【课件】1.1集合的概念 基本不等式 高中数学-RJA-必修第一册(共43张PPT)

(共43张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
1.1　集合的概念
第一章 集合
学习目标
1.了解集合的含义，了解常用数集及其记法.
2.理解元素与集合的关系，能判断某一元素“属于”或“不属于”某一集合.
3.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受三种语言的意义和作用.
重点：了解集合的含义及表示，会用集合语言表达数学对象或内容.
难点：区别元素与集合的概念，如何选择恰当的方法表示集合.
什么是集合？
集合有哪些特性？
知识梳理
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）.
一、集合与元素的相关概念
集合是数学中的基本概念，它具有三个特性：
（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明.
（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.
（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.
互异性的主要作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数（即字母）时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性.
(3)无序性：集合中的元素是_______，如{a，b，c}与{c，b，a}是同一集合．
确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这组对象具有确定性
时才能构成集合.界定模糊的元素不能构成集合.如“小河流”“难题”等.
无序性的主要作用是方便定义集合相等.当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等.{1，2，3}与{3，2，1}表示同一集合.
确定的
互不相同的
无序的
二、集合中元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是___________．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是 ．
数的集合简称数集.下面是一些常用的数集及其记法：
自然数组成的集合简称自然数集，记作 ；
正整数组成的集合简称正整数集，记作 ；
整数组成的集合简称整数集，记作 ；
有理数组成的集合简称有理数集，记作 ；
实数组成的集合简称实数集，记作 .
三、常用数集及其记法
N
N+或N*
Z
Q
R
四、集合的表示法
除用自然语言描述集合之外，常用表示法还有列举法和描述法.
1.列举法
像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
注意：（1）花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义.
（2）元素间用“，”隔开.
2.描述法
一般地，设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征P（x）的元素x 所组成的集合表示为　{x ∈ A|P（x）}，
这种表示集合的方法称为描述法.
用描述法表示集合需注意的问题
（1）竖线前写清代表元素的符号.如
{x|y＝}，{y|y＝ }，{（x，y）| y＝ }分别是三个不同的集合.
（2）竖线后用简明、准确的语言描述
元素的共同特征，如元素满足的方程、不等式、几何图形等.
（3）不能出现未被说明的字母，如{x|x＝2k}中未说明k的取值情况，故集合中元素不确定.
（4）所有描述内容都要写在花括号
内.如写法{x|x＝2k+1}，k∈Z不符合要求，应写为{x|x＝2k+1，k∈Z}.
（5）同一个集合可以有不同的表述形式.如{x|x≥0}，{y|y≥0}，{y|y＝x2，x∈R}表示的是同一个集合.
（6）元素的取值范围，从上下文关系看若是明确的，则可省略不写.如在实数集R中取值，“∈R”常省略不写，{x∈R|x>1}常写为{x|x>1}.
（7）多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示元素关系的词语.如{x|x<-1或x>2}.
例1 ［2020·山东兰陵一中高一检测］下列对象能构成集合的是 （　　）
A.高一年级比较帅气的男生
B.图书馆中好看的书
C.全体很大的自然数
D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
题型一　元素和集合的含义
常考题型
【解析】　A中的“比较帅气”，B中的“好看”和C中的“很大”没有一个明确的标准，所以A，B，C中的对象不能构成集合，D中的元素能构成集合.故选D.
【答案】　D
◆一组对象能否构成集合的判断方法
判断指定的一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是否满足集合中元素的“确定性”，即能否找到一个明确的标准， 使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.
集合{x-1，x2-1，2}中的x不能取的值是 （　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
现有以下说法，其中正确的是 （　　）
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合.
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
训练题
2.
1.
D
B
［2020·黑龙江青冈一中高一检测］给定下列元素组成的四个集合：
①长方形；②方程x2-2x-3＝0的实根；
③小于20的质数；④比2小的有理数.
其中为有限集的是 （　　）
A.①② B.②③ C.③④ D.①③
3.
B
◆确定集合中元素个数的方法
（1）分析元素特征，明确集合元素是点集、数集，还是其他集合.
（2）列举出所有元素，检验集合元素是否满足互异性.
（3）若集合中的元素含有参数，则关键是抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.
