【课件】1.5全称量词与存在量词 高中数学-RJA-必修第一册 (共41张PPT)

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数学-RJ·A-必修第一册
1.5全称量词与存在量词
第一章 集合
学习目标
1. 通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义.
2. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
重点：1. 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义.2. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
难点：全称量词命题和存在量词命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.
知识梳理
短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“ ”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
一、全称量词与全称量词命题
所有的
任意一个
全称量词命题“对M 中任意一个x，p（x）成立”
符号简记为 .
x ∈ M，p（x）
二、全称量词命题的真假判断
要判定全称量词命题“ ”是真命题，需要对集合M 中每个元素x，证明 成立；
如果在集合M 中找到一个元素 ，使 不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.
x ∈ M，p（x）
p（x）
P(
短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在一个
三、存在量词与存在量词命题
至少有一个
存在量词命题“存在M 中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 .
x ∈ M，p（x）
四、存量词命题的真假判断
要判定存在量词命题“ ”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x， 使p（x）成立即可；
如果在集合M 中，使p（x）成立的元素x ，那么这个存在量词命题是假命题.
x ∈ M，p（x）
不存在
五、全称量词命题的否定
对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“ ”
“ ”等短语即可.
并非所有的
并非任意一个
全称量词命题： ，
全称量词的否定： .
x ∈ M，p（x）
x ∈ M， p（x）
六、全称量词命题的否定
对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“ ”
“ ”等短语即可.
不存在一个
没有一个
存在量词命题： ，
存在量词的否定： .
x ∈ M， p（x）
x ∈ M，p（x）
例1 判断下列命题是不是全称量词命题：
（1）凸多边形的外角和等于360°；
（2）对任意实数a，b，若a>b，则 <；
（3）负数的平方是正数；
（4）若x>0，则x+2>2.
题组一　全称量词命题及其真假判断
<1>全称量词命题的判断及表示
常考题型
【解】　（1）可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，是全称量词命题.
（2） 含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
（3）省略了全称量词“所有”或“都”，是全称量词命题.
（4） 省略了全称量词“所有”，可以改写为“对所有实数x，若x>0，则有x+2>2”，是全称量词命题.
◆全称量词命题与存在量词命题的判定方法
判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，关键看命题中是否含有全称量词或存在量词.
有些命题的量词可能隐含在命题之中， 这时要根据语义判断形式，如大多数公理、定理的简述都是一般性结论，它们大多数省略了全称量词，但仍应看作全称量词命题.
训练题
将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为 （　　）
A.对任意x，y∈R，都有x2+y2≥2xy成立
B.存在x，y∈R，使x2+y2≥2xy成立
C.对任意x>0，y>0，都有x2+y2≥2xy成立
D.存在x<0，y<0，使x2+y2≤2xy成立
A
例2 用量词符号“”表示下列命题，并判断其真假.
（1）实数都能写成小数形式；
（2）平行四边形的对角线互相平分.
<2> 全称量词命题真假的判断
【解】　（1）?x∈R，x能写成小数形式，因为无理数不能写成小数形式，所以该命题是假命题.
（2）?x∈{x|x是平行四边形}，x的对角线互相平分，由平行四边形的性质可知此命题是真命题.
训练题
判断下列命题的真假.
（1）x∈{1，-1，0}，2x+1>0；（2） x∈R，2x2-3x+4>0；
（3） x∈R，都有＝x.
解：（1）是全称量词命题，当x＝-1时，2x+1<0，故为假命题；
（2）是全称量词命题，∵ Δ＝9-32＝-23<0，∴ ?x∈R，2x2-3x+4>0是真命题；
（3）是全称量词命题，当x＝-1时， ＝1，故为假命题.
◆判断全称量词命题真假的方法
1.要判断全称量词命题“x∈M，p （x）”为真，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）成立；
2.要判断全称量词命题“x∈M，p （x）”为假，只需在M中找到一个x0，使p（x0）不成立，即“举反例”.
题组二　存在量词命题及其真假判断
<1>存在量词命题的判断及表示
例3 判断下列命题是否为存在量词命题.
（1）有的实数没有倒数；
（2）在实数范围内，至少有一个x，使得有意义；
（3）有些三角形的三个内角都是锐角；
（4）方程x2+1＝0在实数范围内有两个解.
【解】　（1）含有存在量词“有的”，故是存在量词命题；
（2）含有存在量词“有一个”，故是存在量词命题；
（3）含有存在量词“有些”，故是存在量词命题；
（4）含有隐含存在量词“有些”，故是存在量词命题.
训练题
1.判断下列命题是否为存在量词命题并用符号 “”表示下列命题.
（1） 存在x∈R，使x2+2x+3＝0；（2）有的一次函数也是正比例函数；
（3） 存在凸n边形的外角和不等于2π.
解：（1）是存在量词命题，?x∈R，使x2+2x+3＝0；
（2）是存在量词命题，?f（x）∈{一次函数}，f（x）也是正比例函数；
（3）是存在量词命题，?x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和不等于2π.
训练题
2. ［2020·安徽庐江高一检测］下列命题不是“x∈R，x2>3”的表述方法的是（　　）
A.有一个x∈R，使得x2>3成立 B.对有些x∈R，使得x2>3成立
C.任选一个x∈R，都有x2>3成立 D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立
C
◆全称量词命题的否定形式
全称量词命题的形式是：“x ∈ M， p（x）”，其否定形式应该是既对全称量词否定，又对p（x）进行否定，即“ x ∈ M，p（x）”. 所以全称量词命题的否定是存在量词命题.
