【课件】4.2 指数函数 高中数学-RJA-必修第一册 (共43张PPT)

(共42张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
4.2　指数函数
第四章 指数函数与对数函数
学习目标
1.理解指数函数的概念与意义.
2.能借助计算器与计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.
重点：指数函数的概念和图象.
难点：指数函数性质的应用.
知识梳理
一般地，函数（>0，且≠1）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R.
一、指数函数的概念
二、指数函数的图象和性质
0<<1 >1
图象
定义域 R 值域 （0，+∞） 性质 （1）过定点 ，即x＝0时，y＝1 （2） 函数 （2） 函数
增
减
（0，1）
一　指数函数的概念
常考题型
例1 函数·是指数函数，则的值为（　　）
A.1或2 B.1
C.2 D.>0且≠1的所有实数
【解析】　∵·是指数函数，∴=1, 解得a＝2，故选C.
【答案】　C
◆指数函数的判断方法
1.看形式，判断一个函数是否为指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax（a>0，且a≠1）这一结构形式.
2.明特征，指数函数y＝ax具有以下特征：
①底数a为大于0且不等于1的实数；
②指数位置是自变量x，且x的系数是1；
③ax的系数是1.
◆正确区分指数函数和指数型函数
1.形如y＝ax（a>0且a≠1）的是指数函数.
2.形如y＝b·ax+c（a>0，a≠1，b≠0，c≠0）的是指数型函数.
训练题
1.下列函数中为指数函数的有（　　）
①；②y＝ ；③；④（>0且≠1）；⑤；⑥；⑦.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
A
A
二、指数函数的图象及其应用
1.图象的画法及识别
例2 ［2020·辽宁大连育明高中高一检测］若函数f（x）＝（x-a）（x-b）（a>b）的图象如图所示，则g（x）＝a-x+b的图象可能是 （　　）
　
　
　　
A B C D
【解析】根据函数f（x）＝（x-a）（x-b）（a>b）的图象知
a>1，-1根据函数平移变换知选项C满足条件，故选C.
【答案】C
◆指数（型）函数图象的画法
1.三点法
在平面直角坐标系上通过描出，（0，1）（1，a）三个点并连线，从而画出指数函数的大致图象.
2.变换作图法
（1）平移变换：将函数y＝f（x）的图象向右平移m（m>0）个单位长度得到函数y＝f（x-m）的图象（若m<0，就是向左平移|m|个单位长度），将函数y＝f （x）的图象向上平移n（n>0）个单位长度，得到函数y＝f（x）+n的图象（若n<0，则向下平移|n|个单位长度）.
（2）对称变换：
①函数y＝f（x）的图象与函数y＝f（-x）的图象关于y轴对称，函数y＝f（x）的图象与函数y＝-f（x）的图象关于x轴对称，函数y＝f（x）的图象与函数y＝-f（-x）的图象关于原点对称.
②函数y＝f（|x|）是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f（x）位于y轴右侧的图象保留，然后将y轴右侧的图象沿y轴翻折到左侧，就得到函数y＝f（|x|）的图象.
③函数y＝|f（x）|的图象是将函数y＝f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变.
训练题
1.［2020·天津一中高二期末］已知函数f（x）＝3-x+a的图象经过第二、三、四象限，g（a）＝f（a）-f（a+1），则g（a）的取值范围是　　 　　.
2.［2020·合肥高一检测］函数y＝f（x）＝|ax-a|（a>0且a≠1）的图象可能为 （　　）
　　　　　
　
　
A B C D
　
　
A B C D
C
C
◆辨识函数图象的常用方法
1.从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置.
2.从函数的单调性，判断图象的变化趋势.
3.从函数的奇偶性，判断图象的对称性.4.从函数的特征点，排除不合要求的图象.
2. 图象过定点问题
例3 ［2019·山东师范大学附属中学高一检测］函数的图象恒过点　　　　.
【解析】当，即时，为常数，此时＝1-4＝-3，即函数 的图象恒过点.
【答案】 　
◆指数型函数图象过定点问题的思路
由于指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图象过定点（0，1），因此讨论与指数函数有关的函数图象过定点问题，我们只需令指数为0，解出相应的x，y的值，即可确定定点的坐标.
训练题 ［2019·沈阳高一期末］函数f（x）＝2ax+2-1（a>0，且a≠1）的图象恒过的点坐标是 （　　）
A.（-2，-1） B.（-2，1） C.（-1，-1） D.（-1，1）
B
3. 图象的应用
例4 ［2020·云南省玉溪第一中学高一检测］已知f（x）＝|3x-1|+1，若关于x的方程［f（x）］2-（2+a）f（x）+2a＝0有三个实根，则实数a的取值范围是 （　　）
A.12 C.21
【解题提示】由题得f（x）＝2或f（x）＝a，|3x-1|＝1有一个解，命题等价于方程|3x-1|＝a-1有两个不同的实根，利用数形结合求出a的取值范围.
