【课件】1.3集合的基本运算 高中数学-RJA-必修第一册 (共51张PPT)

(共51张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
1.3　集合的基本运算
学习目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
3.能使用Venn图表示集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
重点：理解并集、交集、补集的含义；
会用集合语言表达数学对象或内容.
难点：区别交集、并集、补集的概念及其符号表示.
(1)定义：一般地， 的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 (读作“A并B”).
(2) 符号语言:A∪B＝ .
(3)图形语言： 、 .阴影部分为A∪B.
(4)性质：A∪B＝ ，A∪A＝ ，A∪ ＝ ，A∪B＝A ，
A A∪B.
{x|x∈A，或x∈B}
由所有属于集合A或属于集合B
B∪A
A∪B
A
B A

A
知识梳理
一、并集
(1)定义：一般地，由 元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作 (读作“A交B”).
(2)符号语言：A∩B＝ .
(3)图形语言： ，阴影部分为A∩B.
(4)性质：A∩B＝ ，A∩A＝ ，A∩ ＝ ，A∩B＝A ，A∩B
A∪B，A∩B A，A∩B B.
A∩B
所有属于集合A且属于集合B的
{x|x∈A，且x∈B}
B∩A
A B

A



二、交集
定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中
涉及的 ，那么就称这个集合为全集.
记法：全集通常记作 .
所有元素
U
三、全集
四、补集的概念
自然语言 对于一个集合A，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作____
集合语言 U A＝_______________
图形语言
性质 ①A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝ ；② UU＝ ， U ＝U
UA
不属于集合A
{x|x∈U，且x A}
例1 ［2020·辽宁省实验中学高一检测］已知集合M＝{1，3}，且M∪N＝{1，3，5，7}，则集合N可能的个数为　　　　.
题组一　集合的并集、交集、补集运算
<1>并集运算
常考题型
【解题提示】　由于集合M＝{1，3}且M∪N＝{1，3，5，7}，依据并集的定义，集合N必须含有元素5和7，还可以含有1或3，因此集合N可能的个数即为M的子集个数.
【解析】　∵ 集合M＝{1，3}，且M∪N＝{1，3，5，7}，
∴ 满足条件的集合N有{5，7}，{1，5，7}，{3，5，7}，{1，3，5，7}，
∴ 集合N可能的个数是4.
【答案】　4
◆牢记运算口诀
交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集.
◆选择恰当方法
（1）当已知集合是用列举法表示时，可直接依据定义运算，也可借助Venn 图简化计算；
（2）当已知集合是用描述法表示时，可借助于数轴求解；
（3）明确运算顺序：进行集合的混合运算时，要先算括号内的，再按照从左到右的顺序运算.
1. （1）［2020·山西长治二中高一检测改编］已知集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则A∪B的子集的个数为 （　　）
A.4 B.7 C.8 D.16
（2）［2020·黑龙江大庆中学高二检测改编］已知集合A＝{x|x2<4x}，B＝{x|2A.{x|0训练题
D
C
（3）［2019·河南信阳宋基中学高一检测］已知集合A＝{-1，1，3}，B＝{x|-3A.3 B.4 C.5 D.6
（4）［2020·湖南临澧县第一中学高一月考］已知集合M＝{1，2}且M∪N＝{1，2，3}，则集合N可能是 （　　）
A.{1，2} B.{1，3} C.{1} D.{2}
B
C
2.已知集合A＝{x|x-2>3}，B＝{x|2x-3>3x-a}，求A∪B.
解：化简集合A＝{x|x-2>3}＝{x|x>5}，B＝{x|2x-3>3x
-a}＝{x|x①当a-3≤5，即a≤8时，借助数轴，如图（1），A∪B＝{x|x5}.②当a-3>5，即a>8时，借助数轴，如图（2），A∪B＝{x|x>5}∪{x|x综上可知，当a≤8时，A∪B＝{x|x5}；当a>8时，A∪B＝R.
