【课件】3.4 函数的应用（一） 高中数学-RJA-必修第一册 (共41张PPT)

(共41张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
3.4 　函数的应用（一）
第三章　　函数的概念与性质
1.体会一次函数、二次函数的特点.
2.会选择不同的函数模型解决实际问题.
学习目标
重难点：建立一次函数、二次函数的模型解决实际问题.
知识梳理
一次函数、幂函数的特点
常考题型
一、利用函数模型解决实际问题
1.利用一次函数模型解决实际问题
例1 ［2019·湖北沙市中学高一期末］某商场对某种新上市的品牌商品进行促销活动，已知此品牌的一个水杯定价20元，一个钥匙扣定价5元，且该商场推出两种优惠活动方式：
（1）买一个水杯赠送一个钥匙扣；
（2）按购买两种商品的总费用的90%付款.
若某宿舍4位同学需集体购买水杯4个，钥匙扣x个（不低于4个），试按两种不同优惠方式写出实付款y元关于x的函数关系式，并讨论选择哪种优惠方式购买更划算？
【解题提示】分别按不同的优惠方式求出实付款y元关于x的函数关系式；为了
比较哪种活动方式更优惠，分别令y1＝y2，y1y2，分三种情况讨论.
【解】由优惠活动方式（1）可得
y1＝20×4+5（x-4）＝60+5x（x≥4且x∈N）；
由优惠活动方式（2）可得
y2＝（20×4+5x）×90%＝72+4.5x（x≥4且x∈N）.
令y1＝y2，即60+5x＝72+4.5x，解得x＝24；
令y1>y2，即60+5x>72+4.5x，解得x>24；
令y1故当4≤x<24时，采用第一种优惠活动方式更划算；
当x＝24时，两种优惠活动方式的实付款一样；
当x>24时，采用第二种优惠活动方式更划算.

◆解决函数应用问题的四个步骤
1.审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
2.建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用
数学知识，建立相应的函数模型；
3.解模：求解函数模型，得出数学结论；
4.还原：将数学结论还原为实际意义的问题.
以上过程用框图表示如下：
◆用一次函数解决实际问题的四个关注点
1.一次函数有单调递增（k>0）和单调递减（k<0）两种情况.
2.图象一般是一条直线（线段、射线）或一些孤立的点.
3.一次函数模型的增长特点是直线上升.
4.若实际问题中两个变量间的关系是线性的，则可通过建模转化为一次函数解决问题.如行程、价格、分配等问题.
训练题
［2019·山东潍坊高一月考］某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元.设甲地调运x台至B地，该公司电脑运往A和B两地的总运费为y元.
（1）求y关于x的函数关系式.
（2）若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
（3）求总运费最低的调运方案及最低运费.
解：（1）甲地调运x台到B地，则剩下（6-x）台电脑调运到A地；乙地应调运
（8-x）台电脑到B地，运往A地12-（8-x）＝（x+4）台电脑（0≤x≤6，x∈）.
则总运费y＝30x+40（6-x）+50（8-x）+80（x+4）＝20x+
960，∴y＝20x+960（x∈N，且0≤x≤6）.
（2）若使y≤1 000，即20x+960≤1 000，得x≤2.
又0≤x≤6，x∈N，∴0≤x≤2，x∈N，
∴x＝0，1，2，即能有3种调运方案.
（3）∵y＝20x+960是R上的增函数，
又0≤x≤6，x∈N，∴当x＝0时，y有最小值为960，
∴从甲地运6台到A地，从乙地运8台到B地，运4台到A地，运费最低，最低
运费为960元.
2.利用二次函数模型解决实际问题
【点拨】
实际问题中，如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线（或抛物线的一部分）等问题的一般选用二次函数模型.解题时先根据已知条件确定二次函数的解析式，再结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识解决实际问题.
◆用二次函数解决实际问题的策略
1.根据实际问题建立函数解析式（即二次函数关系式）.
2.利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.
3.解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象.
4.利用二次函数求最值时，应特别注意取到最值时的自变量与实际意义是否符合.
