【课件】3.2.2 奇偶性 高中数学-RJA-必修第一册 (共53张PPT)

(共53张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
3.2.2 　奇偶性
第三章　　函数的概念与性质
学习目标
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.掌握偶函数的图象关于y轴对称、奇函数的图象关于原点对称的特性.
3.掌握奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性、偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性的特性.
重点：函数奇偶性的含义，判断函数的奇偶性.
难点：函数奇偶性的应用.
知识梳理
1.偶函数和奇函数
名师点拨
1.奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数;因为f(-x)与f(x)有意义,所以-x与x同时属于定义域,即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称.
2.函数f(x)是偶函数 对定义域内任意一个x,有f(-x)-f(x)=0 f(x)的图象关于y轴对称.
3.函数f(x)是奇函数 对定义域内任意一个x,有f(-x)+f(x)=0 f(x)的图象关于原点对称.
【做一做1-1】
若函数y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则a等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.无法确定
答案:C
【做一做1-2】
下列函数是偶函数的是(　　)
A.y=2x B.y=2x2+3
解析:由偶函数的定义知,y=2x2+3是偶函数.
答案:B
2.奇偶性
归纳总结
基本函数的奇偶性如下:
【做一做2-1】 下列图象表示的函数中,具有奇偶性的是(　　)
解析:图象关于原点对称时,函数为奇函数;图象关于y轴对称时,函数为偶函数.从而判断选项B正确.
答案:B
【做一做2-2】 若函数f(x)=x2-2mx+4是偶函数,则实数m=　　　.
答案:0
剖析
理解函数的奇偶性
函数f(x)的奇偶性的定义是用f(-x)=±f(x)来刻画函数f(x)的图象的特征(图象关于原点或y轴对称)的;函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的局部性质,而奇偶性是函数的整体性质.只有对函数f(x)的定义域内的每一个值x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),才能说f(x)为偶函数或奇函数;定义中要求“对于函数f(x)的定义域内任意一个自变量x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”成立,其前提为f(-x)和f(x)都有意义,所以-x也属于f(x)的定义域,即自变量x的取值范围要关于原点对称,于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集,这是函数存在奇偶性的前提.例如将函数f(x)=x2+1,f(x)=x的定义域分别限定为(0,+∞)与(-3,3],则它们都为非奇非偶函数;函数奇偶性的定义中的等式f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))是其定义域上的恒等式,而不是对部分x成立.
尽管当|x|≤1时,都有f(-x)=f(x),但当|x|>1时,f(-x)≠f(x),所以它不是偶函数.
常考题型
一、判断函数的奇偶性
1.已知函数解析式判断函数的奇偶性
（3）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），关于原点对称.
①当a≠0时，f（-x）＝|-x+a|-|-x-a|＝|x-a|-|x+a|＝-f（x），
∴ 函数f（x）是奇函数；
②当a＝0时，函数f（x）＝|x|-|x|＝0，
∴ f（-x）＝f（x）＝0且f（-x）＝-f（x）＝0，
∴ 函数f（x）既是奇函数又是偶函数.
综上所述，当a∈且a≠0时，函数f（x）是奇函数;
当a＝0时，函数f（x）既是奇函数又是偶函数.
◆判断函数奇偶性的四种常用方法
1.定义法：利用定义判断函数奇偶性的步骤


注意：（1）若有些函数解析式较复杂，可在定义域的基础上化简，然后判断；
（2）判断含参函数的奇偶性时，注意对参数进行分类讨论，
3.性质法
①设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇＝奇，奇×奇＝偶，偶+偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
②任何一个定义域关于原点对称的函数f（x）都可以拆分成一个偶函数和
一个奇函数的和，即f（x）＝f1（x）+f2（x），其中f1（x）＝
（偶函数），f2（x）＝（奇函数）.
（注意性质法中的结论在两个函数的公共定义域内才成立）
2.图象法
4.反例法:判断一个定义域关于原点对称的函数不具有奇偶性，只要举出反例使f（-x）≠±f（x）即可.
训练题
1.（1）下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是
（　　）
A.y＝B.y＝9-x2 C.y＝|x| D.y＝x3
（2）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，给出下列函数：①y＝f（|x|）；②y＝f （-x）；③y＝xf （x）；④y＝f （x）+x.其中的奇函数有　　　　.（填序号）
C
②④
2.判断下列函数的奇偶性:
分析:先求出定义域,再判断f(-x)与f(x)的关系.
解:(1)因为函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(2)因为函数的定义域为R,关于原点对称,
f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(3)因为函数的定义域为R,关于原点对称,
所以f(x)是偶函数.
2.判断分段函数的奇偶性
例2 判断函数f（x）＝ 的奇偶性.
【解】（方法一：图象法）画出函数f（x）的图象，如图所示.
