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数学-RJ·A-必修第一册
1.2 集合间的基本关系
学习目标
1.理解集合之间的包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集.
3.能使用Venn图表达集合的关系.
4.了解空集的含义.
重点:理解集合间包含与相等关系.
难点:区别属于与包含的概念及其符号表示.
知识梳理
一、子集
对于两个集合A,B,如果集合A中 元素都是集合B中的元素,我们
就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作 (或 ),
读作“ ”(或“ ”).
子集的有关性质:
(1)任何一个集合是它本身的子集,即 .
(2)对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么 .
(3)若A B,B A,则A=B.
任意一个
A B
B A
A包含于B
B包含A
A A
A C
一般地,用平面上 曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.
封闭
二、Venn图
三、集合相等
如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,那么集合A 与集合B 相等,记作 .
也就是说,若A B,且 B A ,则 .
A=B
A=B
如果集合A B,但存在元素 ,称集合A是集合B的真子集,
记作 ( 或 ),读作 (或 ).
A真含于B
A B
x∈B,且x A
B真包含A
四、 真子集
A B
五、空集
定义 的集合叫做空集
符号 用符号表示为___
规定 空集是任何集合的 ,是任何非空集合的真子集
不含任何元素
子集
例1 [2020·江西省高安中学高一检测]下列表示元素与集合或集合与集合之间的关系中,正确的是 ( )
A.{2}∈{1,2} B.∈{1,2} C.3{x|x>-1} D.{x|x<0}{x|x2>0}
题组一 集合间基本关系的表示及判断
<1>用恰当的符号表示集合间的关系
常考题型
【解析】 A. {2}是集合,不能属于集合{1,2},错误;
B.是集合,不能属于集合{1,2},错误;
C. 3>-1,3是集合{x|x>-1}的元素,故3∈{x|x>-1},错误;
D.{x|x<0}{x|x2>0}={x|x>0或x<0},正确.
【答案】 D
训练题
2.
1.下列六个关系式:①{a,b}{b,a};②{a,b}={b,a};③{0}=;④0∈{0};⑤∈{0};⑥{0}.其中正确的个数为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.少于4
C
①②③
<2>集合间基本关系的判断
例2 设集合M={x|x=4n+1,n∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z},则( )
A.MN B.N M C.MN D.N M
【解析】 (方法一)由列举法知M={…,-7,-3,1,5,9,…},N={…,-3,-1,1,3,5,…},故M N.
(方法二)因为集合M={x|x=2×2n+1,n∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z},所以M N.
【答案】 A
◆判断集合间关系的常用方法
1.列举观察法
当集合中元素较少时,可列出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系.
2.元素特征法
当两集合的代表元素一样(集合属性相同,同为数集或同为点集)时,可利用集合元素的特征判断关系.
一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
①若p(x)q(x),则AB;②若q(x) p(x),则BA;
③若p(x)q(x),则A=B;④若p(x)q(x),且q(x)p(x),则集合A,B无包含关系.
◆判断集合间关系的常用方法
3.数形结合法
利用数轴或Venn图.
判断不等式解集间的关系适合用数轴法.
若AB和AB同时成立,则A B更能准确地表示集合A,B之间的关系.
1. [2020·黑龙江哈师大附中高一检测]若集合P=,Q={x|35-12x+x2≤0},则P与Q的关系是( )
A.P=Q B.PQ C.PQ D.PQ
训练题
D
2.集合A={x|x=n·180°+ (-1) n·90°,n∈Z}与B={x|x=m·360°+90°,m∈Z}之间的关系是( )
A.AB B.B A C.A=B D.AB
C
3. [2020·辽宁高一检测]已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是 .
B
A B C D
题组二 集合的相等关系
<1>判断两个集合是否相等
例3 下列各组中的两个集合相等的有 ( )
①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};②P={x|
x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*};③P={x|x2-x=0},
Q= {x|x=,n∈Z} .
A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②
【解析】 ①中对于Q,因为n∈Z,所以n-1∈Z,所以Q表示偶数集.
因为P也表示偶数集,所以P=Q.
②中P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,…所有大于1的正奇数组成的集合,1?Q,所以集合P与集合Q不相等.
③中P={0,1},Q中当n为奇数时,x= =0;当n为偶数时, x= =1,Q={0,1},所以P=Q.
【答案】 B
◆判断集合是否相等的三种方法
1.将两个集合中的元素一一列出,进行比较;
2.观察集合中的代表元素是否一致(等价),且元素特征是否一致,若均一致,则两集合相等;
3.依据集合A,B是否满足AB,且B A来判断.
训练题
[2020·河北安平中学高一月考]下列各组集合中,表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={1,2},N={(1,2)}
B
<2>根据两个集合相等求参数
例4 [2020·河南省实验中学高一检测]含有三个实数的集合既可表示为,也可表示为{a,a+b,1},则a+b的值为 .
【解题提示】 根据集合相等和元素的互异性,即可求解a,b的值,得到答案.
【解析】 由题意 ={a,a+b,1},可得a≠0,
根据集合相等和元素的互异性,可得a+b=0且b=1,解得a=-1,b=1,
此时集合 ={1,-1,0},{a,a+b,1}={-1,1,0},所以a+b=0.
