【课件】3.1.1 函数的概念 高中数学-RJA-必修第一册 (共43张PPT)

(共43张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
3.1.1 　函数的概念
第三章　　函数的概念与性质
重点：体会函数是重要数学模型，正确理解函数的概念.
难点：对函数概念及符号()的理解.
1.体会函数是描述变量之间对应关系的重要数学模型，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数中的作用.
2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素.
3.能正确使用函数、区间符号.
学习目标
知识梳理
一、函数的概念
函数的定义 设是非空的实数集，
如果对于集合中的任意一个数，
按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，
那么就称为从集合A到集合的一个函数
函数的记法 ＝，
定义域 叫做自变量，的取值范围 叫做函数的定义域
值域 函数值的集合叫做函数的值域
集合A中元素的无剩余性
!
!
!
集合B中元素的可剩余性，
即集合B不一定是函数的值域，函数的值域一定是B的子集.
二、区间
1.区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2.实数集 R 可以用区间表示为（- ∞，+ ∞），“∞”读作“无穷大”，“- ∞”读作“负无穷大”，“+ ∞”读作“正无穷大”.
定义 区间 数轴表示
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值
三、同一个函数
一个函数的构成要素为：定义域，对应关系与值域.
因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数.
即相同的自变量对应的函数值也相同
!
一、函数关系的判断
常考题型
例1 下列从集合到集合的对应关系中，其中是函数的是（ ）
A．，对应关系,其中
B．，对应关系,其中
C．,对应关系,其中
D．，对应关系,其中
×
×
√
×
C
1.判断所给对应是否是函数
当集合M中的元素为奇数时，按照对应关系，其对应元素为非整数，但在N中无元素与之对应
M中每个元素,在N中都有两个不同元素对之对应
M中每个元素在N中都有唯一元素与之对应，故x→y是函数
反例：M中的元素0在N中没有元素对应
◆定义法判断函数关系
判断对应关系是否为函数，主要看以下三个方面：
1.A，B必须是非空数集；
2.A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
3.A中任何一个元素在B中必须有唯一一个元素与其对应.
1.下列对应关系是否为A到B的函数．
(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝； (2)A＝R＋，B＝R，f：x→y＝±；
(3)A＝N，B＝N＋，f：x→y＝|x－1|；(4)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|0≤x≤1}，f：x→y＝x.
【解】(1)A中的元素－1在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．
(2)对于集合A中任意一个正数，在集合B中有两个元素±与之对应，故不是A到B的函数．
(3)集合A中元素1在B中没有对应元素，故不是从A到B的函数．
(4)集合A中的任意一个元素，按照对应关系f：y＝x，在集合B中都有唯一一个确定的实数x与之对应，故是从集合A到B的函数．
训练题
2.［2020·成都外国语学校高一检测］设，，能表示从集合A到集合B的函数关系的
是 （　　）
A　　　　 　　B　　 　　　C　　　 　　　D
D
◆判断所给图形是否为函数图象的方法
过图形上任一点作x轴的垂线，若该垂线与图形无任何其他的公共点，则此图形是函数的图象，否则该图形一定不是函数的图象.
2.判断两个函数是否为同一函数
【解题提示】分析各选项中每组函数的定义域是否相同；定义域相同则再分析对应关系是否相同.两个条件都满足的是同一函数.
【答案】D
◆判断两个函数是否为同一函数的方法
只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数.在具体判断时，（1）先看定义域，若定义域不同，则两函数不同；（2）再看值域，若值域不同，则两函数不同；（3）最后看对应关系，若不同，则不是同一函数.
D
训练题
B
【解析】要使函数有意义，则
解得且，
故函数的定义域为 ， 故选B.
例3 ［2020·重庆八中高一检测］函数(x)=的定义域为（ ）
A． B． C．R D．
二、函数的定义域
分母不为零
!
!
二次根号下代数式不小于零
1.已知解析式求定义域
【答案】B
◆已知的解析式，求的定义域的方法
（1）若为整式，则其定义域为实数集R.
（2）若是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合.
（3）若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合.
（4）若是由几部分数学式子构成的，则其定义域是使各部分数学式子都有意义的实数的集合，即交集.
（5）＝的定义域是{∈R｜≠0}.
1.函数+的定义域为（ ）
A． [－2, ) ∪（，+∞） B．[－2,+∞)
C． （－2, ) ∪（，+∞） D．(－2,+∞)
A
B
训练题
2.求抽象函数、复合函数的定义域
【解题提示】求出函数y＝f（x）的定义域为［-1，3］，然后解不等式-1≤3x-2≤3可得出函数y＝f（3x-2）的定义域.
【答案】A
◆求复合函数定义域的方法
若函数的解析式是由几个部分的数学式子构成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集.其一般步骤为
1.将复合函数分解为若干个初等函数；
2.列出各初等函数满足的不等式；
3.各不等式组成的不等式组的解集即为复合函数的定义域.
C
B
C
【答案】D
◆已知函数定义域求参数的思路
求解此类问题需运用逆向思维以及化归与转化的思想方法.化归与转化即通过某种转化过程，将一个不易解决的问题转化为一个已经解决或比较容易解决的问题.