∵ f （x）的图象关于原点对称，∴ 函数f （x）是奇函数.
（方法二：定义法） f （x）的定义域为.
（1）当x＝0时，-x＝0，f（-x）＝f（0）＝0，
f（x）＝f（0）＝0，∴ f（-x）＝-f（x）.
（2）当x>0时，-x<0，∴ f（-x）＝-（-x）2-2（-x）-3＝-（x2-2x+3）＝-f（x）.
（3）当x<0时，-x>0，∴ f（-x）＝（-x）2-2（-x）+3＝-（-x2-2x-3）＝-f（x）.
由（1）（2）（3）可知，当x∈R时，都有f（-x）＝-f（x），∴ f（x）为奇函数.
◆分段函数奇偶性的判断方法
1.定义法：用定义法来判断分段函数的奇偶性时，必须验证在每一段内都有f （-x）＝-f （x）（或f（x））成立，而不能只验证某一段；这里要特别注意x与-x的范围，然后代入相应的解析式中，f（x）与f（-x）对应不同的解析式，将它们的结果按奇偶性的定义进行比较.
2.图象法：用图象法则可减少较复杂的运算，特别是对于选择题、填空题，使用图象法解答较方便.
2.已知函数f（x）＝（x2-1）.
（1）化简函数f（x）的解析式，并写出它的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）画出函数的图象，并写出函数的单调区间.
D
解：（1）f（x）＝（x2-1）＝
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）.
（2） f（-x）＝［（-x）2-1］＝
-f（x），且f（x）的定义域关于原点对称，
∴ f（x）是奇函数.
（3）函数f （x）图象如图所示.
函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（0，+∞），无单调递减区间.
3.判断抽象函数的奇偶性
例3 已知函数f（x）不恒为0，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有
f（x1+x2）+f（x1-x2）＝2f（x1）f（x2）.求证：f（x）为偶函数.
【证明】令x1＝0，x2＝x，则f（x）+f（-x）＝2f（0）f（x）.①
又令x1＝x，x2＝0，则f（x）+f（x）＝2f（x）f（0）.②
由①-②，得f（-x）＝f（x），
∴ f（x）是偶函数.
◆判断抽象函数的奇偶性的方法
判断抽象函数f（x）的奇偶性时，因为f（x）无具体的解析式，所以首先要充分利用给定的条件，对变量进行赋值，使其变为含有f（x），f（-x）的式子，再利用奇、偶函数的定义加以判断.至于如何赋值，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值-1，0或1来达到解题目的.
训练题
1.［2019·山东泰安一中高一检测］（多选题）若定义在上的函数满足对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2），且当x>0时，f（x）<0，则 （　 　）
A.f（0）＝0 B.f（x）是奇函数
C.f（x）在R上是减函数 D.当x<0时，f（x）>0
ABCD
2.已知f（x）是定义在（-2，2）上的函数，且满足对任意x，y∈（-2，2），都有f（x）＝-f（y）.
（1）求f（0）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明.
解：（1）∵ 对任意x，y∈（-2，2），都有f（x）＝-f（y），
∴ 令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）-f（0），
∴ f（0）＝0.
（2）f（x）是定义在（-2，2）上的奇函数.证明如下：
函数的定义域为（-2，2），关于原点对称.
令y＝-x，得f（x）＝f（0）-f（-x），∴ f（x）+f（-x）＝f（0）＝0，
∴ f（x）在（-2，2）上是奇函数.
二、奇偶函数的图象特征及应用
例4 ［2020·海南高一检测］一个偶函数定义在区间［-7，7］上，它在［0，7］上的图象如图所示，下列说法正确的是 （　　）
A.这个函数仅有一个单调增区间
B.这个函数在其定义域内的最大值是7
C.这个函数有两个单调减区间
D.这个函数在其定义域内的最小值是-2
【解析】根据题意得到这个函数的图象如图所示.
由图象可知，这个函数有三个单调增区间，有三个
单调减区间；这个函数在其定义域内的最大值是7，
最小值不是-2.故选B.
【答案】B
◆奇偶函数的图象特征及应用
1.偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
2.函数奇偶性体现到图象上是图象的对称性，因此当问题涉及奇函数或偶函数时，不妨利用图象的对称性解决，或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律等.
3.解决奇、偶函数的图象问题，一般需借助奇、偶函数图象的对称性，由y轴一侧的图象可画出另一侧的图象，有了图象，我们可直观地研究函数的性质.
训练题
1.［2020·安徽黄山高一月考］下列四个图象中，可表示函数的图象的是 （　　）
　
　
A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　 　D
2.若函数y＝f（x）是奇函数，且函数F（x）＝af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8，则函数y＝F（x）在（-∞，0）上有 （　　）
A.最大值-8 B.最小值-8 C.最小值-6 D.最小值-4
A
D
3.［2019·安徽庐江二中高三检测］ 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为［-3，3］，且它们在上的图象如图所示，则不等式<0的解集是　　 　　.