题组二　元素、集合及其关系的表示
<1>元素与集合的符号表示
例4
用符号∈和?填空.
（1）0　　　　N+， 　　　　N+，（-1）0　　　　N+；
（2）设集合D是由满足y＝x2的有序实数对（x，y）组成的，
则-1　　　　D，（-1，1）　　　　D；
（3）设集合M是由可表示为a+ b（a∈Z，b∈Z）的实数构成的，
则0　　　　M，　　　　M， 　　　　M.
【解析】　（1）中，0不是正整数，则0N+，不是正整数，
则 N+，（-1）0＝1，是正整数，所以（-1）0∈N+.
（2）中，-1不是有序实数对，所以-1D，
（-1，1）满足y＝x2，所以（-1，1）∈D.
（3）中，因为0＝0+0× ，所以0∈M.
因为 ＝1+1× ，所以 ∈M.
因为＝ +1× ， Z，所以M.
【答案】　（1）　∈　（2）?　∈　（3）∈　∈　?　
◆判断元素与集合关系的两种方法
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. 此时应先明确集合是由哪些元素构成的.
（2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的共同特征即可. 此时应先明确已知集合的元素具有什么共同特征， 即该集合中元素要满足哪些条件.
（1）［2020·济南外国语学校高一检测］下列关系中正确的是（　　）
A.0∈N* B. ∈Q C.0∈N D.1∈{（0，1）}
（2）［2020·福建泉州五中高一检测］下列元素与集合的关系表示正确的是（　　）
①-1∈N*；② Z；③ ∈Q；④π∈Q.
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
C
训练题
B
<2>元素与集合关系的判断
例5
训练题
D
解析：当x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M；当x，y，z中有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为-4.只有选项D正确，故选D.
<3>已知元素与集合的关系求参数
例6
［2020·上海市闵行中学高一检测］已知集合M＝{1，m+1，m2+4}，如果5∈M，那么m＝　　　　.
【解析】　集合M＝{1，m+1，m2+4}，5∈M且-2?M，所以若m+1＝5，解得m＝4；若m2+4＝5，解得m＝±1，所以m的值为4或1或-1.
【答案】　4或1或-1
（1）［2020·湖北沙市中学高一期末］已知集合A＝{2，4，6}， 且当a∈A时，6-a∈A，则a为 （　　）
A.2 B.4 C.0 D.2或4
（2）［2020·上海市高东中学高一检测］设集合P＝{x|ax+2>a}，如果3?P，那么a的取值范围为　　　　.

训练题
D
a≤-1
◆已知元素a 与集合A 的关系，求参数的策略
（1）当a ∈ A 时，若集合A 是用描述法表示的，则a 一定满足集合A 中元素的共同特征，如满足方程（组）、不等式（组）等； 若集合A 是用列举法表示的，则a 一定等于集合A 中的某个元素.
（2）当a ? A 时，结论相反.
利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可.
题组三　 集合的表示方法
<1> 用列举法和描述法表示集合
例7选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集.
（1）大于1且小于70的正整数构成的集合；
（2）方程x2-2x+1＝0的实数解构成的集合；
（3）方程组的解的集合；
（4）［2020·上海市行知中学高一检测］用描述法表示
图中的阴影部分（包括边界）.
【解】　（1）设大于1且小于70的正整数构成的集合为A，
则可用描述法表示为A＝{x|1（2）设方程x2-2x+1＝0的实数解构成的集合为B，
因为Δ＝4-4＝0，所以该方程有两个相等的实数根，为1，所以B＝{1}，是有限集.
（3）由得
故方程组的解的集合可用描述法表示为 {（x，y）|} ，
也可用列举法表示为{（4，-2）}，是有限集.
（4）由于阴影部分所在象限为第一、三象限，且在x，y轴上都有点，故xy≥0.根据图象可知
-1≤x≤，-≤y≤1，所以用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）为
用描述法表示下列集合：
（1）小于10的所有非负整数的集合；
（2）平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
（3）方程组的解的集合.
训练题
解：（1）小于10的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x|0≤x<10，x∈Z}.
（2）平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{（x，y）|xy<0}.
（3）方程组的解的集合，用描述法表示为.