【答案】 0
◆已知集合相等求参数的方法
1.只要构成两个集合的元素一样,两个集合就相等,与元素的顺序无关.
2.已知两集合相等求参数的步骤:
(1)确定两个集合中相等的元素;
(2)将含参数未明确建立联系的两个集合中的元素分情况讨论,列出含参数的方程(组);
(3)解方程(组)求出参数;
(4)根据元素的互异性进行检验.
训练题
(1)[2020·陕西高一月考]若集合={0,1,-1},则a= ;b= .
(2)[2020·江苏高一月考]已知A={1,x,y},B={1,x2,2y},若A=B,则x-y=( )
A. B.1 C. D.
1
-1
C
题组三 集合的子集、真子集
<1>确定子集、真子集及其个数问题
例5 [2020·江西省彭泽县一中高一月考]已知集合A满足{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5,6},则A的个数有 ( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【解析】 (方法一)因为{1,2,3}?A,所以集合A中一定含有元素1,2,3.
又因为A?{1,2,3,4,5,6},所以集合A中最多含4,5,6中的2个元素,所以满足条件的集合A有{1,2,3},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,5,6},共7个.故选B.
(方法二)集合A 中一定含1,2,3,可能含4,5,6,但不同时含4,5,6,由此可得满足条件的集合A的个数就是集合{4,5,6}的真子集的个数.共有23-1=7(个).
【答案】 B
◆确定子集、真子集个数的方法
1.当一个集合的元素个数较少时,我们可以写出它的全部子集,从而得出子集与真子集的个数.
2.当一个集合的元素个数较多时,一一写出子集不太现实,对于其子集的个数有如下结论:(1)含有n个元素的集合有2n个子集;
(2)含有n个元素的集合有(2n-1)个真子集;
(3)含有n个元素的集合有(2n-1)个非空子集;
(4)含有n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集;
(5)若集合A含有n(n≥1)个元素,集合C含有m(m≥1)个元素,且AB C,则符合条件的集合B有2m-n个.
训练题
1.(1)[2020·贵州省思南中学高一检测]设集合B=,则集合B的子集个数为( )
A.3 B.4 C.8 D.16
(2)[2020·上海市向明中学高一月考]集合A={x|4-|2x-1|∈N*},则A的非空真子集的个数是( )
A.62 B.126 C.254 D.510
(3)[2020·宁夏银川一中高一检测]设集合A={x∈N|(x+1)(x-2)≤0},则集合A的真子集的个数是 .
7
D
B
训练题
2. (1)[2020·河南高一月考]设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},集合M的真子集的个数为 .
(2)[2020·浙江高一检测]已知集合P={1,2,3,4,5},若A,B是P的两个非空子集,则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为 .
15
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<2>已知集合间的包含关系求参数
例6 [2020·山东沂水一中高一检测]已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若BA,求实数m的取值范围.
(2)若AB,求实数m的取值范围.
【解题提示】 (1)根据B A,分B=和B≠ 进行讨论.
(2)若AB,则B≠,直接借助数轴分析端点值的大小即可.
【解】 (1)当B=时,由m+1>2m-1,得m<2,满足题意;
当B≠ 时,如图所示,∴ 且m+1=-2与2m-1=5不能同时取等号,解得2≤m≤3.综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}.
(2 )当AB时,如图所示,
此时B≠,∴ 即
∴ m不存在,即不存在实数m使AB.
训练题
1. (1)[2020·上海市第八中学高一期末]已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B?A,则实数a的值为 .
(2)[2020·山西省实验中学高一月考]若A={x|3x-2-x2<0},B={x|x-a<0},且B?A,则a的取值范围是 ( )
A.a≤1 B.1
2 D.a≤2
-1或2
A
训练题
2. [2020·上海市杨浦高级中学高一月考]已知A={x|x<2m-1或x> -2m+1,m∈R},B={x|1≤x≤2},若BA,求实数m的取值范围.
解:因为BA,所以2<2m-1或1>-2m+1,解得m>或m>0,所以m>0.
◆已知两集合之间的关系求参数的策略
(1)已知两个集合之间的关系求参数时, 要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解.
(2)若集合为不等式的解集,常借助数轴转化为不等式
(组)求解,此时需注意区间端点处的值是否可取;若集合用列举法表示,可依据元素间的关系,转化为方程(组)求解.
(3)要注意验证结果.
① 分类讨论求得的参数值,需要代入原集合中看是否满足互异性;
② 要检验所求参数能否取到端点值.
小结
1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即由x∈A,能推出x∈B,这是判断A B的常用方法.
(2)不能简单地把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”,因为若A= 时,则A中不含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中,A?B首先要满足A B,其次至少有一个元素x满足x∈B,但x A.
2.集合子集的个数
求集合的子集时,可以按照子集元素个数分类,再依次子集.
集合的子集、真子集个数的规律为:
含n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.写集合的子集时,空集和集合本身不要漏掉.
3.由集合间的关系求参数问题的常用方法
对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答
注意点:①不能忽视集合为 的情形;
②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.
知易行难,重在行动
千里之行,始于足下
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