（-2，-1）∪（0，1）∪（2，3）
三、函数的奇偶性的应用
1.利用函数的奇偶性求函数值
例5 ［2020·江西省高安中学高一检测］已知函数f（x）＝
ax5-bx3+cx-5，且f（-3）＝7，则f（3）的值为 （　　）
A.-17 B.-7 C.17 D.7
【解析】构造函数F（x）＝f（x）+5＝ax5-bx3+cx，易知F（-x）＝-F（x），所以F（x）为奇函数，故F（3）+F（-3）＝0，即f（3）+5+f（-3）+5＝0，而f（-3）＝7，所以f（3）＝-17.故选A.
【答案】A
◆利用函数的奇偶性求函数值的方法
1.未知的值不在已知的范围内，可利用奇偶性将未知的值或区间转化为已知的值或区间；
2.有些函数虽然是非奇非偶函数，但观察解析式可以发现其间存在奇偶性的解析式，所以可将非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数，从而间接地求值.
训练题
已知f（x），g（x）分别是定义在上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）＝x3+x2+2，则f（1）+g（1）等于 （　　）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
D
2. 利用函数的奇偶性求解析式
例6 ［2020·北京人大附中高一检测］已知f（x）是定义在上的函数，当时的解析式是.若f（x）为奇函数，则f（x）＝　　　　；若f（x）为偶函数且f（0）＝1，则f（x）＝　　　　.
【答案】
　　
◆利用奇偶性求函数解析式的方法
已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的
解析式的方法的一般步骤如下：
1.“求谁设谁”，即求函数在哪个区间内的解析式，x就设在哪个区间内；
2.将所设区间的x转化到已知区间，代入已知区间的函数解析式；
3.利用f （x）的奇偶性写出-f （x）或
f（x），从而解出f（x）.
训练题 1.已知函数y＝f（x）是定义在上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2-2x，则函数f（x）在上的解析式为　 　　 　.
2.已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,
求当x∈(-∞,0)时,f(x)的解析式.
解:设x<0,则-x>0.
∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1.
∵函数f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).
∴当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.
3. 已知函数的奇偶性求参数
例7 若函数f（x）＝为奇函数，则a＝（　）
A. B. C. D.1
【解析】由函数f（x）＝为奇函数，可得f（-x）＝-f（x），
∴＝，∴ -x（2x-1）（x+a）
＝-x（2x+1）（x-a），∴ -x（2x2+2ax-x-a）＝-x（2x2-2ax+x-a），
即2（2a-1）x＝0恒成立，∴ 2a-1＝0，即a＝，故选A.
【答案】A
◆利用函数的奇偶性求参数值的策略
1.一般化策略：当函数f（x）的解析式中含有参数时，根据函数奇偶性的定义列出等式f（-x）＝-f（x）或f（-x）＝
f（x），由等式求出参数的值.
2.特殊化策略：由特殊值或由函数的性质直接分析求解参数的值.
如本题中由选项可知a≠2，故函数f （x）在x＝±2处均有定义，故可根据f（-2）＝-f（2）求解.
训练题 ［2019·四川省江油中学高三检测］已知f（x）＝ax2+bx是定义在
［a-1，3a］上的偶函数，那么a+b＝ （　　）
A. B. C. D.
B
例8 若函数y＝f（x）在（0，2）上单调递增，函数y＝f（x+2）是偶函数，
则下列结论正确的是 （　　）
A. f（1）<< B.< f（1）< C.<< f（1） D.< f（1）<
四、函数的性质的综合应用
1.奇偶性与对称性的综合
【解析】∵ y＝f（x+2）是偶函数，∴ f（2-x）＝f（2+x）.
故y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴ f（1）＝f（3）.
又f（x）在（0，2）上单调递增，∴ f（x）在（2，4）上单调递减.
又2<<3<<4，∴ >f（3）>，
即【答案】B
◆函数图象对称性的常用结论
f（x）在定义域内满足条件 f（x）图象的对称轴（中心）
f（a+x）＝f（a-x） 直线x＝a
f（a+x）＝f（b-x） 直线x＝
f（a+x）+f（a-x）＝0 点（a，0）
f（a+x）+f（b-x）＝0 点
f（a+x）+f（a-x）＝2b 点（a，b）
f（x）+f（a-x）＝b 点
f（a+x）+f（b-x）＝c 点.
◆奇偶函数的单调性及应用
1.（1）奇函数在关于原点对称的两个区间［a，b］和［-b，-a］上的单调性相同.
