【课件】4.5函数的应用（二）4.5.1 函数的零点与方程的解 高中数学-RJ·A-必修第一册 (共31张PPT)

(共31张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
4.5　函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
第四章 指数函数与对数函数
学习目标
1.了解函数零点的定义.
2.了解函数的零点与函数对应方程的根的关系.
3.能够根据函数零点的判定方法判断函数零点所在的区间.
重点：零点的概念及零点存在定理.
难点：零点存在定理和理解和应用.
知识梳理
对于一般函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.
方程f（x）＝0有实数解函数y＝f（x）有零点函数y＝f（x）的图象与x轴有公共点.
一、函数零点的定义
二、零点存在定理
如果函数y＝f（x）在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解.
f（a）f（b）<0
一、函数的零点
1.求函数的零点
常考题型
例1 判断下列函数是否存在零点，若存在，则求出其零点.
（1）f（x）＝ax+1（a∈）；（2）f（x）＝x2-x-6；
（3）f（x）＝
【解】 （1）当a≠0时函数存在零点.令f（x）＝0，即ax+1＝0.
当a＝0时，1＝0不成立，故方程无实根，即函数无零点；
当a≠0时，方程有唯一实数根x＝ .故当a≠0时，函数有唯一零点x＝ .
（2）函数存在零点.
令f（x）＝0，即x2-x-6＝0，解得x1＝-2，x2＝3，
故函数f（x）＝x2-x-6的零点是x1＝-2，x2＝3.
（3）函数存在零点.
（方法一：代数法）：令x+1＝0得x＝-1，故当x≤0时，函数f（x）有一个零点x＝.
令log3（x+1）＝0，得x+1＝1，解得x＝0.
但0（0，+∞），故当x>0时，函数f（x）无零点.所以函数f（x）的零点为x＝.
（方法二：几何法）：画出函数f（x）＝ 的图象，如图所示.
由图可知函数有一个零点x＝.
求函数零点的两种方法
（1）代数法：求方程f（x）＝0的实数根.
（2）几何法：对于不易求根的方程f （x）＝0，可以画出函数f（x）的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
1.［2019·河南新乡高一期末］若幂函数f（x）的图象过点（2， ），则函数g（x）＝f（x）-3的零点是（　　）
A.x＝ B.x＝9 C.（ ，0） D.（9，0）
训练题
B
2.［2019·山西运城康杰中学高一检测］若函数f（x）＝x2-ax+b的两个零点分别是x＝2和x＝3，则g（x）＝bx2-ax-1的零点是（　　）
A. x1＝-1，x2＝ B. x1＝1，x2＝
C. x1＝ ，x2＝ D. x1＝ ，x2＝
B
2.判断函数零点（方程的根）的个数
例2 函数f（x）＝2x+lg（x+1）-2的零点个数为　　　　.
【解析】（方法一）在同一坐标系下作出函数h（x）＝2-2x和g（x）＝lg（x+1）的大致图象，如图.
由图象知函数g（x）＝lg（x+1）的图象和
h（x）＝2-2x的图象有且只有一个交点，
即f（x）＝2x+lg（x+1）-2有且只有一个零点.
（方法二）∵ f（0）＝1+0-2＝-1<0，f（1）＝2+lg 2-2>0，且f（x）的图象是连续不断的曲线，
∴ f（x）在（0，1）上必定存在零点.
又∵ f（x）＝2x+lg（x+1）-2在（-1，+∞）上为增函数.
∴ 函数f（x）有且只有一个零点.
【答案】　1
判断函数零点个数的三种方法
（1）代数法：利用方程与函数的关系，将函数的零点问题转化为方程根的问题，方程有几个不同的实数根，对应的函数就有几个零点.
（2）几何法：①画出y＝f（x）的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断函数零点的个数.②转化为两个函数图象交点个数的问题.例如，函数F（x）＝f（x）-g（x）的零点个数就是函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象交点的个数.
（3）定理法：利用函数零点存在定理结合函数单调性判断.
1.［2019·福州高三期末］已知函数f （x）＝ 则函数y＝f（x）+3x的零点个数是（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
C
2.已知0A.1 B.2 C.3 D.4
B
训练题
A
二、判断函数零点（方程的根）所在区间
例3 ［2020·广东佛山三中高一检测］方程6-2x＝ln x必有一根的区间是 （　）
A.（2，3） B.（3，4） C.（0，1） D.（4，5）
【解题提示】　构造函数f （x）＝2x+ln x-6，然后利用零点存在定理可判断出
方程6- 2x＝ln x的根所在的区间.