训练题 1.［2020·江西于都二中高一月考］“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，减少空气污染，某空气净化器制造厂决定投入生产某种惠民型的空气净化器.根据以往的生产销售经验得到月生产销售的统计规律如下：
①月固定生产成本为2万元；
②每生产该型号空气净化器1百台，成本增加1万元；
③月生产x百台的销售收入R （x）＝（万元）.
假定生产的该型号空气净化器都能卖出（利润＝销售收入-生产成本）.
（1）为使该产品的生产不亏本，月产量应控制在什么范围内？
（2）该产品生产多少台时，可使月利润最大？并求出最大值.
解：（1）设成本函数为C（x），年利润函数为L（x）.
由题意得成本函数C（x）＝x+2，
年利润函数L（x）＝R（x）-C（x）
＝
要使该产品的生产不亏本，只要L（x）≥0，
所以或
解得1≤x≤4或4综上，1≤x≤5.5.
答：若要该厂不亏本，月产量应控制在1百台到5.5百台范围内.
（2）当0≤x≤4时，L（x）＝-0.5（x-3）2+2，
故当x＝3时，L（x）max＝2（万元）；
当x>4时，L（x）<1.5.1.5<2.
综上，当产量为300台时，利润最大，最大值为2万元.
答：当产量300台时，利润最大，最大值为2万元.
3. 利用对勾函数模型解决实际问题
例3 ［2019·上海外国语大学闵行外国语中学高一检测］10辆货车从A站匀速驶往相距2 000千米的B站，其时速都是v千米/时，为安全起见，要求：每辆车时速不得超过100千米/时，每辆货车间隔kv2千米（k为常数，货车长度忽略不计）.将第一辆货车由A站出发到最后一辆货车到达B站所需时间t表示为v的函数f（v）.
（1）求t＝f（v），并写出v的取值范围.
（2）若k＝，请问当v取何值时，t有最小值？并求出最小值.
◆用对勾函数的单调性解决实际问题的策略
对勾函数f（x）＝x+（a>0）的图象如图所示，
1.图象关于原点对称；
2.单调增区间为［，+∞），（-∞， -］，
单调减区间为（0，］，［-，0）；
3.在（0，+∞）上有最小值，为f（）＝，
在（-∞，0）上有最大值，为f（-）＝.
训练题 如图所示，某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形温室蔬菜大棚，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.问：当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜种植面积最大，最大种植面积是多少？
解：设矩形的左侧边长为x m，蔬菜种植面积为y m2，
则矩形的后侧边长为m，依题意有y＝（x-4）·
＝808-，由对勾函数的性质，知当x＝，即x＝40时，函数g（x）＝取得最小值80，此时y取得最大值，ymax＝808-2×80＝648，这时有＝20.
故当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.
4. 利用分段函数模型解决实际问题
例4 ［2020·湖南长沙高一期末］某厂生产某种零件，每个零件的成本为100元，出厂单价定为160元，该厂为了鼓励零售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，所订购的全部零件的出厂单价就降低0.05元，但出厂单价不能低于130元.
（1）某零售商若一次订购该零件300个，求该零售商所订购零件的出厂单价.
（2）若某零售商一次订购x个（x∈N*），零件的实际出厂单价为y元，试求y＝f（x）的函数解析式.
【解】　（1） 一次订购300个，零件出厂单价为160-（300-100）×0.05＝150（元）.
（2）当x≤100时，y＝160；
令160-（x-100）×0.05＝130，解得x＝700.
所以当100当x>700时，y＝130.
综上所述，y＝
◆利用分段函数模型解决实际问题的方法技巧
1.分段函数中每一段自变量所遵循的规律不同，在应用时，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.
2.对于分段函数模型的最值问题，应先求出每一段上的最值，然后比较大小.
训练题
1.［2019·山东济南高一期末］已知某条地铁线路通车后，地铁的发车时间间隔为t（单位：分钟），并且2≤t≤15.经市场调研测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10（1）求p（t）的解析式，并求当发车时间间隔为5分钟时，地铁的载客量.
（2）若该线路每分钟的利润为Q（t）＝+230（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的利润最大.