（2）偶函数在关于原点对称的两个区间［a，b］和［-b，-a］上的单调性相反.
上述结论可概括为“奇同偶异”.
2奇偶性与单调性综合的两种题型:（1）比较大小问题；（2）抽象不等式问题.
训练题 1.已知函数f （x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4-x），当-2≤x<0时，f（x）＝，则＝ （　　）
A.-2 B.- C. D.2
2.定义在上的偶函数y＝f（x），其图象关于点对称，且x∈［0，1］时，f（x）＝-x-，则等于 （　　）
A.-1 B.- C.1 D.
D
C
【解析】因为f（x）对任意的x1，x2∈［0，+∞）（x1≠x2），都有<0，
所以函数f（x）在［0，+∞）上单调递减.
又f（x）为定义在上的偶函数，所以f（x）在（-∞，0）上单调递增；
所以由f（a）≤f（3a+1）可得|a|≥|3a+1|，即a2≥（3a+1）2，
整理得8a2+6a+1≤0，解得-≤a≤-.故选A.
【答案】A
◆利用奇偶函数的单调性解抽象不等式的一般步骤
1. 将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
2.利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f ”，转化为解不等式（组）的问题.
【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；
当不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式，如f（1）＝0，f（x-1）<0，则f（x-1）◆f（ax+b）>f（c）（a>0）型不等式的解法
f（x）奇偶性 f（x）单调性 转化不等式
奇函数 在定义域上单调递增 ax+b>c
在定义域上单调递减 ax+b偶函数 在对称区间上 左减右增 |ax+b|>|c|
在对称区间上 左增右减 |ax+b|<|c|
简言之一句话，将函数值不等式问题转化为自变量不等式问题.
2.［2020·重庆一中高一检测］已知定义域为R的函数f（x）在［1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）＝1，则不等式f（2x+1）<1的解集为 （　　）
A.（-1，1） B.（-1，+∞）
C.（-∞，1） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
3.［2019·广西钦州高一期末］已知偶函数y＝f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且图象经过点（-1，0）和（3，5），则当x∈［-3，-1］时，函数y＝
f（x）的值域是 （　　）
A.［0，5］ B.［-1，5］ C.［1，3］ D.［3，5］
C
A
A
3. 已知奇偶性与单调性比较函数值的大小
例10 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）＝-f（x），且在区间
［0，2］上单调递增，则 （　　）
A.f（-1）C.f（3）【解析】因为f（x）满足f（x-4）＝-f（x），所以令x＝0，可得f（-4）＝-f（0）.
又f（x）在R上是奇函数，所以f（0）＝0，
所以f（-4）＝-f（0）＝0，所以 f（4）＝-f（-4）＝0.
由f（x）＝-f（-x）及f（x-4）＝-f（x），得f（3）＝-f（-3）＝-f（1-4）＝f（1）.
又f（x）在区间［0，2］上单调递增，所以f（1）>f（0），即f（1）>0，
所以f（-1）＝-f（1）<0，f（3）＝ f（1）>0.
综上可得，f（-1）【答案】D

◆利用奇偶函数的单调性比较大小的一般步骤
1.先利用奇偶性和已知条件，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值.
2.利用函数的单调性比较大小.
4. 对称性、单调性、周期性的综合
例11 ［2020·重庆一中高三检测］定义域为R的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，且，则（　　）
A.4 035 B.4 036 C.4 037 D.4 038
【解析】由函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，得f（2-x）＝f（2+x），
即f（-x）＝f（4+x）.
又y＝f（x）为奇函数，所以f（x）＝-f（-x），
所以-f（x）＝f（4+x），所以f（x+8）＝-f（x+4）＝f（x），
所以函数的周期为8.
故f（2 018）+f（2 019）＝f（2）+f（3）＝f（2）+f（1）＝4 037.
【答案】C
【拓展】 函数f（x）＝f（x+T）（或f（x+a）＝f（x-b），其中a+b＝T），则说T是
函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期.
◆函数的周期性的常用结论
①若f（x）＝f（x+a），则周期T＝|a|；②若f（x）＝-f（x+a），则周期T＝2|a|；
③若f（x+a）＝f（x+b），则周期T＝|a-b|；④若f（x+a）为偶函数，则周期T＝2|a|.
训练题 ［2020·安徽安庆一中高一期末］定义在上的函数f（x）满足f（x-2）是
偶函数，且对任意x∈恒有，又f（-2）＝2 019，则f（2 020）＝　　　　.
小结
二个知识点：
1.偶函数和奇函数 ；2.奇偶性.
四种题型：
1.判断函数的奇偶性；
2.奇(偶)函数的图象问题；
3.利用函数的奇偶性求参数；
4.利用函数的奇偶性求函数的解析式.
知易行难，重在行动
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