【课件】4.4 对数函数 高中数学-RJA-必修第一册 (共55张PPT)

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数学-RJ·A-必修第一册
4.4　对数函数
第四章 指数函数与对数函数
学习目标
1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.
2.了解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数与对数函数互为反函数.
重点：对数函数的概念、图象和性质.
难点：对数函数性质的应用.
知识梳理
一般地，函数y＝logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）.
一、对数函数的概念
二、对数函数的图象和性质
01
图象
定义域
值域
性质 （1）过定点（1，0），即x＝1时，y＝0
（2） 函数 （2） 函数
（0，+∞）
减
增
一般地，指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）与对数函数
y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
三、反函数
一　对数函数的概念
常考题型
例1 给出下列函数：
①y＝；②y＝log3（x-1）；③y＝log（x+1）x；④y＝logπx.其中是对数函数的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】　①②不是对数函数，因为真数不是只含有自变量x；
③不是对数函数，因为底数不是常数；④是对数函数.
【答案】　A
1. 对数函数的判断
◆判断对数函数的方法
1.对数函数在形式上具有以下四个特点：
（1）表达式：y＝logax；（2）系数：logax系数必须是1；
（3）底数：a>0，且a≠1；
（4）自变量x在真数的位置上.
2.一个函数的表达式整理后，只有全部具备以上四个条件的才是对数函数，否则就不是对数函数.
训练题 若函数f（x）＝（a2+a-5）logax为对数函数，则等于（　　）
A.3 B.-3 C.-log36 D.-log38
B
【答案】　D
◆对数（型）函数定义域的求法
1.求对数（型）函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要注意如下要求：
（1）真数大于0；
（2）底数大于0且不等于1.
2. y＝loga f（x）（a>0，且a≠1）型的定义域就是 f（x）>0的解集.
3.y＝f（logax）型的定义域首先要保证f（x）的表达式有意义，还要保证真数大于0.
（-1，2）
C
1. 图象的画法
例3 作出函数y＝|log2（x+1）|+2的图象.
【解】　第一步：作出函数y＝log2x的图象，如图（1）.
第二步：将函数y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，
得到函数y＝log2（x+1）的图象，如图（2）.
（1） （2）
二、对数（型）函数的图象及其应用
（3） （4）
第三步：将函数y＝log2（x+1）的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得到函数y＝|log2（x+1）|的图象，如图（3）.
第四步：将函数y＝|log2（x+1）|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图（4）.
◆图象的画法
1.三点法:在平面直角坐标系上通过描出，（1，0）（a，1）三个点并连线，从而画出对数函数的大致图象.
2.变换作图法
（1）一般地，函数y＝f（x+a）+b（a，b为实数）的图象是由函数y＝f（x）的图象沿x轴向左（a>0）或向右（a<0）平移|a|个单位长度，再沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的.
（2）含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，函数y＝f（|x-a|）的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝| f（x）|的图象与y＝f（x）的图象在f（x）≥0的部分相同，在f（x）<0的部分关于x轴对称.
为了得到函数y＝lg（x+3）-1的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点 （　　）
A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
训练题
C
2. 图象的识别
例4 ［2020·山东省济宁市实验中学高一检测］已知lg a+lg b＝0（a>0且a≠1，b>0且b≠1），则函数f（x）＝a-x与函数g（x）＝logbx的图象可能是 （　　）
　
　
　
A B C D
【解题提示】　由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图象，即可得到答案.
【解析】　lg a+lg b＝0，即为lg（ab）＝0，即有ab＝1，
当a>1时，0对数函数图象不可能在y轴的左边，A显然不成立；
选项D是0当01，函数f（x）＝a-x与函数g（x）＝logbx在同一坐标系中的图象可能是B，故选B.
【答案】　B
◆对数函数图象的特点
1.底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>1时，图象上升；02.对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象（C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d）的相对位置与底数大小有关，图中0在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大.（无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大）
训练题
1.［2019·山东潍坊高一期末］函数y＝logax（a>0，且a≠1）与函数y＝（a-1）x2-2x-1在同一坐标系中的图象可能是（　）
A. B. C. D.
C
2.已知函数f（x）＝ax，g（x）＝logax（a>0，且a≠1），若f（3）·g（3）<0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
C
A. B. C. D.
例5 ［2018·山东寿光高一期末］函数f（x）＝loga（3x-2）+2（a>0，且a≠1）的图象恒过点 （　　）
A.（1，0） B.（1，2） C. D.
