【课件】3.2.1 单调性与最大（小）值-第2课时 高中数学-RJA-必修第一册 (共37张PPT)

(共37张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
3.2.1 　单调性与最大（小）值
（第2课时）
第三章　　函数的概念与性质
重点：会借助单调性求最值.
难点：掌握求二次函数在闭区间上的最值．
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2.会借助单调性求最值.
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．
学习目标
知识梳理
一、函数的最大值、最小值
定义域中至少有一个实数满足等式,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点
!
!
对定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是说,y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方
【做一做1】 设函数f(x)=2x-1(0≤x<1),则f(x)(　　)
A.有最大值,无最小值
B.有最小值,无最大值
C.既有最大值,又有最小值
D.既无最大值,也无最小值
解析:∵函数f(x)=2x-1在x∈[0,1)上单调递增,
∴f(x)在x=0时取得最小值,无最大值.
答案:B
二、最值
拓展知识
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在定义域R上,当a>0时,
【做一做2】 函数y=-x2+2x的最大值是　　　.
答案:1
总结归纳
函数的最值与单调性的关系
1.函数的单调性是其定义域的子集上的性质,是“局部”性质,而函数的最值是整个定义域上的性质,是“整体”性质.
2.若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
3.若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
常考题型
一、函数最值的求解
1.利用函数图象求函数的最值
（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；
（2）写出f（x）的单调区间及值域.
【解】（1）图象如图所示.
（2）由（1）中图象可知，f（x）的单调递增区间为
［-1，0］，［2，5］，
f（x）的单调递减区间为［0，2］，值域为［-1，3］.
◆图象法求最值
利用图象求最值的关键是根据函数解析式准确作出函数的图象，观察图象，图象的最低点对应的纵坐标为函数的最小值；图象的最高点对应的纵坐标为函数的最大值.
C
2.已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值,
并写出值域.
图象如图所示,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,
没有最小值,
所以其值域为(-∞,2].
2.利用单调性求函数的最值
(1)判断f(x)在区间[1,2]和[2,3]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.
分析:(1)证明单调性的流程为:
取值→作差→变形→判断符号→结论;
(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.
解:(1)设x1,x2是区间[1,3]上的任意两个实数,且x1即f(x)在区间[1,2]上是减函数.
当2≤x1∴f(x1)∴f(x)的最大值为5.
◆单调性法求函数的最值
1.若函数y＝f（x）在区间［a，b］上是增函数，则函数y＝f（x）在［a，b］上的最小值ymin＝f（a），最大值ymax＝f（b）.
2.若函数y＝f（x）在区间［a，b］上是减函数，则函数y＝f（x）在［a，b］上的最小值ymin＝f （b），最大值ymax＝f （a）.
3.若函数y＝f（x）在区间［a，b］上是增函数，在区间［b，c］上是减函数，则函数y＝f（x），x∈［a，c］在x＝b处有最大值f（b），最小值为f（a）与f（c）中的较小者.
4.若函数y＝f（x）在区间［a，b］上是减函数，在区间［b，c］上是增函数，则函数y＝f（x），x∈［a，c］在x＝b处有最小值f（b），最大值为f（a）与f（c）中的较大者.
解:任取2≤x1∵2≤x1∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0.
∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)C
2
2
2
◆含根号函数的值域或最值的求解方法
若只有一处含有根号，可考虑运用换元法求函数的值域或最值；若是多处含有根号，可考虑函数本身的特点，通过平方、配凑等方法处理函数，使其更容易计算出值域或最值.
3.二次函数的最值问题
例3 已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值.
分析:抛物线开口方向确定,对称轴不确定,需根据对称轴的不同情况
分类讨论.可画出二次函数相关部分的简图,用数形结合法解决问题.
解:f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上,且对称轴为直线x=a.
当a≥1时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数,最小值为f(1)=3-2a;
当-1当a≤-1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,最小值为f(-1)=3+2a.
【解题归纳】求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
训练题 求上例中函数f(x)的最大值.
当a≥1时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数,
最大值为f(-1)=3+2a;
当0≤a<1时,函数图象如图(2)所示,可知
函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3+2a;
解:f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上,且对称轴为直线x=a.
当-1函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(1)=3-2a;
当a≤-1时,函数图象如图(4)所示,可知
函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,最大值为f(1)=3-2a.
二、函数最值的应用
1.已知函数最值求参数
例4 ［2020·重庆高一月考］已知函数f（x）＝x2-2x+2在闭区间［0，m］上有最大值2，最小值1，则m的取值范围为　　　　.
