【课件】4.3 对数 高中数学-RJA-必修第一册 (共29张PPT)

(共29张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
4.3　对数
第四章 指数函数与对数函数
学习目标
1.理解对数的概念.
2.理解对数的运算性质.
3.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
4.了解对数在简化运算中的作用.
重点：对数的概念与运算性质.
难点：对数概念的理解.
知识梳理
一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做 ，记作x＝logaN，其中a叫做对数的 ，N叫做 .
通常，我们将以10为底的对数叫做 ，并把log10N记为lg N.
以e为底的对数称为 ，并把logeN记为ln N.
对数与指数间的关系：
当a>0，a≠1时，ax＝Nx＝logaN.
一、对数的概念
以a为底N的对数
底数
真数
常用对数
自然对数
二、对数的运算
对数的基本性质：
（1）负数和0没有对数；（2）loga1＝ ，logaa＝ .
对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
（1）loga（MN）＝logaM+logaN；（2）＝logaM-logaN；
（3）logaMn＝nlogaM（n∈R）.
对数换底公式：logab＝（a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1）.
0
1
常考题型
例1 ［2020·浙江瑞安高一联考］给出下列各式：
①lg （lg 10）＝0；②lg （ln e）＝0；
③若10＝lg x，则x＝10；④若log25x＝，则x＝±5.
其中，正确的是　　　　.（把正确的序号都填上）
【解析】　∵ lg 10＝1， ∴ lg （lg 10）＝lg 1＝0， ①正确；∵ ln e＝1，∴ lg （ln e）＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③不正确；由log25x＝，得x＝＝＝5，④不正确.
【答案】　①②
一、对数的概念
◆指、对互化的解题思路
1.对数式与指数式的互化是运用化归思想解决对数问题的桥梁.
2.对数问题可以转化为指数问题，利用指数的有关运算性质来解决问题.
3.反过来，也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到简捷的解答.
训练题
D
2.若loga2＝m，loga5＝n，则a3m+n＝（　　）
A.11 B.13 C.30 D.40
3.求下列各式中x的值.
（1）log8x＝；（2）logx27＝；（3）log2（log5x）＝0；
（4）log3（lg x）＝1.
C
解：（1）由log8x＝，得x＝＝＝2-2＝，即x＝.
（2）由logx27＝，得＝27，即＝33，
故x＝＝34＝81.
（3）由log2（log5x）＝0，得log5x＝1，故x＝51＝5.
（4）由log3（lg x）＝1，得lg x＝3，故x＝103＝1 000.
二　运用对数的运算性质化简和求值
对数式化简的常用方法和技巧
（1）对于同底数的对数式，化简的常用方法为：
①“收”，即运用对数的运算法则，将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数；
②“拆”，即运用对数的运算法则，将对数式“拆”成几个对数的和（差）.
（2）对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“lg 5+lg 2＝1”来解题.
（3）对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简.
（4）当真数是形如“ ± ”的式子时，常用的方法是“先平方，后开方”或“取倒数”.
训练题
1.（1）［2020·江西宜丰二中高一检测］2log32-log3+log38-
＝　　　　.
（2） ［2020·吉林九台市第四中学高一检测］+＝　　　　.
-1
12
三、换底公式及其应用
例3 ［2020·河北邯郸市第一中学高一检测］已知函数f（x）是奇函数，且当x<0时，f（x）＝5-x-1，则f（log499·log57）的值为 （　　）
A.-4 B.-2 C. D.
【解题提示】　先化简log499·log57，再根据f（x）是奇函数，以及x<0时的函数解析式求值.
【答案】　B
◆换底公式的作用
1.将不同底数的对数式转化为同底数的对数式运算；
2.将一般对数转化为自然对数或常用对数运算.
训练题
1.［2017·北京卷］根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与（参考数据：lg 3≈0.48）最接近的是 （　　）
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
D
四、有附加条件的对数式的求值问题
【解题提示】　（1）取对数后可得＝log64，＝log69，计算即可求值.
（2）先利用指数幂的运算性质化简，再将a，b代入利用换底公式化简.
◆解有附加条件对数式求值问题的方法技巧
带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则，并整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化进行解题.
A
B
C
9
五、对数方程
例5 ［2020·上海师范大学附属中学高三检测］方程log2（9x-5）＝2+log2（3x-2）的解为x＝　　　　.
【解题提示】　先应用对数运算法则把方程转化为log2 f（x）＝log2 g（x），再化为f（x）＝g（x），然后把3x作为一个整体，则方程可化为一元二次方程，从而可求解.
【解析】　原方程可化为log2（9x-5）＝log2［4（3x-2）］，
∴ 9x-5＝4（3x-2）>0，3x>2，∴ （3x）2-4×3x+3＝0，∴ （3x-3）（3x-1）＝0，
∵ 3x>2，∴ 3x＝3，即x＝1.
【答案】　1
◆对数方程的类型及一般解法
对数方程一般有两种：
1. loga f（x）＝loga g（x）
可利用对数函数性质化为一般方程f（x）＝g（x）>0求解；
2. p（logax）2+qlogax+r＝0
利用换元法，设t＝logax，化为一元二次方程pt2+qt+r＝0求解.
训练题
1.［2020·上海复旦附中高三检测］方程log2（9-2x）＝3-x的解为x＝　　　　.
0或3
2.（1）［2019·河北武邑中学高一月考］若＝9，
则x＝　　　　.
（2）［2020·河北邯郸市第一中学高一检测］解方程：（lg x-lg 3）＝
lg 5- lg（x-10）.
2
小结
1.对数概念
两种特殊对数：常用对数lg和自然对数ln.
对数式与指数式关系：
2.对数运算性质
3.对数换底公式
对数换底公式：
logab＝
（a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1）.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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