【课件】3.3 幂函数 高中数学-RJ·A-必修第一册 (共37张PPT)

(共37张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
3.3 　幂函数
第三章　　函数的概念与性质
学习目标
1.了解幂函数的概念.
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，的图象，了解它们的变化情况.
重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.
难点：画幂函数的图象，并由图象概括其性质.
知识梳理
1.幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
幂函数与指数函数的区别与联系
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B.
答案:B
2.幂函数的图象
归纳总结
幂函数在第一象限内的指数变化规律:在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小,即指数大的在上边.
3.五种常见幂函数的性质,列表如下:
幂函数有如下性质:
(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有意义,图象都通过点(1,1),并且幂函数的图象都不过第四象限.
(2)当α>0时,幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1),并且在区间[0,+∞)内都是增函数.当α<0时,幂函数的图象都通过点(1,1),在区间(0,+∞)内都是减函数,在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
知识拓展
【做一做2】 下列结论正确的是(　　)
A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)
B.幂函数的图象可以出现在第四象限
D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数
解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;
因为所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有定义,且y=xα(α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;
当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数,但在它的定义域上不是减函数,
故选项D不正确.故选C.
答案:C
常考题型
一、幂函数的概念
1. 幂函数的判断
例1 幂函数f（x）＝（m2-3m+3）xm的图象关于y轴对称，则实数m＝　　.
【解析】∵ f（x）＝（m2-3m+3）xm是幂函数，∴ m2-3m+3＝1，
∴m＝1或m＝2.
当m＝1时，函数f（x）＝x的图象不关于y轴对称，舍去；
当m＝2时，函数f（x）＝x2的图象关于y轴对称，符合题意.
综上可知，m＝2.
【答案】2
◆幂函数的判断的一般方法
幂函数y＝xα的三个特征：
①系数为1；②底数只能是自变量x；③幂指数是常数.
只有满足这三个特征，才是幂函数.
训练题
1.［2020·湖南衡阳县四中高一月考］下列函数既是偶函数又是幂函数的是 （　　）
A.y＝x B.y＝ C.y＝ D.y＝|x|
2.［2019·山西涑北中学高一月考］已知函数f （x）＝（m2+m-1）xm+3是幂函数，且该函数是偶函数，则m的值是　　 　　.
C
1
2. 确定幂函数的解析式、定义域和值域
例2 已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（2，），则a＝　　　　.
不等式f（x）>3的解集为　　　　.
【解析】由题意，将点（2，）的坐标代入f（x）＝xa，得2a＝＝，
∴ a＝.不等式f（x）>3，即>3，∴ x>9.
【答案】　（9，+∞）
◆待定系数法确定幂函数的解析式
1.设出幂函数的解析式y＝xα；2.将图象上的点的坐标代入解析式得关于α的方程；
3.求出参数α； 4.代回得幂函数的解析式.
◆幂函数的定义域和值域的求法
1.当α＝0时，的定义域为，值域为.
2.当α为正整数时，的定义域为，α为正偶数时，值域为［0，+∞），α为正奇数时，值域为.
3.当为负整数时，的定义域为为负偶数时，值域为为负奇数时，值域为.
B
B
二、幂函数的图象及其应用
1. 图象的画法与识别
例3 ［2020·重庆八中高一检测］幂函数f（x）＝xα（α∈）的图象经过点
（8，4），则幂函数f（x）的大致图象是 （　　）
　　
　　
　　
A B C D
【解析】∵ f（x）＝xα（α∈）的图象经过点（8，4），
∴ f（8）＝4，即8α＝4，α＝，
∴ f（x）＝，f（x）为偶函数，故选C.
【答案】C
◆幂函数图象的识别和作法
1.当α>0时，
（1）图象都过点（0，0），（1，1）；
（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
（3）在第一象限内，α>1时，图象是向下凸的，0<α<1时，图象是向上凸的；
（4）在第一象限内，过（1，1）点后，图象向右上方无限伸展.
2.当α<0时，
（1）图象都过点（1，1）；
（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；
（3）在第一象限内，图象向左与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；
（4）在第一象限内，过（1，1）点后，|α|越大，图象下落的速度越快.