◆存在量词命题的否定形式
存在量词命题的形式是：“ x ∈ M， p（x）”，其否定形式是先对存在量词进行否定，变为全称量词，再对p（x）进行否定，即
“ x ∈ M， p（x）”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题.
<2>存在量词命题真假的判断
例4 用量词符号“”表示下列命题，并判断其真假.
（1）有一个实数x，使 ＝0；（2）至少有一个集合A，满足A{1，2，3}.
【解】　（1） x∈R， ＝0，因为不存在x∈R，使＝0，所以该命题是假命题.
（2）A∈{A|A是集合}，A{1，2，3}，存在A＝{3}，使A {1，2，3}成立，所以该命题是真命题.
训练题
1.下列命题中的假命题是 （　　）
A.x∈R，3x>0 B. x∈R，（x-1）2>0
C. x∈R，x3>1 D.x∈R，sin x＝
B
训练题
2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.
（1）x，y为正实数，使x2+y2＝0；
（2）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；
（3）存在一组m，n的值，使m-n＝1；
（4）对角线垂直的四边形是菱形.
解：（1）是存在量词命题，因为只有当x＝y＝0时，x2+y2＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2+y2＝0，故该命题是假命题.
（2）是全称量词命题，由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系，知该命题是真命题.
（3）是存在量词命题，当m＝4，n＝3时，m-n＝1成立，故该命题是真命题.
（4）是全称量词命题，所有对角线垂直的四边形是菱形，假命题.如图中的四边形的对角线互相垂直，但不是菱形.
◆判断存在量词命题真假的方法
1.要判断存在量词命题“x∈M，p （x）”为真，只需在M中找到一个x0，使p（x0）成立，即“找特例”；
2.要判断存在量词命题“x∈M，p （x）”为假，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）都不成立.
题组三　含有一个量词的命题的否定
例5 写出下列命题的否定：
（1）所有的正比例函数都是一次函数；（2）每一个有理数都能写成分数形式；
（3）有些矩形是正方形；（4）x∈R，x3-1＝0.
【解】　命题的否定为：（1）存在一个正比例函数不是一次函数.
（2）存在一个有理数不能写成分数形式.
（3）每一个矩形都不是正方形.
（4）x∈R，x3-1≠0.
训练题
1. （1）［2020·宁夏育才学校高二检测］已知命题p：n∈ N*，n2> n-1，则命题p的否定为（　　）
A.n∈N*，n2≤n-1 B.n∈N*，n2C. n∈N*，n2≤n-1 D. n∈N*，n2（2）命题：x∈R，x2-x+1＝0的否定是　　 　　.
A
x∈R，x2-x+1≠0
2. （1）［2020·河南商丘高一检测］下列“非p”形式的命题中，假命题是（　　）
A. 不是有理数 B.π≠3.14
C.方程2x2+3x+21＝0没有实根 D.等腰三角形不可能有120°的角
（2）命题“x∈R，x2+2x+1＝0”的否定是　　　　命题.（填“真”或“假”）
D
假
◆写出含有一个量词的命题的否定的方法
1.确定类型：所给命题是全称量词命题还是存在量词命题.
2.改换量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词.
3.否定性质：原命题中“是”“有”“成立”等改为“不是”“没有”“不成立”等.
题组四　已知含有量词的命题的真假求参数
例4 若命题“x∈R，x2+2mx+m+2<0”为假命题，则m的取值范围
是（　　）
A.m≤-1或m≥2 B.m<-1或m>2
C.-1≤m≤2 D.-1【解题提示】　由于命题“x∈R，x2+2mx+m+2<0”为假命题，可得命题的否定“x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，因此Δ≤0，解出即可.
【解析】　∵ 命题“x∈R，x2+2mx+m+2<0”为假命题，
∴ 命题的否定“x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，
∴ Δ≤0，即4m2-4（m+2）≤0，解得-1≤m≤2.
∴ 实数m的取值范围是-1≤m≤2.
【答案】　C
◆含有量词的命题求参数问题的思路
1. 此类题目常以一次函数、二次函数等为载体，一般在题目中会出现“恒成立” 等词语，解决此类问题，可以构造函数， 利用数形结合求参数范围，也可以利用分离参数法求得参数的范围.
2. 求参数的范围时，从真命题的角度比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题是假命题，可以写出该命题的否定，利用命题的否定是真命题求得参数的范围.
训练题
（1）若命题“?x∈R，使得x2+2x-3m＝0”为真命题，则m的取值范围是　　 　　.
（2）已知命题“?x≥3，使得2x-1（3）若“?x∈R，m≥-x2+1”是真命题，则实数m的最小值为　　　　.
m
1
m
小结
1.全称量词与全称量词命题
定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词
符号表示 ?
定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题
一般形式 对M中任意一个x，
p（x）成立
符号表示 ?x∈M，p（x）
小结
2.存在量词与存在量词命题
定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词
符号表示 ?
定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题
一般形式 存在M中的元素x，
p（x）成立
符号表示 ?x∈M，p（x）
3.全称量词命题判断真假的方法
对于全称量词命题“? x ∈ M，p（x）”， 要判断它为真，需要对集合M 中的每个元素x，证明p（x）成立；要判断它为假， 只需在M 中找到一个x，使p（x）不成立.
4.存在量词命题判断真假的方法
对于存在量词命题“? x ∈ M，p（x）”， 要判断它为真，只需在M中找到一个x， 使 p（x）成立，要判断它为假，需要判断“ ? x∈ M，p（x）不成立”.
5.含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题“?x∈M，p（x）”的否定为“?x∈M，?p（x）”；
（2）存在量词命题“?x∈M，p（x）”的否定为“?x∈M，?p（x）”.
简记为“改换量词，否定性质”.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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