【解析】令3x-2＝1，得x＝1，这时对于任意的a>1或0【答案】B
3. 图象过定点问题
训练题
1.若函数y＝loga（x+b）+c （a>0，且a≠1）的图象过定点（3，2），则实数b，c的值分别为　　.
2,2
2.［2020·浙江台州一中高一检测］若函数f（x）＝loga（x+5）+1（a>0且a≠1），图象恒过定点P （m，n），则m+n＝ 　　；函数g（x）＝ln（x2+m）的单调递增区间为　 　　　.
【解析】　作出函数y＝|log2x|与y＝图象，如图所示，
设y＝|log2x|与y＝图象交于不同的两点，设为不妨设x1∵ y＝在上递减，∴ |log2x1|>|log2x2|，即-log2x1>log2x2，
∴ log2（x1x2）<0，0故选B.
【答案】　B
◆对数型函数图象的考查类型及解题技巧
1.对有关对数（型）函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等.
2.对有关对数（型）函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象.特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
3.与对数（型）函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法.应用时要准确地画出图象，把方程的根、不等式的解集等问题转化为函数图象之间的关系问题.
［2019·四川绵阳高一期末］已知函数f（x）＝|log2x|，实数a，b满足0训练题
4
三、对数（型）函数的单调性及其应用
1.对数（型）函数的单调性
【解题提示】设g（x）＝x2+6x-7，求得函数g（x）在（-∞，-7）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，再根据复合函数的单调性的判定方法，即可得到答案.
例7 ［2019·湖北黄冈高一期末］函数f（x）＝log0.6（x2+6x-7）的单调递减区间是（　　）
A.（-∞，-7） B.（-∞，-3） C.（-3，+∞） D.（1，+∞）
【解析】　由题意，令x2+6x-7>0，得x<-7或x>1，即函数的定义域为（-∞，-7）∪（1，+∞）.
设g（x）＝x2+6x-7，可得函数g（x）在（-∞，-7）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.
又由函数y＝log0.6 x在（0，+∞）上单调递减，
根据复合函数的单调性，可得函数f（x）在（1，+∞）上单调递减.
故选D.
【答案】　D
◆解决对数（型）函数的单调性的思路
1.对数型复合函数一般可分为两类：
一类是外层函数为对数（型）函数，即y＝loga f（x）型；另一类是内层函数为对数函数，即y＝f（logax）型.
（1）对于y＝loga f（x）型的函数的单调性，有以下结论：函数y＝loga f（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）>0）的单调性在a>1时相同，在0（2）研究y＝f（logax）型复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f （t）的单调性即可.
2.研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则.
D
A
3.［2020·浙江宁波效实中学高一检测］已知函数f（x）＝
loga（x2-2ax+a+2）（a>0且a≠1）.若a＝3，则f（x）的单调
递增区间是　　　 　；若f（x）的值域为，则a的取值范
围是　　 　　.
【提示】
（1）若函数的值域为，则内层函数t＝x2-2ax+a+2的图象需和x轴有交点，求a的取值范围.
（2）若本题第二问是定义域为，即内层函数t＝x2-2ax+a+2的图象与x轴无交点，即Δ<0，做题时，需理解这两个题的不同.
　［2，+∞）
（5，+∞）
2. 对数型函数的最值与值域问题
例8 ［2020·武汉外国语学校高一检测］已知函数f（x）＝（log2x-2）.
（1）当x∈［2，4］时，求该函数的值域；
（2）若f（x）≥mlog4x对于x∈［4，16］恒成立，求m的取值范围.
【解】　（1）由f（x）＝（2log4x-2），
令t＝log4x，∵ x∈［2，4］，∴ t∈，
此时，y＝（2t-2）＝2t2-3t+1＝2.
∵ t∈∴ y∈，∴ 函数的值域为.
（2）对于f（x）≥mlog4x对于x∈［4，16］恒成立，
令w＝log4x∈［1，2］，即2w2-3w+1≥mw对w∈［1，2］恒成立，
∴ m≤2w+-3对w∈［1，2］恒成立.
