的推导过程可以发现，归纳总结这些公式存在紧密的逻辑联系：
一　　利用二倍角公式求值
<1>给角求值
常考题型
例1
利用二倍角公式给角求值的基本思路
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
解题归纳
训练题
<2>条件求值
条件求值问题解法
条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.
解题归纳
训练题
D
A
B
二　利用二倍角公式化简
三角函数式的化简要求
①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.
三角函数式的化简方法
①弦切互化，异名化同名，异角化同角.
②降幂或升幂.
③一个重要结论：（sin θ±cos θ）2＝1±sin 2θ.
解题归纳
训练题
A
三　二倍角公式的灵活应用
例4
二倍角公式的应用技巧
二倍角公式在三角函数的求值、化简、证明中应用十分广泛，公式的应用也十分灵活，常见的应用技巧有以下几种：
1.二倍角的相对性：2α是α的二倍；α是的二倍； 是的二倍，如此等等.
2.公式的逆用：二倍角公式的逆用非常广泛，逆用时要特别注意式子的结构特征，有时需要配凑系数或符号.
3.公式的变用：二倍角公式是一组要求很高的公式，不仅要会逆用，还要会变用，特别是二倍角的余弦，变形很多，应熟练掌握.
如sin αcos α＝sin 2α；sin 2α-cos 2α＝-cos 2α；sin 2α＝；cos 2α＝ 等等.
解题归纳
训练题
BC
四　二倍角公式的综合应用
【 解析】
【答案】A
例5 ［2019·河北张家口高一期末］函数f（x）＝sin2x+ sin xcos x在区间 上的最大值是 （　　）
A. B.1 C. D.
用二倍角公式解决三角函数性质问题的方法
1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型（正弦型）函数，这是解决问题的前提.
2.解决有关三角函数的最值问题，一般需利用三角函数的有界性来解决，利用三角函数变换化多个三角函数为一个三角函数.如果含有二次方，一般要换元、配方借助于二次函数解决.
解题归纳
训练题
1. ［2019·广东雷州高三期末］当x＝θ时，函数f（x）＝2+sin x-4cos2 取得最大值，则cos θ＝　　　　.
解题归纳
小结
1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
sin 2α＝2sin αcos α，
cos 2α＝cos2α-sin2α，
.且，
2、注意正 用 、逆用、变形用
cos 2α＝1-2sin2α＝2cos2α-1.
3、公式变形
升幂降角公式
降幂升角公式
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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