(1) (2)
例2 ［2020·福建厦门外国语学校高一检测］若集合M＝{-2，-1，0，1，2}，N＝ ，则M∩N＝ （　　）
A.{-2，-1，0，1} B.{-2，-1，0}
C.{1，2} D.{2}
<2>交集运算
【解析】　∵ x∈R，∴ x2≥0，∴ y＝ x2+1≥1，∴ N＝{y|y≥1}.
又∵ M＝{-2，-1，0，1，2}，因此，M∩N＝{1，2}.
【答案】　C
（1）［2020·吉林油田第十一中学高一月考］设集合M＝{1，2，4，5}，N＝{1，3，4，5，6}，则M∩N的子集个数为 （　　）
A.2 B.7 C.8 D.3
（2）［2020·甘肃兰大附中高一检测］已知实数集R，集合A＝{x|1A.{x|1训练题
C
C
（3）［2020·海南高一检测］已知集合A＝{x|3x-16<0}，B＝{x|x＝2k，k∈N}，则A∩B＝ （　　）
A.{2，4} B.{0，2，4}
C.{1，2，3，4，5} D.{2，4，6}
（4）［2019·全国Ⅱ卷］已知集合A＝{x|x>-1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝ （　　）
A.（-1，+∞） B.（-∞，2）
C.（-1，2） D.?
训练题
B
C
例3 ［2020·上海市进才中学高一月考］已知集合A＝{x|x＝4k1，k∈Z}，U＝Z，则U A＝　　　　 .
<3>补集运算
【解题提示】　将集合A＝{x|x＝4k+1，k∈-1，k∈Z}进行化简，再利用补集的定义可得出集合UA.
【解析】　A＝{x|x＝4k+1，k∈-1，k∈Z}，
{x|x＝4k+1，k∈Z}＝{x|x＝2×2k+1，k∈Z}，
{x|x＝4k-1，k∈Z}＝{x|x＝2×（2k-1）+1，k∈Z}，
所以A＝{x|x＝4k+1，k∈-1，k∈+1，k∈Z}，所以綂UA＝{x|x＝2k，k∈Z}.
【答案】　{x|x＝2k，k∈Z}
（1）［2020·上海市建平中学高一检测］已知全集U＝{5，6，7，8，9}，A＝{6，7，8}，那么UA＝　　　　.
（2）［2020·黑龙江哈师大附中高一检测］若不等式<2的解集为A，则 RA
＝ 　　 　　.
训练题
{5，9}
例4 ［2020·上海市青浦高级中学高一月考］如果全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝{2}，UA∩ UB＝{1}，（ UA）∩B＝{4，6}，那么A∩（ UB）
＝　　　　.
<4>混合运算
【解题提示】　依据集合的交、并、补的运算的定义，结合韦恩图逐步求解.
【解析】　∵ A∩B＝{2}，∴ 2∈A，2∈B.
∵ UA∩ UB＝{1}，∴ 1?A，1?B.
∵ （ UA）∩B＝{4，6}，∴ {4，6}?A，{4，6}?B.
依题意填充韦恩图如图所示，
∴ A＝{2，3，5}，B＝{2，4，6}，
A∩（ U B）＝{2，3，5}∩{1，3，5}＝{3，5}.
【答案】　{3，5}
◆集合混合运算的一般思路
1.明确题中含有哪些运算，特别是对于含有Venn图的，可以依据三种运算的定义列出算式；
2.明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次计算；
3.注意对运算结果进行检验.
（1）［2020·云南高一检测］已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，4，6}，B＝{4，5}，则（UA）∪B＝ （　　）
A.{4} B.{5} C.{3，5} D.{3，4，5}
（2）［2020·上海高一检测］对于集合M，N，若M?N，则下面集合的运算结果一定是空集的是 （　　）
A.M∩ UN B UM∩N
C. UM∩ UN D.M∩N
训练题
D
A
（3）［2020·河南郑州高一检测］设集合A＝{1，2，4，6}，B＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数是 （　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
训练题
B
◆混合运算的2种技巧
1.活“性”减“量”：灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即U（M∩N）＝（ UM）∪（ UN）， U（M∪N）＝（ UM）∩（ UN）等简化运算，减少运算量.
