【课件】1.2集合间的基本关系 高中数学-RJA-必修第一册 (共36张PPT)

(共36张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
1.2　集合间的基本关系
学习目标
1.理解集合之间的包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集.
3.能使用Venn图表达集合的关系.
4.了解空集的含义.
重点：理解集合间包含与相等关系.
难点：区别属于与包含的概念及其符号表示.
知识梳理
一、子集
对于两个集合A，B，如果集合A中 元素都是集合B中的元素，我们
就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 (或 )，
读作“ ”(或“ ”).
子集的有关性质：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 .
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么 .
(3)若A B，B A，则A＝B.
任意一个
A B
B A
A包含于B
B包含A
A A
A C
　一般地，用平面上 曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.
封闭
二、Venn图
三、集合相等
如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作 .
也就是说，若A B，且 B A ，则 .
A=B
A=B
如果集合A B，但存在元素 ，称集合A是集合B的真子集，
记作 ( 或 )，读作 (或 ).
A真含于B
A B
x∈B，且x A
B真包含A
四、 真子集
A B
五、空集
定义 的集合叫做空集
符号 用符号表示为___
规定 空集是任何集合的 ，是任何非空集合的真子集
不含任何元素

子集
例1 ［2020·江西省高安中学高一检测］下列表示元素与集合或集合与集合之间的关系中，正确的是 （　　）
A.{2}∈{1，2} B.∈{1，2} C.3{x|x>-1} D.{x|x<0}{x|x2>0}
题组一　集合间基本关系的表示及判断
<1>用恰当的符号表示集合间的关系
常考题型
【解析】　A. {2}是集合，不能属于集合{1，2}，错误；
B.是集合，不能属于集合{1，2}，错误；
C. 3>-1，3是集合{x|x>-1}的元素，故3∈{x|x>-1}，错误；
D.{x|x<0}{x|x2>0}＝{x|x>0或x<0}，正确.
【答案】　D
训练题
2.
1.下列六个关系式：①{a，b}{b，a}；②{a，b}＝{b，a}；③{0}＝；④0∈{0}；⑤∈{0}；⑥{0}.其中正确的个数为 （　　）
A.6 B.5 C.4 D.少于4
C
①②③
<2>集合间基本关系的判断
例2 设集合M＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则（　　）
A.MN B.N M C.MN D.N M
【解析】　（方法一）由列举法知M＝{…，-7，-3，1，5，9，…}，N＝{…，-3，-1，1，3，5，…}，故M N.
（方法二）因为集合M＝{x|x＝2×2n+1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，所以M N.
【答案】　A
◆判断集合间关系的常用方法
1.列举观察法
当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系.
2.元素特征法
当两集合的代表元素一样（集合属性相同，同为数集或同为点集）时，可利用集合元素的特征判断关系.
一般地，设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}.
①若p（x）q（x），则AB；②若q（x） p（x），则BA；
③若p（x）q（x），则A＝B；④若p（x）q（x），且q（x）p（x），则集合A，B无包含关系.
◆判断集合间关系的常用方法
3.数形结合法
利用数轴或Venn图.
判断不等式解集间的关系适合用数轴法.
若AB和AB同时成立，则A B更能准确地表示集合A，B之间的关系.
1. ［2020·黑龙江哈师大附中高一检测］若集合P＝，Q＝{x|35-12x+x2≤0}，则P与Q的关系是（　　）
A.P＝Q B.PQ C.PQ D.PQ
训练题
D
2.集合A＝{x|x＝n·180°+ （-1） n·90°，n∈Z}与B＝{x|x＝m·360°+90°，m∈Z}之间的关系是（　　）
A.AB B.B A C.A＝B D.AB
C
3. ［2020·辽宁高一检测］已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{-1，0，1}和N＝{x|x2+x＝0}关系的韦恩（Venn）图是　　　　.
B
A B C D
题组二　集合的相等关系
<1>判断两个集合是否相等
例3 下列各组中的两个集合相等的有 （　　）
①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n-1），n∈Z}；②P＝{x|
x＝2n-1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N*}；③P＝{x|x2-x＝0}，
Q＝ {x|x＝，n∈Z} .
A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②
【解析】　①中对于Q，因为n∈Z，所以n-1∈Z，所以Q表示偶数集.
因为P也表示偶数集，所以P＝Q.
②中P是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3，5，…所有大于1的正奇数组成的集合，1?Q，所以集合P与集合Q不相等.
③中P＝{0，1}，Q中当n为奇数时，x＝ ＝0；当n为偶数时， x＝ ＝1，Q＝{0，1}，所以P＝Q.
【答案】　B
◆判断集合是否相等的三种方法
1.将两个集合中的元素一一列出，进行比较；
2.观察集合中的代表元素是否一致（等价），且元素特征是否一致，若均一致，则两集合相等；
3.依据集合A，B是否满足AB，且B A来判断.
训练题
［2020·河北安平中学高一月考］下列各组集合中，表示同一集合的是（　　）
A.M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B.M＝{3，2}，N＝{2，3}
C.M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}
D.M＝{1，2}，N＝{（1，2）}
B
<2>根据两个集合相等求参数
例4 ［2020·河南省实验中学高一检测］含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为{a，a+b，1}，则a+b的值为　　　　.
【解题提示】　根据集合相等和元素的互异性，即可求解a，b的值，得到答案.