由对勾函数的单调性可知，g（w）＝2w+-3在w∈［1，2］上单调递增，∴ g（w）min＝g（1）＝0，∴ m≤0.
◆对数（型）函数的最值与值域问题的思路
解决对数型复合函数的值域与最值问题时，必须遵循“定义域优先”的原则，可利用换元法求解，但要注意中间变量的取值范围.
训练题
1.［2020·江苏周口中英文学校高一检测］函数f（x）＝log0.5（x2-3x+2）的值域是 （　　）
A.（-∞，1）∪（2，+∞） B.（1，2） C. D［2，+∞）
C
2.［2019·浙江杭州重点中学高一联考］已知函数f（x）＝（log2x）2+log4（4x）+1，则函数f（x）的最小值是 （　　）
A.2 B. C. D.1
B
3.［2019·甘肃庆阳高三月考］已知函数f（x）＝log4（ax2+2x+3）.
（1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间.
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
【解】（1）∵ f（x）＝log4（ax2+2x+3）且f（1）＝1，
∴ log4（a·12+2×1+3）＝1，即a+5＝4，解得a＝-1.
∴ 函数f（x）＝log4（-x2+2x+3）.
∵ -x2+2x+3>0，∴ -1令t＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
当x∈（-1，1）时，t为关于x的增函数；当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数.
∴ 函数f（x）＝log4（-x2+2x+3）的单调增区间为（-1，1），单调减区间为（1，3）.
（2）存在实数a，使f （x）的最小值为0.
设存在实数a，使f （x）的最小值为0.
由于底数为4>1，可得真数t＝ax2+2x+3≥1恒成立，
且真数t的最小值恰好是1，
即a为正数，且当x＝=时，t的值为1.
∴.
因此存在实数a＝，使f（x）的最小值为0.
◆根据复合函数的最值求参数的方法
1.判断复合函数的单调性，复合函数单调性的判断方法是“同增异减”，即当内外层函数单调性一致时为增函数，当内外层函数单调性不一致时是减函数.
2.判断函数的最值.
3.依据函数最值列出含参数的方程或不等式.
4.解含参数的方程或不等式得出参数值或取值范围.
3. 利用单调性比较对数值的大小
例9 ［2020·湖北省荆州中学高一检测］已知a＝log23，b＝2.11.2，c＝log0.33.8，则a，b，c的大小关系是 （　　）
A.a【解析】（方法一）由题意可知：a＝log23∈（1，2），b＝2.11.2>2.11>2，
c＝log0.33.8<0，则c（方法二）分别作出函数y＝log2x，y＝2.1x，y＝log0.3x的图象，
在图象上标出相应的函数值，由图象即可直观得出a，b，c的大小关系.
【答案】B
◆比较对数值的大小的常用方法
1.底数相同、真数不同时，用对数函数的单调性来比较.
2.底数不同、真数相同时，用对数函数的图象与底数的关系来比较，也可用换底公式转化为底数相同的对数来比较.
3.当底数和真数都不同时，则寻求中间值作为媒介进行比较.
4.对于多个对数值的大小比较，应先根据每个对数值的结构特征以及它们与“0”和“±1”的大小情况进行分组，再比较各组内数值的大小.
5.当底数与1的大小关系不明确时，要对底数分情况进行讨论.
训练题
1.［2019·云南云天化中学高一检测］若x∈（e-1，1），a＝ln x，b＝ ，
c＝eln x，则a，b，c的大小关系是（　　）
A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c
B
2.［2020·上海华东师大二附中高一期末］若logm2A.0C
例10 ［2019·山东师范大学附属中学高一期末］设，函数，使f（x）<0的x的取值范围是 （　　）
A.（-∞，0） B.（loga3，+∞） C.（-∞，loga3） D.（0，+∞）
4. 利用单调性解对数不等式
【解析】　由题意，令t＝ax，有t>0，则y＝loga（t2-2t-2），
若使f（x）<0，即loga（t2- 2t-2）<0.
因为01，解得t>3或t<-1.
又因为t>0，故t>3，即ax>3.