【解题提示】运用数形结合法求解，作出函数f（x）的
图象，结合图象分析实数m的取值范围.
【解析】作出函数f（x）的图象，如图所示，
当x＝1时，y取得最小值，最小值是1；
当x＝2时，y＝2；当x＝0时，y＝2.因为函数f（x）＝x2-2x+2在闭区间［0，m］上有最大值2，最小值1，所以实数m的取值范围是［1，2］.
【答案】［1，2］
训练题
已知函数f（x）＝x+（a>0），当x∈［1，3］时，函数f（x）的值域为A，若A［8，16］，则a的值是　　　　.
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2.恒成立问题
例5 ［2019·辽宁大连八中高一月考］已知函数f（x）＝x2-x+a+1.
（1）若f（x）≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求f（x）在区间（-∞，a］上的最小值g（a）的表达式.
【解】（1）由f（x）≥0对一切实数x恒成立，知x2-x+a+1≥0对x∈R恒成立，
∴ Δ＝1-4（a+1）≤0，解得a≥，∴ 实数a的取值范围为.
（2）∵ f（x）＝x2-x+a+1＝+a+（x≤a），
∴ ①当a<时，g（a）＝f（x）min＝f（a）＝a2+1；
②当a≥时，g（a）＝f（x）min＝f(＝a+.
综上可知，g（a）＝
◆恒成立问题的求解方法
1.此类问题一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题，再参照求函数最值的方法进行求解.
2.常见情况：
① f（x）a恒成立?f（x）min>a.
3.在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的代数式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.
4.要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
训练题
［2019·黑龙江大庆铁人中学高一检测］已知二次函数g（x）＝mx2-2mx+n+1
（m>0）在区间［0，3］上有最大值4，最小值0.
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）设f（x）＝，若f（x）-kx≤0在x∈时恒成立，求k的取值范围.
解：（1）∵ g（x）＝m（x-1）2-m+1+n，
∴ 函数g（x）的图象的对称轴为直线x＝1.
又∵ m>0，∴ 依题意得即解得
∴ g（x）＝x2-2x+1.
（2）∵ f（x）＝，∴ f（x）＝x+-4.
∵ f（x）-kx≤0在x∈时恒成立，即x+-4-kx≤0在x∈时恒成立，
∴ k≥在x∈时恒成立.∴ 只需k≥.
令t＝，由x∈，得t＝∈.
设h（t）＝t2-4t+1＝（t-2）2-3.
则函数h（t）的图象的对称轴为直线t＝2，
∴ 当t＝8时，函数h（t）取得最大值33.
∴ k≥h（t）max＝h（8）＝33，∴ k的取值范围为［33，+∞）.
3.实际应用问题
例6 ［2019·辽宁葫芦岛高一月考］某工厂准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1 000万元，若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入近似满足函数R（m）＝5 000m- 500m2（0≤m≤5，m∈N）.
（1）试写出第一年的销售利润y（万元）关于年产量x（单位：百台，x≤5，x∈）的函数关系式.（说明：销售利润＝实际销售收入-成本）
（2）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年的年支出费用u（x）（万元）与年产量x（百台）的关系满足u（x）＝500x+ 500（x≤3，x∈），问年产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？
【解】（1）由题意可得，y＝5 000x-500x2-500-1 000x，
即y＝-500x2+4 000x-500（x≤5，x∈）.
（2）设工厂所得纯利润为h（x），
则h（x）＝-500x2+4 000x-500-u（x）
＝-500x2+3 500x-1 000＝500+5 125（x≤3，x∈）.
∴ 当x＝3时，函数h（x）取得最大值h（3）＝5 000.
即当年产量为3百台时，工厂所得纯利润最大，最大利润为5 000万元.
◆实际应用问题的一般步骤
1.读：阅读理解文字表达的意思，分清条件和结论，理顺数量关系，这是基础.
2.建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建模是解题的关键.
3.解：求解数学模型，得到数学结论，不仅要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.
4.答：将数学结论还原为实际问题的结果.
训练题
某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K（Q）＝40Q-Q2，则总利润L（Q）的最大值是 （　　）
A.2 500万元 B.2 000万元 C.2 400万元 D.2 200万元
A
小结
两个知识点：
1.函数的最大值、最小值；2.最值；
三种题型：
1.图象法求最值；
2.利用函数的单调性求最值；
3.二次函数的最值问题.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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