2.借“形”助“数”：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍.
例5 ［2020·河南高一月考］已知A＝{x|-2≤x≤5}，B＝{x|k-1≤x≤2k+1}，若A∩B＝，则实数k的取值范围为　　　　.
题组二　集合运算中的求参数问题
<1>已知运算结果求参数
【解析】　当集合B为时，k-1>2k+1，解得k<-2.
当集合B不为，即k≥-2时，有如下两种情况：
集合A中的元素都比集合B中的元素小，k-1>5，结合k≥-2，解得k>6；
集合A中的元素都比集合B中元素大，即2k+1<-2，结合k≥-2，
解得-2≤k<-.综上所述，k的取值范围为k>6或k<-.
【答案】　k>6或k<-
训练题
1. ［2020·山东临沂一中高三检测］已知集合A＝{2，3a}，B＝{a，b}，A∩B＝，则A∪B＝ （　　）
A. B. C. D.
2. ［2020·吉林油田第十一中学高一月考］已知全集U＝{2，3，a2+2a-3}，若A＝{b，2}，UA＝{5}，则实数a＝　　　　，b＝　　　　.
A
-4或2
3
<2>将运算结果转化为集合间的关系求参数
例6 设集合A＝{x|x+1≤0或x-4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a+2}.若A∩B＝B，求实数a的取值范围.
【解】　由题意得A＝{x|x≤-1或x≥4}.
∵ A∩B＝B，∴ BA.
①B＝时，满足B A，则2a>a+2?a>2.
②B≠ 时，则或即a≤-3或a＝2.
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤-3或a≥2}.
训练题
1. ［2020·江苏高一检测］若集合A＝{x|1A.a≥3 B.a≤3 C.a≥1 D.a≤1
A
2.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤3或x≥ 6}，B＝{x|-2（1）求UA；
（2）若B∩C＝C，求实数a的取值范围.
解：（1）∵ 全集U＝R，集合A＝{x|x≤3或x≥6}，
∴ UA＝{x|3（2）∵ B∩C＝C，∴ CB.
∵ C＝{x|a∴ a≥-2且a+1≤9，∴ 实数a的取值范围是-2≤a≤8.
◆已知运算结果求参数的方法
1.转化
将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.
2.列方程（组）或不等式（组）
若两集合为列举法表示的集合，可依据集合中元素之间的关系列出方程组；若两集合是与不等式有关数集，可利用数轴列出不等式组.
3.解方程（组）或解不等式（组）来确定参数的值或范围.
<3>利用补集思想求参数
例7 已知A＝{x|x2-2x-8＝0}，B＝{x|x2+ax+a2-12＝0}.若B∪A≠A，求实数a的取值范围.
【解】　若B∪A＝A，则BA.
∵ A＝{x|x2-2x-8＝0}＝{-2，4}，∴ 集合B有以下三种情况：
①当B＝时，Δ＝a2-4（a2-12）<0，即a2>16，∴ a<-4或a>4.
②当B是单元素集合时，Δ＝a2-4（a2-12）＝0，∴ a＝-4或a＝4.
若a＝-4，则B＝{2}A；若a＝4，则B＝{-2}A.
<3>利用补集思想求参数
例7 已知A＝{x|x2-2x-8＝0}，B＝{x|x2+ax+a2-12＝0}.若B∪A≠A，求实数a的取值范围.
③当B＝{-2，4}时，-2，4是方程x2+ax+a2-12＝0的两根，∴
∴ a＝-2.
综上可得，当B∪A＝A时，a的取值范围为{a|a<-4或a＝-2或a≥4}.
∴ 当B∪A≠A时，实数a的取值范围为{a|-4≤a<4且a≠-2}.
训练题
已知集合A＝，若2∈A，3A，求实数a的取值范围.
解：依题意得 即即
∴ 或2经检验，实数a的取值范围是 ∪（2，3］.