D
4.应用问题中函数的定义域
例6 如图3-1-1所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，
写出此盒子的体积V以x为自变量的函数解析式，并指明
这个函数的定义域.
训练题
［2020·贵州遵义航天高级中学高一检测］将长度为2的一根铁丝折成一边长为x的矩形，矩形的面积y关于x的函数关系式是y＝x（1-x），则函数的定义域为 （　　）
A.R B.{x|x>0} C.{x|0D
三、求函数值或值域
1.已知解析式求函数值
◆求函数值的常用方法
1.求函数值问题，首先要确定函数的对应关系f的具体含义，再代入求值；
2.求类似f（g（x））的值，要注意f，g作用的对象，按“由内到外”的顺序求值；
3.求抽象函数值要恰当运用赋值法，针对所求的函数值，给予适当赋值.
训练题
［2019·江苏江阴四校高一联考］已知函数f（x）＝x5+ax3+bx+1，
且f（）＝10，则f（2）＝　　　　.
2.已知图象求函数值
例8 ［2020·湖南长沙高一检测］已知函数y＝f（x）的对应关系如下表，函数y＝g（x）的图象是如图所示的曲线ABC，其中，，，则的值为 （　　）
1 2 3
2 3 0
A.3 B.0 C.1 D.2
【解析】由图象可知g（2）＝1，由表格可知f（1）＝2，
∴ f（g（2））＝f（1）＝2.故选D.
【答案】D
训练题
［2020·北京西城区高一检测］如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为 （　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
B
3.求抽象函数的函数值
例9 ［2020·山东沂水一中高一检测］若f（x）满足对任意的实数都有且，则+++…+ + + ＝ （　　）
A.1 009 B.2 018 C.2 019 D.2 020
【解析】利用=＝f（1）＝2，累加可得.
因为f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）＝f（a）·f（b）且f（1）＝2，
所以=＝f（1）＝2，
所以+++…+ + + ＝ ＝2×1 010＝2 020.
【答案】D
训练题
［2020·上海市上海中学高一检测］对任意正实数，，则＝　　　　.
4.求函数的值域
例10 ［2019·四川棠湖中学高一月考］函数y＝x+的值域为（）
A. B. C. D.
【解析】令t＝，则t≥0，可得x＝2-t2（t≥0），于是函数y＝x+转化为f（t）＝2-t2+t（t≥0）， f（t）的图象开口向下，对称轴为直线t＝.
∵ t≥0，∴ 当t＝时，函数f（t）取得最大值为＝，
∴ 函数f（t）的值域为.
∴ 函数y＝x+的值域为.
【答案】C
◆求函数值域的常用方法
1.观察法：对于一些简单的函数，可通过定义域及对应关系用观察的方法来确定函数的值域.
2.配方法：对于含二次项的有关问题，常常根据问题的要求，采用配方法来解决.
3.判别式法：将函数视为关于自变量的一元二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式函数、无理函数等，使用此法要特别注意函数的定义域.
4.换元法：对于一些无理函数，常通过换元的方法将其化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法求出原函数的值域.
5.分离常数法：对于一些分子和分母都是关于自变量的一次式，常采用分离常数法求值域.
训练题
1.［2019·浙江丽水高一检测］函数f（x）＝x2+2x（x∈［-2，1］）的值域是 （　　）
A.［0，3］ B.［-1，3］ C.［-1，0］ D.［-1，+∞）
2.［2019·四川成都石室中学高一段考］函数y＝的值域是　 　　.
3.［2020·海南琼海市嘉积中学高一检测］若［x］表示不超过x的最大整数，例如［-2.3］＝-3，［3.7］＝3，那么函数f（x）＝x-［x］的值域是 （　　）
A.［0，1］ B.（0，1） C.［0，1） D.（0，1］
B
C
5.已知函数值或值域求参数值
例11 ［2019·四川宜宾三中高一月考］若函数y＝的值域为［0，+∞），则实数m的取值范围是 （　　）
A.（-，） B.［-，］
C.［-，+∞） D.（-∞，-］∪［，+∞）
【解析】∵ 函数y＝的值域是［0，+∞），
∴ 2x2-mx+3能取遍所有大于或等于零的实数，
即方程2x2-mx+3＝0在实数集范围内有解.
∴ Δ＝ m2-4×2×3＝m2-24≥0，
解得m∈（-∞，-］∪［，+∞）.
【答案】D
◆已知函数值或值域求参数值的方法
1.注意调整思维方向，根据值域的含义将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题.
2.根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围.
训练题
1.［2019·四川阆中中学高一检测］若函数的定义域为［0，m］，值域为［-10，-6］，则m的取值范围是 （　　）
A.［0，4］ B.［4，6］ C.［2，6］ D.［2，4］
2.［2020·北京人大附中高一检测］函数，若存在，使得，则a的取值范围是　 　　　.
D
小结
三个知识点：
1.函数的概念（定义、记法、定义域、值域）；2.区间（定义、符号、数轴表示）；
3.同一函数（定义）.
四种题型：
1.判断所给对应是否是函数；
2.已知()的解析式，求()的定义域；
3.已知函数关系式，求函数值；
4.判定两个函数是否为同一函数.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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