【解析】　由题意 ＝{a，a+b，1}，可得a≠0，
根据集合相等和元素的互异性，可得a+b＝0且b＝1，解得a＝-1，b＝1，
此时集合 ＝{1，-1，0}，{a，a+b，1}＝{-1，1，0}，所以a+b＝0.
【答案】　0
◆已知集合相等求参数的方法
1.只要构成两个集合的元素一样，两个集合就相等，与元素的顺序无关.
2.已知两集合相等求参数的步骤：
（1）确定两个集合中相等的元素；
（2）将含参数未明确建立联系的两个集合中的元素分情况讨论，列出含参数的方程（组）；
（3）解方程（组）求出参数；
（4）根据元素的互异性进行检验.
训练题
（1）［2020·陕西高一月考］若集合＝{0，1，-1}，则a＝　 ；b＝　　　　.
（2）［2020·江苏高一月考］已知A＝{1，x，y}，B＝{1，x2，2y}，若A＝B，则x-y＝（　　）
A. B.1 C. D.
1
-1
C
题组三　集合的子集、真子集
<1>确定子集、真子集及其个数问题
例5 ［2020·江西省彭泽县一中高一月考］已知集合A满足{1，2，3}?A?{1，2，3，4，5，6}，则A的个数有 （　　）
A.8 B.7 C.6 D.5
【解析】　（方法一）因为{1，2，3}?A，所以集合A中一定含有元素1，2，3.
又因为A?{1，2，3，4，5，6}，所以集合A中最多含4，5，6中的2个元素，所以满足条件的集合A有{1，2，3}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，3，6}，{1，2，3，4，5}，{1，2，3，4，6}，{1，2，3，5，6}，共7个.故选B.
（方法二）集合A 中一定含1，2，3，可能含4，5，6，但不同时含4，5，6，由此可得满足条件的集合A的个数就是集合{4，5，6}的真子集的个数.共有23-1＝7（个）.
【答案】　B
◆确定子集、真子集个数的方法
1.当一个集合的元素个数较少时，我们可以写出它的全部子集，从而得出子集与真子集的个数.
2.当一个集合的元素个数较多时，一一写出子集不太现实，对于其子集的个数有如下结论：（1）含有n个元素的集合有2n个子集；
（2）含有n个元素的集合有（2n-1）个真子集；
（3）含有n个元素的集合有（2n-1）个非空子集；
（4）含有n个元素的集合有（2n-2）个非空真子集；
（5）若集合A含有n（n≥1）个元素，集合C含有m（m≥1）个元素，且AB C，则符合条件的集合B有2m-n个.
训练题
1.（1）［2020·贵州省思南中学高一检测］设集合B＝，则集合B的子集个数为（　　）
A.3 B.4 C.8 D.16
（2）［2020·上海市向明中学高一月考］集合A＝{x|4-|2x-1|∈N*}，则A的非空真子集的个数是（　　）
A.62 B.126 C.254 D.510
（3）［2020·宁夏银川一中高一检测］设集合A＝{x∈N|（x+1）（x-2）≤0}，则集合A的真子集的个数是　　　　.
7
D
B
训练题
2. （1）［2020·河南高一月考］设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，集合M的真子集的个数为　　　　.
（2）［2020·浙江高一检测］已知集合P＝{1，2，3，4，5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为　　　　.
15
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<2>已知集合间的包含关系求参数
例6 ［2020·山东沂水一中高一检测］已知集合A＝{x|-2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m-1}.
（1）若BA，求实数m的取值范围.
（2）若AB，求实数m的取值范围.
【解题提示】　（1）根据B A，分B＝和B≠ 进行讨论.
（2）若AB，则B≠，直接借助数轴分析端点值的大小即可.
【解】　（1）当B＝时，由m+1>2m-1，得m<2，满足题意；
当B≠ 时，如图所示，∴ 且m+1＝-2与2m-1＝5不能同时取等号，解得2≤m≤3.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}.
（2 ）当AB时，如图所示，
此时B≠，∴ 即
∴ m不存在，即不存在实数m使AB.
训练题
1. （1）［2020·上海市第八中学高一期末］已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2-a+1}，且B?A，则实数a的值为　　　　.
（2）［2020·山西省实验中学高一月考］若A＝{x|3x-2-x2<0}，B＝{x|x-a<0}，且B?A，则a的取值范围是 （　　）
A.a≤1 B.12 D.a≤2
-1或2
A
训练题
2. ［2020·上海市杨浦高级中学高一月考］已知A＝{x|x<2m-1或x> -2m+1，m∈R}，B＝{x|1≤x≤2}，若BA，求实数m的取值范围.
解：因为BA，所以2<2m-1或1>-2m+1，解得m>或m>0，所以m>0.
◆已知两集合之间的关系求参数的策略
（1）已知两个集合之间的关系求参数时， 要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.
（2）若集合为不等式的解集，常借助数轴转化为不等式
（组）求解，此时需注意区间端点处的值是否可取；若集合用列举法表示，可依据元素间的关系，转化为方程（组）求解.
（3）要注意验证结果.
① 分类讨论求得的参数值，需要代入原集合中看是否满足互异性；
② 要检验所求参数能否取到端点值.
小结
1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A B的常用方法.
(2)不能简单地把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝ 时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A B，其次至少有一个元素x满足x∈B，但x A.
2.集合子集的个数
求集合的子集时，可以按照子集元素个数分类，再依次子集.
集合的子集、真子集个数的规律为：
含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身不要漏掉.
3.由集合间的关系求参数问题的常用方法
对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答
注意点：①不能忽视集合为 的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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