【课件】2.2 基本不等式 高中数学-RJA-必修第一册(共31张PPT)

(共31张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
2.2　基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
学习目标
1．了解基本不等式的证明过程．
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．
3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．
重点：1．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．
2．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．
难点：能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
a>0，b>0
a＝b
不小于
知识梳理
例1 设0A. B.b C.2ab D.a2+b2
题组一　利用基本不等式比较大小
常考题型
巩固训练
ABD
解题归纳
题型二　利用基本不等式求最值
<1>含一个未知数的最值问题
例2
巩固训练
C
D
（-∞，-2］∪［2，+∞）
巩固训练
例3 若正数x，y满足x+4y-xy＝0，则x+y的最小值为 （　　）
A.9 B.8 C.5 D.4
<2>含两个未知数的最值问题
巩固训练
A
B
B
巩固训练
解题归纳
利用基本不等式求最值的思路及方法
1.思路
（1）已知x，y都是正数.
①如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x+y有最小值；
②如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
可简记为“积定和最小，和定积最大”.
（2）在用基本不等式求函数的最大（小）值时，需要注意三个条件：
一正、二定、三相等.所谓“正”是指各项或各因式为正值.所谓“定”是指和或积为定值.所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到.
解题归纳
2.方法
（1）配凑法
利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：
一不正，用其相反数，改变不等号方向；
二不定，应凑出定和或定积；
三不等，一般用函数的图象或性质.
解题归纳
（2）整体意识
在利用基本不等式求最值时有时要用整体思想，即把一个代数式看成一个整体（一个数）.如题6，可将x+1看成一个整体.
（3）1的代换
在求含有两个未知数的最值问题时，若已知代数式的值为1（或可化为1），可将要求的代数式乘1，然后将1换成已知的代数式，展开后用基本不等式求解，这种方法称为1的代换.
解题归纳
（4）消元法
在解决含有两个未知数的最值问题时可采用消元的方法，将两个未知数化为一个未知数解决.如题10.可先由x2+xy-2＝0得到y＝-x，推出3x+y＝2x+，再根据基本不等式即可求出结果.
（5）换元法
在求解含有两个未知数的最值问题时，若已知等式中同时含有和或积的形式（和积同式），求和或积的最值，可采用先消元再换元的方法求解.先利用基本不等式消去和或积（求积消和，求和消积），然后换元解不等式求解.
例4
题组三　利用基本不等式证明
解题归纳
用基本不等式证明不等式的方法
1.若多次使用a+b≥，要注意等号能否成立，最后利用不等式性质累加时也要注意等号成立的条件.
2.在解决不能直接利用基本不等式的证明问题时，可考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件.若条件中有一个多项式的值为1，要注意“1”的代换.
巩固训练
例5 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）.
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的
总费用最小，并求出最小总费用.
题组四　利用基本不等式解决实际问题
巩固训练
解题归纳
用基本不等式解决实际问题的步骤
1.理解题意，设好变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定义为函数；
2.建立相应的函数关系式，把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题；
3.在自变量范围内，求出函数的最大值或最小值；
4.结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题.
小结
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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