解：（1）由题意知p（t）＝
因为p（2）＝450-k（10-2）2＝258 ，解得k＝3 ，
所以p（t）＝
所以p（5）＝-3×52+60×5+150＝ 375（人）.
（2）由Q（t）＝+230， 可得Q（t）＝
当2≤t≤10 时，Q（t）＝-18+590，
由对勾函数的性质知Q（t） 在［2，10］上为增函数，最大值为Q（10）＝5.
当10因为5<80.所以当发车时间间隔为15分钟时，该线路每分钟的利润最大，最大值为80元.
二、图表型应用问题
　　　　
例5 ［2020·福建师大附中高一期末］某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的折线段表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.
（1）　　　　　　　 　　（2）　　　
（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式f（t）；写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式g（t）.
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天）
【解】（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f（t）＝
由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g（t）＝（t-150）2+100，0≤t≤300.
（2）设上市第t天的纯收益为h（t），则h（t）＝f（t）-g（t），
即h（t）＝
当0≤t≤200时，h（t）＝（t-50）2+100，∴ 当t＝50时，h（t）在区间［0，200］上取得最大值，最大值为h（50）＝100.
当200∴ 当t＝300时，h（t）在区间（200，300］上取得最大值，最大值为h（300）＝87.5.综上所述，h（t）在区间［0，300］上的最大值为100，此时t＝50，即从2月1日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大.
◆解决图表型应用问题的一般步骤
第一步：观察图表，提取有效信息；
第二步：对信息进行加工，分清自变量和因变量，弄清变量之间的关系；
第三步：选择恰当的数学工具，选择或构建数学模型进行解决；
第四步：回归实际问题进行检验.
训练题
1.［2019·重庆高一期末］学校某研究性学习小组在对学生
上课注意力集中情况的调查研究中，发现在40分钟的一节
课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系
满足如图所示的图象，当x ∈（0，12］时，图象是二次函
数图象的一部分，其中顶点为A（10，80），同时过点B（12，78）；当x ∈［12，40］时，图象是线段BC，其中C（40，50）.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，教师安排核心内容的时间段应为　　 　　.（写成区间形式）
（4，28）
2.［2019·北京昌平区高一期末］为弘扬中华优秀传统文化，某学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，对小明同学两类读物的阅读量统计如下：
小明“经典名著”的阅读量f（t）（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示：
t 0 10 20 30
f（t） 0 2 700 5 200 7 500
“古诗词”的阅读量g（t）（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图所示的关系.
（1）请分别写出函数f（t）和g（t）的解析式.
（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？
解：（1）因为f（0）＝0，所以可设f（t）＝at2+bt，将（10，2 700）
与（30，7 500）代入f（t）＝at2+bt，解得a＝-1，b＝280.
所以f（t）＝-t2+280t.
又令g（t）＝kt（0≤t<40），将（40，8 000）代入g（t）＝kt，解得k＝200；
令g（t）＝mt+n（40≤t≤60），将（40，8 000），（60，11 000）代入
g（t）＝mt+n，解得m＝150，n＝2 000，
所以 g（t）＝
（2）设每天阅读量为h（t），小明对“经典名著”的阅读时间为t（0≤t≤60），则对
“古诗词”的阅读时间为60-t，
①当0≤60-t<40，即20＝-t2+80t+12 000＝-（t-40）2+13 600，
所以当t＝40时，h（t）有最大值13 600.
(2)当40≤60-t≤60，即0≤t≤20时，h（t）＝f（t）+g（t）＝-t2+280t+150（60-t）+2 000
＝-t2+130t+11 000，
因为h（t）图象的对称轴为直线t＝65，所以当0≤t≤20时，h（t）是增函数，
所以当t＝20时，h（t）有最大值13 200.
因为 13 600>13 200，所以阅读量h（t）的最大值为13 600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟，每天的阅读量最大，最大值为13 600字.
小结
一个知识点：
1.一次函数、幂函数的特点.
四种题型：
1.利用一次函数模型解决实际问题；
2.利用二次函数模型解决实际问题；
3.利用分段函数模型解决实际问题.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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