【解析】由题得［f（x）-2］［f（x）-a］＝0，
所以f（x）＝2或f（x）＝a，所以|3x-1|+1＝2或|3x-1|+1＝a，
所以|3x-1|＝1或|3x-1|＝a-1，|3x-1|＝1 有一个根，
所以方程|3x-1|＝a-1有两个不同的实根，
函数y＝|3x-1|的图象如图所示，所以0故选A.
【答案】A
◆应用函数图象的常用方法
1.抓住图象上的特殊点；
2.利用图象的变换；
3.利用函数的奇偶性与单调性.
训练题
1.若直线与函数（>0，且≠1）的图象有两个公共点，则的取值
范围是　　　　.
A
三、与指数函数有关的定义域和值域问题
1.形如的函数的定义域和值域
【解】（1）由-4≠0，得≠4，∴的定义域为{|∈R，且≠4}.
又≠0，即 ≠1，∴ 的值域为{|>0，且≠1}.
（2）函数的定义域为R.∵ x2-2x-3＝（x-1）2-4≥-4，
∴ ≤＝16.又∵ >0，∴ y＝ 的值域为（0，16］.
例5 求下列函数的定义域和值域.
（1）； （2）.
◆形如的函数的定义域和值域的求法
1.函数y＝a f（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
2.求函数y＝a f（x）的值域，需先确定函数f（x）的值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝a f（x）的值域.
2.［2019·江西新余四中高一检测］求下列函数的定义域和值域.
（1）； （2） .
［解］（1）定义域为R.
∵ ≥0，∴ ＝ ≥ ＝1.
∴ 值域为{|≥1}.
（2）定义域为R.∵ ，∴ ≤2，即≤2.
故函数的值域为（0，2］.
{x|x≠±1}
∪（1，+∞）
2.形如的函数的定义域和值域
【答案】（1）A　（2）D
◆形如y＝f（ax）的函数的定义域和值域的求法
1.求函数y＝f（ax）的定义域，需先确定函数y＝f（u）的定义域，即u的取值范围，亦即函数u＝ax的值域，由此构造关于x的不等式（组）确定x的取值范围，得到函数y＝f（ax）的定义域；
2.求函数y＝f（ax）的值域，需先利用函数u＝ax的单调性确定u的取值范围，再确定函数y＝f（u）的值域，即为函数y＝f（ax）的值域.
【知识拓展】
设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，则这种对应关系是一个函数，通常称为取整函数，也叫高斯函数，记作y＝［x］.
其定义域是R，值域为Z，图象为“阶梯曲线”.
训练题
A
2.已知求函数的最值.
【解】 .
∵ ，∴ ，∴.
∴ 当，即＝1时，取得最小值；
当＝4，即时，取得最大值13.
四　指数函数的性质及其应用
1. 利用指数函数的单调性研究最值问题
例7 已知函数在［1，2］上的最大值比最小值大，求的值.
【解】①当00，a≠1）在［1，2］上的最大值f（x）max＝f（1）＝a1＝a，最小值f（x）min＝f（2）＝a2，∴ a-a2＝，解得a＝或a＝0（舍去）.
②当a>1时，函数f（x）＝ax（a>0，a≠1）在［1，2］上的最大值f（x）max＝f（2）＝a2，最小值f（x）min＝f（1）＝a1＝a，∴ a2-a＝，解得a＝或a＝0（舍去）.
综上所述，a的值为或.
◆指数函数的最值问题
由于指数函数在定义域R上是单调函数，因此在R上的子集——闭区间上也是单调函数，且在闭区间的两个端点处分别取到最大值和最小值，应特别注意的是，当底数未知时，要对底数分情况讨论.
训练题
A
2. 利用指数函数的单调性比较大小
例8 ［2019·浙江台州书生中学高一月考］已知a＝0.3-2，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 （　　）
A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c
【解析】　∵ b＝ 1，∴ a>c>b.故选B.
【答案】　B
◆利用指数函数的单调性比较大小的方法
1.比较两个幂的大小常用的方法：
①作差（商）法；②函数单调性法；③中间值法.
2.注意点：①对于底数相同，指数不同的两个幂，可以利用指数函数的单调性来比较.②对于底数不同，指数相同的两个幂，可以利用指数函数图象的变化规律来比较.③对于底数不同且指数也不同的两个幂，可以通过中间值来比较.
④对于三个（或三个以上的）数，则应先根据值的大小（特别是与0，1作大小比较）进行分组，再比较各组数的大小.
训练题
1.已知a＝22.5，b＝2.50，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a>c>b B.c>a>b C.b>a>c D.a>b>c
2.［2019·山东师范大学附属中学高一检测］设y1＝40.9，y2＝80.61，y3＝，则（　　）
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1
3. 利用指数函数的单调性解不等式问题
例9 ［2019·内蒙古鄂尔多斯高三检测］不等式>3-2x的解集是（　　）
A.{x|-2-2}
【解题提示】　利用指数函数的单调性化指数不等式为一元二次不等式求解.