又因为0【答案】　C
◆对数不等式的三种类型及解法
1.形如logax>logab的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，那么需分a>1与02.形如logax>b的不等式，应先将b化为以a为底的对数的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解.
3.形如logax>logbx的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
训练题 ［2020·上海师范大学附属中学高三检测］已知函数f（x）＝log2（a2x+ax- 2）（a> 0），且f（1）＝2.
（1）求a和f（x）的单调区间； （2）解不等式f（x+1）-f（x）>2.
解：（1）f（1）＝log2（a2+a-2）＝2，a2+a-2＝4，a＝2或a＝-3（舍去）.
f（x）＝log2（22x+2x-2），由22x+2x-2>0得，
2x-1>0或2x+2<0，∴ 2x>1，x>0，
即定义域是（0，+∞），在（0，+∞）上，u＝22x+2x-2是增函数，
y＝log2u是增函数，∴ y＝log2（22x+2x-2）是增函数.
即f（x）的增区间是（0，+∞），无减区间.
（2）f（x+1）-f（x）>2，即f（x+1）>2+f（x），
即log2（22x+2+2x+1-2）>2+log2（22x+2x-2）＝log2（22x+2+2x+2-8），
∴ 22x+2+2x+1-2>22x+2+2x+2-8>0，解得0∴ 原不等式的解集为（0，log23）.
例11 判断函数f（x）＝lg（-x）的奇偶性.
四、对数（型）函数的奇偶性及其应用
【解】　∵-x>0，∴ >x恒成立，
∴ 函数f（x）的定义域为.
∵ f（-x）＝lg（+x）＝
＝＝-lg（-x）＝-f（x），
∴ 函数f（x）＝lg（-x）是奇函数.
◆转化法判断对数型函数的奇偶性
函数y＝loga f（x）如果满足f（-x）与f（x）互为倒数，那么y＝loga f（x）必是奇函数；如果满足f（-x）＝f（x），那么y＝loga f（x）必为偶函数.
C
10
3.［2019·甘肃庆阳高三月考］已知函数f（x）＝loga（a>0，且a≠1）.
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（3）求使f（x）>0的x的取值范围.
五、反函数及其应用
例11 ［2020·上海华东师大一附中高三检测］已知函数f（x）＝logax（a>0且a≠1）满足f（3）>f（4），若y＝f -1（x）是y＝f（x）的反函数，则关于x的不等式>1的解集是　　　　.
【解析】由题意，函数f（x）＝logax（a>0且a≠1）满足f（3）>f（4），可得函数f（x）＝logax为单调递减函数，所以0根据指数函数的性质，可得函数f -1（x）＝ ax为单调递减函数，
且f -1（0）＝1，则不等式>1，
即为>f -1 （0），即1-<0，解得0即不等式的解集为（0，1）.
【答案】（0，1）
◆求反函数的方法
1.反解：把y作为已知解出x，得x＝f -1（y）； 2.改写：交换x，y得y＝f -1（x）；
3.互换：写出反函数的定义域即原函数的值域，标在解析式后边的括号内.
◆反函数的性质
1.函数y＝f（x）的定义域（值域）恰好是它的反函数y＝f -1（x）的值域（定义域）.
2.互为反函数的两个函数具有相同的单调性.
3.若函数y＝f（x）的图象上有一 点（a，b），则点（b，a）必在其反函数的图象上；反之亦然.因此，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
4.函数y＝f（x）与它的反函数y＝
f -1（x）的图象相交但不重合时，它们的交点必在直线y＝x上；有的函数的反函数是它本身，如函数y＝.
训练题
1.［2019·上海浦东新区一模］若函数y＝f（x）的图象恒过点（0，1），则函数y＝f -1（x）+3的图象一定经过点　　　　.
2.［2020·上海交通大学附属中学高一期末］设f -1（x）为f（x）＝
4x-2+x-1，x∈［0，2］的反函数，则y＝f（x）+f -1（x）的最大值
为　　　　.
小结
1.对数函数的概念
判断对数函数的标准
01
图象
定义域 （0，+∞）
值域 R
性质 （1）过定点（1，0），即x＝1时，y＝0
（2）减函数 （2）增函数
2.对数函数的图象与性质
3.反函数
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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