【课件】1.4充分条件与必要条件 高中数学-RJA-必修第一册(共31张PPT)

(共31张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
1.4 　充分条件与必要条件
第一章　　集合与常用逻辑用语
学习目标
1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
3.理解充要条件的意义，理解数学中的定义与充要条件的关系.
重点：理解充分条件与必要条件的意义 .
难点：必要条件概念的理解和判断 .
知识梳理
我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题 .
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题 .
一、命题及真、假命题
由条件 通过推理可以得出结论 的命题是真命题 .
由条件 不能得出结论 的命题是假命题 .
“若 ，则 ”为真命题，是指由条件 可以推出结论 ，
记作 ，
并且说，是 的充分条件， 是 的必要条件 .
数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 .
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 .
“若 p，则 q”为假命题，是指由条件 p 不能推出结论 q，
记作.
并且说，不是 的充分条件， 不是 的必要条件 .
二、充分条件与必要条件

“如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即
既有 ，又有 ，就记作. 此时，
既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，
简称为充要条件.
如果是的充要条件，那么也是的充要条件
三、充要条件
例1
题组一　命题及其真假判断
常考题型
（1）下列语句是命题的是　　　　（填序号）.
①若x∈R，则x2+4x+7>0.②你是高一学生吗？
③一个正整数不是质数就是合数.④作△ABC∽△A′B′C′.⑤x≥3.
（2）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，指出条件和结论，并判断命题的真假.
①两个周长相等的三角形面积相等；②已知x，y为正整数，当y＝x+1时，y＝3，x＝2；③当m>1时，x2-2x+m＝0无实根.
（1）【解析】　①是命题，因为是可以判断真假的陈述句.②不是命题，因为是疑问句.
③是命题，因为是可以判断真假的陈述句.④不是命题，祈使句不是命题.
⑤x≥3不能判断真假，不是命题.
【答案】　①③
（2）【解】　①若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，条件是“两个三角形周长相等”，结论是“这两个三角形面积相等”，是假命题.
②若x，y为正整数，且y＝x+1，则y＝3，x＝2，条件是“x，y为正整数，且y＝x+1”，结论是“y＝3，x＝2”，是假命题.
③若m>1，则x2-2x+m＝0无实根，条件是“m>1”，结论是“x2-2x+m＝0无实根”，是真命题.
判断一个语句是否为命题可依据“可以判断真假的陈述句”这个定义中隐含的两个条件：
（1）是陈述句 . （2）可以判断真假 .二者缺一不可 .
要判定一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证 .
要判定一个命题是假命题，只要举一个反例即可 .
解题归纳
将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假.
（1）平行四边形的两条对角线互相垂直.（2）直角三角形的两个锐角互余.
（3）当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
巩固训练
解：（1）写成“若p，则q”的形式为：若四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直，是假命题.
（2）写成“若p，则q”的形式为：若一个三角形是直角三角形，则它的两个锐角互余，是真命题.
（3）写成“若p，则q”的形式为：若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，是假命题.
例2
题组二　充分条件、必要条件、充要条件的判断
判断下列各题中，p是q的什么条件.
（1）p：x-4＝0，q：（x-2）（x-4）＝0.
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形全等.
1.定义法
【解】（1）x-4＝0（x-2）（x-4）＝0，但（x-2）（x-4）＝0x-4＝0，
故p是q的充分不必要条件.
（2）两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件.
定义法判断充分条件、必要条件
1.若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件；
2.若q p，但p q，则p是q的必要不充分条件；
3.若p q，且q p，则p是q的充要条件；
4.若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.
解题归纳
2.集合法（拓展）
设集合 ＝ {|（）}， ＝ {|（）}. 若 具有性质 ，则 ∈ ；若 具有性质 ，则 ∈ .
若 ，就是说若 具有性质 ，则 必具有性质 ，即 .
类似地， 与 等价， ＝ 与 等价.
知识拓展
例3
已知x，y∈R，则“x>1或y>1”是“x+y>2”的 （　　）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析：设集合A＝{（x，y）|x>1或y>1}，B＝{（x，y）| x+y>2}，其补集分别为C＝{（x，y）|x≤1且y≤1}，D＝{（x，y）|x+y≤2}.当x≤1且y≤1时，x+y≤2成立，当x＝3，y＝-4时，满足x+y≤2，但x≤1且y≤1不成立，所以集合C是集合D的真子集，所以集合B是集合A的真子集，所以“x>1或y>1”是“x+y>2”的必要不充分条件.