◆表示集合的三种常用方法
（1）列举法：适用于元素个数较少的有限集或元素个数较多但有规律的有限集或无限集. 其方法如下：
把集合中的元素一一列举出来，用“，” 隔开，并写在“{ 　}”内.
（2）描述法：适用于任何集合，特别是元素具有明显共同特征的集合. 其方法如下：
先在花括号里写上表示这个集合中元素的一般符号及取值（或变化范围），再画一条竖线“|”，在竖线“|”后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
（3）Venn 图法：用封闭曲线表示集合.
<2> 两种表示方法的转化及应用
例8 ［2020·广东东莞高一检测］用列举法表示集合M＝
＝　　　　.
【解题提示】　利用题目条件，依次代入，使 ∈N，m∈Z ，从而确定m的值，即可得到所求集合.
【解析】　∵ ∈N，m∈Z，∴ m+2为10的正因数，
∴ m+2＝1，2，5，10，∴ m＝-1，0，3，8 .
【答案】　{-1，0，3，8}
训练题
（1）用列举法表示集合{x∈N*|x-3<2}为　　　 　.
（2）对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（　　）
A.{x|x是小于18的正奇数} B.{x|x＝4k+1，k∈Z，且k<5}
C.{x|x＝4t-3，t∈N，且t≤5} D.{x|x＝4s-3，s∈N*，且s≤5}
{1，2，3，4}
D
题组四　集合的表示法的应用
<1>确定集合中的元素
例9 ［2020·上海市进才中学高三检测］设A＝{4，5，6}，B＝{1，2，3}，则集合C＝{x|x＝m-n，m∈A，n∈B}中的所有元素之和为 （　　）
A.15 B.14 C.27 D.-14
【解题提示】　依据描述法的定义用列举法确定出集合C的元素，再求集合C中各元素之和.
【解析】　∵ A＝{4，5，6}，B＝{1，2，3}，C＝{x|x＝m-n，m∈A，n∈B}，
当m＝4，n＝1，2，3时，x＝3，2，1；
当m＝5，n＝1，2，3时，x＝4，3，2；
当m＝6，n＝1，2，3时，x＝5，4，3；
又由集合元素的互异性可知C＝{1，2，3，4，5}，
∴ 集合C中的所有元素之和＝1+2+3+4+5＝15.
【答案】　A
（1）［2020·山东沂水一中高一检测］设集合A＝{-1，1，2}，集合B＝{x|x∈A且2-x?A}，则B＝ （　　）
A.{-1} B.{2} C.{-1，2} D.{1，2}
（2） ［2019·江西新建一中高一检测］ 已知集合A＝{1，2}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为 （　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
（3）［2020·河北衡水中学高一检测］已知集合A＝{（x，y）|x+y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为　　　　.
训练题
C
D
6
<2>含参数的集合问题
例10 已知集合A＝{x|ax2-3x+2＝0，x∈R}.
（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值，并写出该元素；
（2）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围.
【解题提示】　 （1）分a＝0和a≠0两种情况讨论求解.
（2）集合A中有两个元素，此时a≠0，进行求解.
【解】　（1）当a＝0时，方程为一元一次方程-3x+2＝0，解得x＝，此时A＝{}，符合题意；
当a≠0时，因为A中只有一个元素，所以方程有两个相等的实根，
则Δ＝（-3）2-8a＝0，解得a＝，此时A＝符合题意.
综上所述，当a＝0时，集合A中只有一个元素；当a＝时，集合A中只有一个元素.
（2）当集合A中有两个元素时，即方程ax2-3x+2＝0有两个解，a满足解得a<.实数a的取值范围是.
（1）［2020·上海市七宝中学高三检测］设集合A＝{x|x2-2x+a＝0}，若3∈A，则集合A可用列举法表示为　　　　.
（2）［2020·上海市向明中学高一检测］已知a∈Z，A＝{（x，y）|ax-y≤3}，且（2，1）∈A，（1，-4）?A，则满足条件的a的值为　　　　.
训练题
{3，-1}
0，1，2
小结
1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.
2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a A.
3.集合中元素的三个特性
(1)确定性 (2)互异性 (3)无序性
4. 列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集.
5.在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，不被表面的字母形式所迷惑.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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