题组三　集合的综合创新问题
<1>集合的综合题
例8 ［2020·黑龙江高一检测］已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A，B是U的子集，且A∪B＝U，A∩B≠.若A∩UB＝{3，4}，则满足条件的集合A的个数为 （　　）
A.7 B.8 C.15 D.16
【解析】　由A∩UB＝{3，4}知3，4∈A且3，4?B，集合A，B是U的子集，
又因为A∪B＝U，A∩B≠，所以A∩B为集合{1，2，5，6}的非空子集，因此，满足条件的集合A的个数就是A∩B的集合个数，即为集合{1，2，5，6}的非空子集个数24-1＝15.
【答案】　C
1.［2020·河南高三检测］已知全集U＝R，集合M＝{x|x2<1}，N＝{y|y>1}，则下列结论正确的是（　　）
A.M∩N＝N B.M∩（UN）＝?
C.M∪N＝U D.M（ UN）
D
训练题
2. ［2020·上海市杨浦高级中学高一月考］已知集合A＝{（x，y）|y＝|x|}，B＝{（x，y）|y＝x+m}，若集合A∩B中仅有一个元素，则实数m的取值范围
是　　　　.
m>0
◆已知集合运算结果确定集合个数的方法
1.列举法
将符合条件的集合列举出来，从而得出集合个数.
2.转化法
根据集合运算的结果，将所求集合个数问题转化为求某个相关集合的子集个数问题来进行计算.
<2>集合的新信息题
例9 ［2020·江西省彭泽县第一中学高一月考］对于集合M，N ，定义M-N＝{x|x∈M且xN}，MN＝（M-N）∪（N-M），设A＝{x|x＝t2-3t，t∈R}，B＝，则A B等于 （　　）
A. B.
C. ∪［0，+∞） D. ∪［0，+∞）
【解题提示】先化简集合A，B，然后根据定义求出A-B和B-A，最后求并集可得.
【解析】　因为函数x＝t2-3t＝-≥-，所以A＝.
由函数y＝ 有意义得x<0，
所以B＝（-∞，0），A-B＝［0，+∞），B-A＝ ，
所以AB＝（A-B）∪（B-A）＝ ∪［0，+∞）.
故选C.
【答案】　C
1.［2020·上海市比乐中学高一检测］设M，P是两个非空集合，称集合M-P为集合M与P的差集，现定义如下：M-P＝{x|x∈M且xP}，则M-（M-P）＝
（　　）
A.P B.M∩P
C.M D.M∪P
B
训练题
训练题
2. ［2020·山西高一检测］集合P＝，Q＝{0，7，a2+4a- 2，2-a}.
（1）若P∩Q＝{0，3}，求a的值.
（2）定义集合A，B间的运算，AB＝{x|x∈A且x?B}，当a＝1时，求Q P.
解：（1）由题意得集合P＝{0，2，3}，∵ P∩Q＝{0，3}，
∴ a2+4a-2＝3或2-a＝3，
∴ a＝-5或1或a＝-1.
当a＝-5时，Q＝{0，7，3，7}（舍去）；当a＝1时，Q＝{0，7，3，1}符合题意；当a＝-1时，Q＝{0，7，-5，3}符合题意.
综上，a＝1或-1.
（2）当a＝1时，Q＝{0，7，3，1}.∵ P＝{0，2，3}， Q P＝{x|x∈Q且x?P}，∴ QP＝{1，7}.
◆集合新定义问题的解题思路
（1）紧扣“新”定义：分析新定义的特点， 把新定义所叙述的问题的本质弄清楚， 并能够应用到具体的解题过程中，这是解决新定义型集合问题的关键所在.
（2）把握“新”性质：集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.
（3）遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可.
小结
1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x B；x∈B但x A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.
3.全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集.因此，全集因研究问题而异.
(2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.
规律与方法
(3) UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A U；其次是定义 UA＝{x|x∈U，且x A}，补集是集合间的运算关系.
4.补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A，求A.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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