答案：C
集合法判断充分条件、必要条件
解题归纳
记法 条件p，q对应的集合分别为A，B
关系 AB BA A＝B AB
且BA
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
1. （1）［2020·北京市第十一中学高一单元测试］已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则“△ABC不是直角三角形”是“a2+b2≠c2”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
（2）［2020·广东肇庆高一检测］“x<2”是“ <0”的（　　）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
巩固训练
A
A
2. ［2020·山东省济宁市实验中学高二检测］如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的（　　）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
巩固训练
A
传递性法判断充分条件、必要条件
1.p是q的充分条件， q是s的充分条件，则p是s的充分条件，即若pq， q s，则p s.
2.当条件间有较多的交叉，从文字叙述的条件来推理容易混淆时，可以考虑将各个条件的关系用“”“”“”连接起来，形成一个网络，再利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断.
解题归纳
例4
题组三　充要条件的证明
求证：关于x的方程ax2+bx+c＝0有一个根为1的充要条件是a+b+c＝0.
【解题提示】　设p：a+b+c＝0，q：关于x的方程ax2+bx+c＝0有一个根为1.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（p?q）和必要性（q?p）即可.
【证明】　（1）充分性：∵ a+b+c＝0，∴ c＝-a-b，
代入方程ax2+bx+c＝0中可得ax2+bx-a-b＝0，即（x-1）（ax+a+b）＝0.
故关于x的方程ax2+bx+c＝0有一个根为1.
（2）必要性：∵ 关于x的方程ax2+bx+c＝0有一个根为1，
∴ x＝1满足方程ax2+bx+c＝0，∴ a·12+b·1+c＝0，即a+b+c＝0.
由（1） （2）可得，关于x的方程ax2+bx+c＝0有一个根为1的充要条件是a+b+c＝0.
证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2＝ab+bc+ac（其中a，b，c是△ABC的三条边）.
巩固训练
证明：①充分性：∵ a2+b2+c2＝ab+bc+ac，
∴ a2+b2+c2-ab-bc-ac＝0.∴ （a-b） 2+ （b-c） 2+ （a-c） 2＝0.
∴ a-b＝0，b-c＝0，a-c＝0，即a＝b＝c.∴ △ABC是等边三角形.
②必要性：∵ △ABC是等边三角形，∴ a＝b＝c.
∴ a2+b2+c2-ab-bc-ac＝a2+b2+c2-a2-b2-c2＝0.∴ a2+b2+c2＝ab+bc+ac.
综上所述，△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2＝ab+bc+ac（其中a，b，c是△ABC的三条边）.
充要条件的2种证法
1.定义法证明
要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，
（1）充分性：证明“若p，则q”为真.
（2）必要性：证明“若q，则p”为真.
解题归纳
例5
题组四　充分条件、必要条件、充要条件的探求
求ax2+2x+1＝0至少有一个负实根的充要条件.
【解】　（1）当a＝0时为一元一次方程，其根为x＝- ，符合题意.
（2）当a≠0时为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4-4a≥0，从而a≤1.设方程ax2+2x+1＝0的两根为x1，x2，则由韦达定理得x1+x2＝- ，x1x2＝ .
因此方程ax2+2x+1＝0有一个负实根的充要条件是 得a<0.
方程ax2+2x+1＝0有两个负实根的充要条件是 即0综上，ax2+2x+1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
1.设a∈R，则a>4的一个必要不充分条件是 （　　）
A.a>1 B.a<1 C.a>5 D.a<5
巩固训练
2.已知集合A＝{x|a-2A
0≤a≤2
例6
题组五　由充分、必要条件求参数的范围
已知p：-2≤1-≤2，q：（x-1+m）（x-1-m）≤0（m>0），q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围为　　　　.
【解题提示】　对题目中的条件进行化简，等价转化为不等式的解集，再将充分、必要条件和集合间的关系进行等价转化.
【解析】　∵ q是p的必要不充分条件，∴ p是q的充分不必要条件.
由-2≤1- ≤2，得-2≤x≤10，
∴ p对应的集合M＝{x|-2≤x≤10}.
由（x-1+m）（x-1-m）≤0（m>0），得1-m≤x≤1+m（m>0），
∴ q对应的集合N＝{x|1-m≤x≤1+m，m>0}.
由p是q的充分不必要条件知，MN，∴ 或
解得m≥9.∴ 实数m的取值范围为{m|m≥9}.
【答案】　{m|m≥9}
已知p：x-a>0，q：x>1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围为（　　）
A.a<1 B.a≤1 C.a>1 D.a≥1
巩固训练
D
由充分、必要条件的关系求参数范围的方法
1.化简p，q两命题；
2.根据p与q的关系，将充分、必要、充要条件的关系转化为集合间的关系；
3.利用集合间的关系建立不等式（组）；
4.求解参数范围.
解题归纳
小结
两个知识点：
1.命题及真、假命题（定义）；2.充分、必要条件、充要条件（定义、记法）.
三种题型：
1.命题及其真假判断的判断；
2.充分条件、必要条件、充要条件的判断（定义法、集合法） ；
3.已知条件关系，求参数
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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