【解析】　由 >3-2x，得 >3-2x，∴ 8-x2>-2x，即x2-2x-8<0，
解得-2∴ 不等式 >3-2x的解集是{x|-2【答案】　A
◆指数不等式的类型及解法
1.形如ax>ay的不等式，借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，那么需分a>1和02.形如ax>b的不等式，应先将b化成以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解.
3.形如ax>bx的不等式，需利用函数图象求解.
A
五　指数型复合函数的单调性和奇偶性
1. 指数型复合函数的单调性和最值问题
例10 ［2019·吉林省实验中学高一检测］函数f（x）＝ 的单调减区间为（　　）
A.（-∞，2］ B.［1，2］
C.［2，+∞） D.［2，3］
【解析】　由题中的复合函数的底数大于0且小于1，
知要求g（x）＝的增区间.
画出二次函数h（x）＝-x2+4x-3的图象如图所示.
由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知1≤x≤2.所以选B.
【答案】　B
◆求解指数型复合函数的单调性的一般方法
1.指数函数y＝ax（a>0且a≠1）的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系，当01时，y＝ax为单调增函数.
2.与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，解决方法一般是利用函数单调性的定义.
3.特别地，对于形如f（x）＝a g（x）（a>0且a≠1）的函数，可以利用复合函数的单调性，先判断指数函数y＝a x及函数g（x）在定义域内的单调性，再根据“同增异减”得出f（x）的单调性.
训练题
1. 判断函数y＝的单调性.
2.［2019·河北辛集高一检测］函数f（x）＝在区间［1，2］上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A.a≤-4 B.a≤-2 C.a≥-2 D.a>-4
【解】令t＝，t>0，则y＝t2-2t+2.
又t＝ 在R上是减函数，y＝t2-2t+2在（0，1］上是减函数，在［1，+∞）上是增函数，
所以函数y＝ 在（-∞，0］上是减函数，在［0，+∞）上是增函数.
2. 指数型复合函数的奇偶性和单调性的综合问题
例11 ［2019·安徽江淮名校高三联考］已知函数f（x）＝，则f（x）是（　　）
A.奇函数，且在R上是增函数 B.偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
C.奇函数，且在R上是减函数 D.偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
【解题提示】　先判断定义域是否关于原点对称，进而利用f（-x）±f（x）与0的关系可得函数的奇偶性，再由复合函数单调性的判断方法可判断函数的单调性.
【解析】　f（x）的定义域为R，关于原点对称，
f（-x）＝ ＝有f（-x）+f（x）＝0，
所以f（x）是奇函数，函数f（x）＝显然是减函数.
【答案】　C
◆判断函数奇偶性要注意的问题
1.坚持“定义域优先”的原则.
如果定义域不关于原点对称，那么可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数.
2.正确利用变形技巧.
分析f（x）和f（-x）的关系，必要时可利用f（x）±f（-x）＝0判定.
3.巧用图象的特征.
在解答有图象信息的选择题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判定.
训练题
2.已知函数f（x）＝（a>1）.
（1）判断函数f（x）的奇偶性.
（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数.
（3）求f（x）的值域.
（1）【解】函数的定义域为.
f（-x）＝ ＝ ＝＝-f（x），所以函数f（x）是奇函数.
（）
（2） 【证明】 f（x）＝ ＝ ＝1- ，
任取x1，x2∈R，且x1因为a>1，x10，，
所以f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）（3） 【解】 （方法一：直接法）由（2）得f（x）＝1- .因为ax>0，所以ax+1>1，所以0< <1，所以0< <2，所以-1<1- <1，所以f （x）的值域为（-1，1）.
（方法二：反表示法）令y＝ ，得yax+y＝ax-1，即（1-y）ax＝y+1，所以ax＝>0，
所以-1小结
1.指数函数的概念
指数函数的结构特征
（1）解析式中ax的系数为1；（2）底数a是常数，满足a>0，且a≠1；
（3）自变量x是指数，且x∈R.
2.指数函数的图象与性质
0<<1 >1
图象
定义域 R 值域 （0，+∞） 性质 （1）过定点（0，1），即x＝0时，y＝1 （2）减函数 （2）增函数
（1）常用结论
（1）y＝f（x）与y＝f（-x）的图象关于y轴对称.
（2）y＝f（x）与y＝-f（x）的图象关于x轴对称.
（3）y＝f（x）与y＝-f（-x）的图象关于原点对称.
（2）指数函数性质的记忆口诀
指数增减要看清，抓住底数不放松；
底数总是大于0，不等于1已表明；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过（0，1）点.
3.指数函数性质的应用
比较幂值大小的方法
（1）底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.
（2）底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决.在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数取值所对应的函数值即可.
（3）底数不同、指数也不同：采用介值法（中间值法）.取中间值1，其中一个大于1，另一个小于1.
谢谢