训练题
1.［2019·湖南衡阳高一期末］下列命题正确的是 （　　）
A.幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
B.当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线
C.如果两个幂函数的图象至少有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点（-1，1）
D
2.［2019·黑龙江哈尔滨高一期末］图中给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是 （　　）
① ② ③ ④
B
2. 图象的应用
例4 ［2020·上海曹杨中学高一期末］设y＝f（x）和y＝g（x）是两个不同的幂函数，集合M＝{（x，y）|f（x）＝g（x）}，则集合M中元素的个数为 （　　）
A.1或2或0 B.1或2或3
C.1或2或3或4 D.0或1或2或3
【解析】任意幂函数的图象必过点（1，1），
故（1，1）∈M，故排除A，D.
任意两个幂函数的图象不可能有4个交点，故排除C.
故选B.
【答案】B
训练题
1.已知幂函数f（x）＝（m∈）的图象关于y轴对称，
且在区间（0，+∞）上单调递减，则m的值为　　　　.
2.［2019·福建三明高一期末］函数f（x）＝xa+b，不论a为
何值，f（x）的图象均过点（m，m），则实数b的值为（　）
A.0 B.1 C.2 D.3
2
A
三、幂函数的性质及其应用
1.幂函数的性质
【解析】 设f（x）＝xa，因为函数f（x）的图象经过点，所以2a＝＝2-3，解得a＝-3，根据幂函数f（x）＝x-3的图象如图所示，可知①不正确，②正确，③说法有误，
【答案】②④
C
④
2.比较幂的大小
例6 ［2020·山东淄博一中高一检测］已知a＝20.4，b＝30.2 ，c＝50.2 ，则（　）
A.a【解析】由已知可得a＝20.4＝（22）0.2＝40.2.因为幂函数y＝x0.2在（0，+∞）
上单调递增，且3<4<5，所以30.2<40.2<50.2，即b【答案】B
◆比较幂的大小的方法
比较两个幂值的大小，关键是构造适当的函数.若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑借助函数的图象来比较.
训练题
1.比较下列各组数中两个数的大小:
解:(1)∵幂函数y[0,+∞)内是增函数,
(2)∵幂函数y=x-1在区间(-∞,0)内是减函数,
(3)∵函数y1R上为减函数,
又函数y2[0,+∞)内是增函数,
2.已知（0.71.3）m<（1.30.7）m，求m的取值范围.
解：根据幂函数y＝x1.3的图象（图略），可知当01时，y>1，∴ 1.30.7>1.于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y＝xm，由（0.71.3）m<（1.30.7）m知，当x>0时，随着自变量x的增大，函数值y也增大，
∴ m的取值范围是（0，+∞）.
◆已知单调性、奇偶性求参数的思路
关键是利用幂函数的单调性和奇偶性进行合理转化，列出含参数的方程（组）或不等式（组）求解.
0
解：因为f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以m2-2m-3<0，
所以-1当m＝0时，f（x）＝x-3，为奇函数，舍去；
当m＝1时，f（x）＝x-4，为偶函数，符合题意；
当m＝2时，f（x）＝x-3，为奇函数，舍去.
故f（x）＝x-4.
【答案】
◆利用幂函数的单调性解不等式的一般步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题，求解步骤如下：
（1）确定可以利用的幂函数；
（2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；
（3）解不等式（组）求参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用.
训练题
1.［2019·湖北荆州高三检测］若对任意的x∈［a，a+2］，均有
（3x+a）3≤8x3，则实数a的取值范围是 （　　）
A.（-∞，-2］ B.（-∞，-1］ C.（-∞，0］ D.［0，+∞）
2.［2020·四川高一检测］已知幂函数f（x）＝（m2-m-1）x-2m-1在（0，+∞）上单调递增.
（1）求实数m的值.
（2）若（k+1）m<（3-2k）m，求实数k的取值范围.
B
解：（1）因为f（x）是幂函数，所以m2-m-1＝1，解得m＝-1或m＝2.
又因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以-2m-1>0，即m<，所以m＝-1.
小结
二个知识点：
1.幂函数的定义；2.幂函数的图象；3.五种常见幂函数的性质.
四种题型：
1.幂函数的概念问题；
2.幂函数的图象问题；
3.比较幂的大小.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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