【解析】　由6-2x＝ln x，得2x+ln x-6＝0，构造函数f（x）＝2x+ln x-6.
∵ f（2）＝ln 2-2<0，f（3）＝ln 3>0，f（4）＝ln 4+2>0，f（5）＝ln 5+4>0，
f（1）＝-4<0，
∴ 由零点存在定理可知，方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（2，3）.
【答案】　A

◆判断函数零点（方程的根）所在区间
1.利用零点存在定理，转化为判断函数在给定区间两端点处对应的函数值是否异号来解决.
2.图象法
将方程适当变形后，分别画出等号两边函数的图象，观察图象的交点横坐标可得方程的根的大致区间.
1.［2019·天津市第一中学高一检测］函数f（x）＝ln（x+1） 的零点所在的大致区间是（　　）
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
训练题
B
B
三、已知函数零点个数或所在区间求参数
例4 ［2020·湖南长沙市长郡中学高一检测］若函数f（x）＝lg（x-1）+ lg（3-x）-lg（a-x）只有一个零点，则实数a的取值范围是 （　）
A.1
【答案】　A
◆已知函数零点个数或所在区间求参数的方法
训练题
1.函数f（x）＝x2-ax+1在区间上有零点，则实数a的取值范围是（　　）
A.（2，+∞） B.［2，+∞） C. D.
2.［2019·辽宁辽阳高一期末］已知函数f（x）＝log2（x+1）+3x+m的零点在区间（0，1］上，则m的取值范围为（　　）
A.（-4，0） B.（-∞，-4）∪（0，+∞）
C.（-∞，-4］∪［0，+∞） D.［-4，0）
D
D
3.［2018·广西防城港高一检测］若函数f（x）＝|4x-x2|+a有4个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A.［-4，0］ B.（-4，0） C.［0，4］ D.（0，4）
B
A
四、一元二次方程根的分布问题
例5 ［2020·上海市建平中学高一检测］若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩＝，则m的取值范围是　　　　.
【答案】　（-4，+∞）
【解】　（1）若方程x2-（m-1）x+2m＝0在［0，1］上有两个相等的实数根，则有
此时无解.
（2）设f（x）＝x2-（m-1）x+2m.若方程x2-（m-1）x+2m＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝（m-1）2-8m>0，解得m>5+ 或m<5- .
①当有且只有一根在（0，1）上时，有f（0）f（1）<0，
即2m（m+2）<0，解得-2②当f（0）＝0时，m＝0，方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝-1，满足题意；
③当f（1）＝0时，m＝-2，方程可化为x2+3x-4＝0，解得x1＝1，x2＝-4，满足题意.
综上所述，实数m的取值范围为［-2，0］.
训练题
1.已知方程x2-（m-1）x+2m＝0在［0，1］上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围.
2.［2020·湖南长沙市长郡中学高一检测］若方程x2-2x-lg （2a2-a）＝0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是 （　　）
A.a>1或a<- B.- - D.a<1
A
3.［2019·成都高一期末］已知关于x的方程x2-ax+3＝0有一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是（　　）
A.（4，+∞） B.（-∞，4） C.（-∞，2） D.（2，+∞）
A
4.［2018·重庆铜梁一中高三月考］已知方程x2+x+a＝0在区间（0，1）上有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C.（-2，0） D.［-2，0］
C
5.［2019·四川成都七中高一检测］ 4x2+（m-2）x+m-5＝0的一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（0，2）内，则m的取值范围是 （　　）
A. B.
C.∪（5，+∞） D.
B
小结
1.函数的零点
方程f（x）＝0有实数解函数y＝f（x）有零点函数y＝f（x）的图象与x轴有公共点.
2.函数的零点存在定理
理解函数零点存在定理需注意
1.①函数f（x）在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线；
② f（a）·f（b）<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立.
2.若函数f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值
f（a），f（b）异号，则函数y＝f（x）的图象至少穿过x轴一次，即方程f（x）＝0在区间（a，b）内至少有一个实数根c.
3.零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数.
4.对于一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它有零点时，零点两侧的函数值也不一定变号.如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号，即此定理反过来不一定成立.
常见函数零点
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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